9.1圆的标准方程讲义-2026届高三体育单招生数学一轮复习

9.1圆的标准方程（讲义） 目录 1 知识点01圆的标准方程 2 2 知识点02点与圆的位置关系 2 3 知识点03 直线与圆的位置关系 3 4 题型一、圆的标准方程 3 5 题型二、点与圆的位置关系 7 6 题型三、直线与圆的位置关系 11 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01圆的标准方程 1、圆的标准方程：，其中圆心为，半径长为. 【注意】圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程 2、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点02点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 知识点03 直线与圆的位置关系 直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． 题型一、圆的标准方程 一、单选题 1．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 3．若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 5．给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 7．若直线平分圆的周长，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 8．圆C的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 9．圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 二、填空题 10．若直线过圆的圆心，则实数a的值为 . 11．已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是 . 12．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 题型二、点与圆的位置关系 一、单选题 1．已知圆的标准方程是，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 2．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 3．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 4．点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 5．已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 6．已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．点与圆的位置关系是 . 8．点与圆的位置关系为 ．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”） 9．点（3，1）在圆的圆周 .（填“内”、“外”或“上”） 三、解答题 10．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 题型三、直线与圆的位置关系 一、单选题 1．若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 2．若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．直线与圆的位置关系是(    ) A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 5．直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 6．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 7．直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 8．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 9．已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 10．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 二、填空题 11．直线与圆相交，则的取值范围是 . 12．若直线是圆的一条对称轴，则 . 13．若直线与圆相切，则实数 . 三、解答题 14．已知直线，圆. (1)写出圆的圆心坐标和半径的值； (2)当直线过圆心时，求的值； (3)若直线与圆有公共点，求的取值范围. 15．已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. $9.1圆的标准方程（讲义） 目录 1 知识点01圆的标准方程 2 2 知识点02点与圆的位置关系 2 3 知识点03 直线与圆的位置关系 3 4 题型一、圆的标准方程 3 5 题型二、点与圆的位置关系 7 6 题型三、直线与圆的位置关系 11 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01圆的标准方程 1、圆的标准方程：，其中圆心为，半径长为. 【注意】圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程 2、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点02点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 知识点03 直线与圆的位置关系 直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． 题型一、圆的标准方程 一、单选题 1．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 2．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求圆的半径，结合圆的面积公式可求圆的面积. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆的面积. 故选：D. 3．若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆， 所以圆心的坐标为 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4．已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心，所以. 故选：C 5．给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心为， 则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ， 由直线的点斜式可得 ，即 . 故选：B. 6．已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 7．若直线平分圆的周长，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据圆的对称性可知圆心在直线上，即可代入求解. 【详解】由题意可得圆心位于直线上，即，解得. 故选:D. 8．圆C的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程可得圆心和半径. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径是2. 故选：C. 9．圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 二、填空题 10．若直线过圆的圆心，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心为， 因为圆心为在直线上，可得，解得. 故答案为：. 11．已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是 . 【答案】2 【分析】设出圆心，根据半径相等得到方程，求出，进而求出半径. 【详解】设圆心为，由题意得， 解得， 故半径为. 故答案为：2 12．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，最后点斜式写出所求直线方程； 【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1， 所以所求直线为，即． 故答案为：. 题型二、点与圆的位置关系 一、单选题 1．已知圆的标准方程是，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可 【详解】圆 的圆心为，半径为2， 因为， 所以点在圆内. 故选：B 2．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 3．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 4．点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求点到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置关系. 【详解】因为圆的圆心为：，半径为：1. 由点与圆心的距离为：， 又. 所以点在圆外. 故选：A 5．已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 6．已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 二、填空题 7．点与圆的位置关系是 . 【答案】点P在圆外 【分析】根据点与圆的位置关系的判断方法直接判断可得结果. 【详解】    点在圆外 故答案为：点在圆外 【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，若点，圆，则： 1.若，则点在圆外； 2.若，则点在圆上； 3.若，则点在圆内. 8．点与圆的位置关系为 ．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”） 【答案】在圆内 【解析】将点代入方程判断与的大小关系即可判断. 【详解】将点代入圆， 可得， 所以点在圆内， 故答案为：在圆内 9．点（3，1）在圆的圆周 .（填“内”、“外”或“上”） 【答案】外 【分析】将点与圆心之间的距离与半径比较即可得出结论. 【详解】因为， 故点（3，1）在圆的圆周外， 故答案为：外. 三、解答题 10．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在圆上，理由见解析； (2)在圆外，理由见解析； (3)在圆内，理由见解析. 【分析】根据点与圆的位置关系的判断方法即可求解. 【详解】（1）解：因为圆的标准方程为，又， 所以点在圆上； （2）解：因为圆的标准方程为，又， 所以点在圆外； （3）解：因为圆的标准方程为，又， 所以点在圆内. 题型三、直线与圆的位置关系 一、单选题 1．若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A 2．若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案； 【详解】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 3．若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设与直线平行的直线为，根据题意有，由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设与直线平行的直线为， 又直线过点，所以，所以直线为， 又因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 故选：D. 4．直线与圆的位置关系是(    ) A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 【答案】A 【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系． 【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为， ∴到直线的距离， ∴圆与直线的位置关系为相交， 又圆心不在直线上， 故选：A． 5．直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】A 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心. 故选：A. 6．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式计算即可判断. 【详解】圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. 故选：B 7．直线l：与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 8．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【分析】根据圆心在直线上，判断得解. 【详解】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 9．已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】判断出直线过圆心即可得结果. 【详解】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分， 故选：C. 10．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 二、填空题 11．直线与圆相交，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与圆相交， 所以圆心到直线的距离， 解得. 故答案为： 12．若直线是圆的一条对称轴，则 . 【答案】 【分析】根据圆心在直线上建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得. 故答案为：. 13．若直线与圆相切，则实数 . 【答案】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，根据圆切线的性质，建立方程，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 由题意可得，解得. 故答案为：. 三、解答题 14．已知直线，圆. (1)写出圆的圆心坐标和半径的值； (2)当直线过圆心时，求的值； (3)若直线与圆有公共点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据圆的标准方程即可写出圆心坐标和半径； （2）圆心的坐标代入直线方程即可求出结果； （3）因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，由此即可求出结果. 【详解】（1）解：因为， 所以圆的圆心坐标为和半径的值. （2）解：因为直线过圆心，将代入， 所以，所以. （3）因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离小于等于半径，即， 所以，即. 15．已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆心在直线上可得结果； （2）利用点到直线距离解方程可得. 【详解】（1）由题意得，圆心在直线上， 即, 解得. （2）圆的半径为，圆心到直线的距离， 解得或. $