27.2.2相似三角形的性质（分层作业）数学人教版九年级下册

27.2.2相似三角形的性质（分层作业） 1．如果两个相似三角形对应周长之比是3：2，那么它们的对应边之比是（　　） A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4 【解答】解：∵两个相似三角形对应周长之比是3：2， ∴它们的对应边之比为3：2， 故选：C． 【小结】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：9 D． 【解答】解：∵两个相似三角形的对应边上的高之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为1：3． 故选：B． 【小结】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 3．已知△ABC∽△A′B′C′，面积之比为，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，则A'D'＝（　　） A． B．6 C． D．25 【解答】解：由题意得，． ∴． ∴A′D′＝6． 故选：B． 【小结】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解决本题的关键． 4．如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知，故A正确，符合题意； ∴，故B错误，不符合题意； ∴，故C错误，不符合题意； ∴，故D错误，不符合题意； 故选：A． 【小结】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为3：5， ∴（）2， ∴． 故选：A． 【小结】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 6．如果将一个△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 【解答】解：∵将一个三角形放大为与它相似的三角形，如果周长扩大为原来的3倍， ∴相似比为1：3， ∴面积的比为：1：9， 即：面积扩大为原来的9倍， 故选：B． 【小结】本题考查了相似三角形的性质的知识，解题的关键是了解面积比等于相似比的平方． 7．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知△ABC∽△DEF．测得AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面积为16cm2，则△ABC的面积为（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm2 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴， ∵AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面积为16cm2， ∴， ∴△ABC的面积为9cm2． 故选：B． 【小结】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm， ∴， ∴C′D′＝4cm×2＝8cm， ∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′，，△ABC的周长为20cm， ∴ ∴C△A′B′C′＝20cm×2＝40cm， ∴△A′B′C′的周长为40cm； （3）∵△ABC∽△A′B′C′，，△A′B′C′的面积是64cm2， ∴， ∴S△ABC＝64cm2÷4＝16cm2， ∴△ABC的面积是16cm2． 【小结】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．熟练掌握以上知识点是关键． 9．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH和DG的比． 【解答】解：∵△ABC～△DEF， ∴∠B＝∠E， ∵AH是△ABC的高，DG是△DEF的高， ∴∠AHB＝∠DGE＝90°， ∴△ABH∽△DEG， ∴． 【小结】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 10．已知两个三角形的相似比为，且这两个相似三角形的周长之和为100，则其中较大三角形的周长是（　　） A．25 B．75 C．10 D．90 【解答】解：设较大三角形的周长是x，较小三角形的周长是y， 根据题意得 3：1＝x：y， ∴x＝3y， 又∵x+y＝100， ∴y+3y＝100， 解得y＝25． ∴x＝75， 故选：B． 【小结】本题考查了相似三角形的性质．能灵活运用相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，连接AE，CD相交于点O．若，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵DE∥AC， ∴∠DEO＝∠CAO，∠EDO＝∠ACO， ∴△EOD∽△AOC， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； B、∵DE∥AC， ∴， ∵BC＝BE+EC， ∴，故选项B正确，不符合题意； C、∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠BCA，∠BDE＝∠BAC， ∴△BDE∽△BAC， ∴． ∵DE∥AC， ∴， ∴， ∴，故选项C错误，符合题意； D、∵， ∴．故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【小结】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 12．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若AD＝3，则A′D等于（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：如图， ∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且AD为BC边的中线， ∴，， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置， ∴A′E∥AB， ∴∠EA′D＝∠BAD，∠A′ED＝∠ABD， ∴△EA′D∽△BAD， ∴， ∴， 解得A′D＝2或A′D＝﹣2（舍）， 故选：A． 【小结】本题考查三角形的角平分线中线和高，三角形面积，平移的性质等，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 13．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 　9：16　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∵DE：EC＝3：1， ∴DE：DC＝3：4， ∴DE：AB＝3：4， ∴S△DEF：S△BAF＝9：16． 故答案为：9：16． 【小结】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE，连接BE，若△ABE的面积为，则BC＝　1　 ． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥AE于H， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC，ACBC， ∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE， ∴∠CAE＝90°，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠AED＝90°，S△ADE＝3S△ABC， ∴△ABC∽△ADE， ∴（）2＝3， ∴AEAC＝3BC， ∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，BH⊥AE， ∴∠ABH＝30°， ∴AHAB＝BC，BHAHBC， ∵△ABE的面积为， ∴3BCBC， ∴BC＝1（负值舍去）， 故答案为：1． 【小结】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，直接三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则　　 ． 【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴，， ∵△ADE∽△ABC， ∴，∠B＝∠ADE， ∴，即， ∵∠B＝∠ADE， ∴△ADM∽△ABN， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，求S△DOE：S△AOC的值． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3， ∴BE：EC＝1：3； ∴BE：BC＝1：4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC， ∴， ∴S△DOE：S△AOC＝（）2． 【小结】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：4是解决问题的关键解题的关键． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似． （1）求AD的长； （2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，，，∠ACB＝90°， ∴BC2， 当△ABD∽△ACB时，，即， ∴； 当△ABD∽△BCA时，，即， 解得：AD＝6； ∴AD的长为6或； （2）当△ABD∽△ACB时，面积比； 当△ABD∽△BCA时，面积比， 则△ABD与△ABC的面积比为或3． 