8.5两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式讲义-2026届高三体育单招生数学一轮复习

8.5两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式（讲义） 目录 1 知识点01两点间的距离公式 2 2 知识点02点到直线的距离公式 2 3 知识点03两条平行线间的距离公式 2 4 题型一、两点之间的距离 2 5 题型二、点到直线之间的距离 7 6 题型三、两条平行线间的距离 13 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01两点间的距离公式 两点间距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 中点坐标公式：平面内两点，，与的中点为，则点坐标为 知识点02点到直线的距离公式 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】 （1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 知识点03两条平行线间的距离公式 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型一、两点之间的距离 一、单选题 1．已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 2．已知点，且两点的距离为5，则（    ） A．0 B．8 C．0或8 D．4 3．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 5．已知两点，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知三角形的三个顶点为，则过点的中线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 7．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 8．在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 9．已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（   ） A．4 B． C． D．2 二、填空题 10．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ． 11．已知点与点间的距离为，则 ． 12．已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 题型二、点到直线之间的距离 一、单选题 1．若原点到直线的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 3．若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 4．已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 5．若点到直线（）的距离为3，则（   ） A．3 B．2 C． D．1 6．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 7．点到直线与直线的距离之和为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．点到直线的距离（    ） A． B． C． D．2 9．坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 10．点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知直线，点到直线的距离等于，则 12．已知直线同时满足条件:①与直线垂直；②到原点的距离为1，则直线的方程为 . 13．已知点到直线的距离为1，则 . 14．已知，两点到直线的距离相等，则 . 三、解答题 15．直线过点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为1，求直线的方程. 题型三、两条平行线间的距离 一、单选题 1．两平行线与间的距离为，则c等于（    ） A．0或40 B．10或30 C．或10 D．或40 2．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（    ） A．－1 B．19 C．－1或19 D．1或－19 3．已知两条平行直线与间的距离为3，则（    ） A．9或21 B．或21 C．9或 D．9或3 4．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（    ） A．或11 B．或10 C．或12 D．或11 5．若直线与平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 6．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 8．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．两条平行直线：与：之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 10．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．直线与间的距离为3，则 . 12．与直线平行且与它的距离为的直线方程是 ； 13．若两条平行直线：与：间的距离为2，则 . 三、解答题 14．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）. (1)求直线AB的方程； (2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程. 15．（1）求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离； （2）求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程． $8.5两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式（讲义） 目录 1 知识点01两点间的距离公式 2 2 知识点02点到直线的距离公式 2 3 知识点03两条平行线间的距离公式 2 4 题型一、两点之间的距离 2 5 题型二、点到直线之间的距离 7 6 题型三、两条平行线间的距离 13 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01两点间的距离公式 两点间距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 中点坐标公式：平面内两点，，与的中点为，则点坐标为 知识点02点到直线的距离公式 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】 （1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 知识点03两条平行线间的距离公式 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型一、两点之间的距离 一、单选题 1．已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【答案】C 【解析】根据两点间的距离公式可解得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得或， 故选：C 2．已知点，且两点的距离为5，则（    ） A．0 B．8 C．0或8 D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【详解】由题意可得或， 故选：C 3．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 4．三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【详解】由题设，则. 故选：B 5．已知两点，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用两点间的距离公式求解可得. 【详解】由两点间的距离公式得. 故选：B 6．已知三角形的三个顶点为，则过点的中线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由中点坐标公式以及两点间距离公式计算可得结果. 【详解】由题得线段的中点坐标为， 故过点的中线的长为． 故选：B 7．已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 8．在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 9．已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用两点距离公式求线段AB的长，即可得半径. 【详解】由题意知，， 以线段为直径的圆的半径是， 故选：C 二、填空题 10．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】根据两点之间距离公式求解. 【详解】设，则有，解得或. 即或. 故答案为：或. 11．已知点与点间的距离为，则 ． 【答案】9或 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 12．已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 题型二、点到直线之间的距离 一、单选题 1．若原点到直线的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解. 【详解】原点到直线的距离为1， 则，整理得. 故选：A. 2．若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 3．若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 得，解得或， 即实数的值为或. 故选：C 4．已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 5．若点到直线（）的距离为3，则（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为点到直线（）的距离为3， 所以，结合可得， 故选：B. 6．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 7．点到直线与直线的距离之和为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先求出点到两直线的距离，再求和即可； 【详解】点到直线的距离为，到直线的距离为， 故点到直线与直线的距离之和为7． 故选：D. 8．点到直线的距离（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离 故选：A. 9．坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 10．点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可. 【详解】到直线的距离为. 故选：A 二、填空题 11．已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 12．已知直线同时满足条件:①与直线垂直；②到原点的距离为1，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设直线的方程为，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设直线的方程为，且，解得， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 13．已知点到直线的距离为1，则 . 【答案】/ 【分析】利用距离公式可求的值. 【详解】由题设有，故，故. 故答案为： 14．已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】0或 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解. 【详解】依题意，，所以或. 故答案为：0或 三、解答题 15．直线过点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出直线的方程，利用待定系数法求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合到直线的距离来求得直线的方程. 【详解】（1）设直线方程为 将代入得， 所求直线方程是 （2）若直线的斜率不存在， 则过的直线为，到的距离为1，满足题意； 若直线的斜率存在，设斜率为， 则的方程为. 由到直线的距离为1，可得. 解得， 所以直线方程为，即. 综上得所求的直线方程为或. 题型三、两条平行线间的距离 一、单选题 1．两平行线与间的距离为，则c等于（    ） A．0或40 B．10或30 C．或10 D．或40 【答案】B 【解析】利用两平行线间的距离公式列方程求解即可 【详解】解：由题意可得，，即， 解得或， 故选：B 2．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（    ） A．－1 B．19 C．－1或19 D．1或－19 【答案】C 【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值． 【详解】由两平行线间的距离公式得， d＝＝， 所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19． 故选：C. 3．已知两条平行直线与间的距离为3，则（    ） A．9或21 B．或21 C．9或 D．9或3 【答案】B 【分析】由平行直线间的距离公式建立关系即可求解. 【详解】两条平行直线与间的距离为3， 则两平行直线间的距离为，解得或. 故选：B. 4．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（    ） A．或11 B．或10 C．或12 D．或11 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为两条平行线与之间的距离是2， 所以，或， 故选：A 5．若直线与平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用两直线平行确定的值，再由两平行直线的距离公式计算即得. 【详解】直线即，因，可得， 则直线与之间的距离为. 故选：A. 6．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 7．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 8．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 9．两条平行直线：与：之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 10．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设两平行线间的距离为，则. 故选：B 二、填空题 11．直线与间的距离为3，则 . 【答案】或 【分析】利用平行线间距离公式求解即可. 【详解】由题，可知，所以两平行线间距离为， 解得或， 故答案为：或 12．与直线平行且与它的距离为的直线方程是 ； 【答案】或 【分析】设所求直线方程为，根据平行直线间的距离公式列方程，化简求得的值，从而求得正确答案. 【详解】设直线平行的直线方程为， 依题意，解得或， 所以所求直线方程为：或. 故答案为：或 13．若两条平行直线：与：间的距离为2，则 . 【答案】或 【分析】根据两平行线见距离公式运算求解. 【详解】由题意可得：，解得或. 故答案为：或. 三、解答题 14．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）. (1)求直线AB的方程； (2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线方程的两点式可求解； （2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解. 【详解】（1）∵A（4，0），B（0，3） 由两点式可得直线AB的方程为，即. （2）由（1）可设直线l：， ∴，解得或. ∴直线l的方程为或. 15．（1）求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离； （2）求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程． 【答案】（1）3；（2）3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0. 【分析】（1）由两直线平行列式可得m的值，再由平行线间的距离公式可求得结果； （2）设出平行直线系方程，由平行线间的距离公式列方程可得结果. 【详解】（1）由两直线平行得，解得：m＝6. ∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0. ∴两平行直线间的距离， （2）设所求直线方程为3x－4y＋m＝0， 由两平行线间的距离公式得，解得：m＝16或m＝－14. 故所求的直线方程为：3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0. $