【小结】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 18．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，求AD的长． 【解答】解：如图， ∵S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED，S△ADE：S四边形BCED＝4：21， ∴S△ADE：S△ABC＝4：25， 当△ADE∽△ABC时，则， ∴AD：AB＝2：5， ∴AD：6＝2：5， 解得； 当△ADE∽△ACB时，则， ∴AD：AC＝2：5， ∴AD：5＝2：5， 解得AD＝2； 综上所述，AD的值为或2， 【小结】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 19．已知：如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D． （1）当AP：PB＝1：2，S△ABC＝18cm2时，S△APN＝　2cm2 ． （2）若，求的值． （3）若BC＝15cm，AD＝10cm，且PN＝ED＝x，求x的值． 【解答】解：（1）∵AP：PB＝1：2， ∴AP：AB＝1：3， ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴（）2， ∵S△ABC＝18cm2， ∴S△APN＝2cm2． 故答案为：2cm2； （2）∵PN∥BC，AD⊥BC， ∴AE⊥PN， ∵， ∴， ∵△APN∽△ABC， ∴（）2， ∴； （3）∵△APN∽△ABC， ∴， 即：， 解得：x＝6． 【小结】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2023次操作后得△A2023B2023C2023，则△A2023B2023C2023的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为a， ∴AB＝BC＝a，∠B＝60°， ∴S△ABCAB•BC•sinB， ∵△ABC三边的中点A1，B1，C1， ∴A1B1是△ABC的中位线， ∴A1B1ABa， 同理：△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2， ∴A2B2A1B1a，……， 以此类推，AnBna， ∴△AnBn∁n的面积Sn（AnBn）2， ∴△A2023B2023C2023的面积S2023． 故选：D． 【小结】此题主要考查了等边三角形的性质和面积，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理和等边三角形的面积是解答此题的关键；根据图形的变化规律找出AnBna是解答此题的难点． 21．如图，在△ABC中，点E在AB上，EF∥BC，交AC于点F，AD∥BC，交CE的延长线于点D，设△AEF的面积为12． （1）如图1，若点E是AB的中点，求△ADE的面积； （2）如图2，若AE：EB＝1：2，求△ADE的面积； （3）如图3，若AE：EB＝1：n，请计算出△ADE面积的最小整数值． 【解答】解：（1）∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB， ∵EF∥BC， ∴1， ∴AF＝CF， ∴S△AEF＝S△EFC＝12， ∴S△AEC＝24， ∵AE＝BE， ∴S△AEC＝S△BEC＝24， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△BCE， ∴（）2＝1， ∴S△ADE＝S△BEC＝24； （2）∵EF∥BC， ∴， ∴2AF＝CF， ∴S△CEF＝2S△AEF＝24， ∴S△AEC＝36， ∵2AE＝BE， ∴2S△AEC＝S△BEC＝72， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△BCE， ∴（）2， ∴S△ADES△BEC＝18； （3）∵EF∥BC， ∴， ∴nAF＝CF， ∴S△CEF＝nS△AEF＝12n， ∴S△AEC＝12（n+1）， ∵nAE＝BE， ∴nS△AEC＝S△BEC＝12n（n+1）， ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△BCE， ∴（）2， ∴S△ADES△BEC12， 当n＝12时，△ADE面积的最小整数值为13． 【小结】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 22．如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿着AB以4cm/s的速度向B点运动；同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为xs． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）当时，求的值． 【解答】解：（1）∵PQ∥BC， ∴AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30﹣3x ∴， 解得x； ∴当x为时，PQ∥BC； （2）∵S△BCQ：S△ABC＝1：3， ∴CQ：AC＝1：3，即CQ：30＝1：3， ∴CQ＝10cm ∴时间用了秒，APcm， ∵由（1）知，此时PQ平行于BC， ∴△APQ∽△ABC，相似比为， ∴． 【小结】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理；根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2.2相似三角形的性质（分层作业） 1．如果两个相似三角形对应周长之比是3：2，那么它们的对应边之比是（　　） A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4 2．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：9 D． 3．已知△ABC∽△A′B′C′，面积之比为，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，则A'D'＝（　　） A． B．6 C． D．25 4．如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 6．如果将一个△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 7．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知△ABC∽△DEF．测得AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面积为16cm2，则△ABC的面积为（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm2 8．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 9．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH和DG的比． 10．已知两个三角形的相似比为，且这两个相似三角形的周长之和为100，则其中较大三角形的周长是（　　） A．25 B．75 C．10 D．90 11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，连接AE，CD相交于点O．若，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若AD＝3，则A′D等于（　　） A．2 B．1 C． D． 13．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE，连接BE，若△ABE的面积为，则BC＝　 　 ． 15．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则　　 ． 16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，求S△DOE：S△AOC的值． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似． （1）求AD的长； （2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比． 18．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，求AD的长． 19．已知：如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D． （1）当AP：PB＝1：2，S△ABC＝18cm2时，S△APN＝　 ． （2）若，求的值． （3）若BC＝15cm，AD＝10cm，且PN＝ED＝x，求x的值． 20．如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2023次操作后得△A2023B2023C2023，则△A2023B2023C2023的面积为（　　） A． B． C． D． 21．如图，在△ABC中，点E在AB上，EF∥BC，交AC于点F，AD∥BC，交CE的延长线于点D，设△AEF的面积为12． （1）如图1，若点E是AB的中点，求△ADE的面积； （2）如图2，若AE：EB＝1：2，求△ADE的面积； （3）如图3，若AE：EB＝1：n，请计算出△ADE面积的最小整数值． 22．如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿着AB以4cm/s的速度向B点运动；同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为xs． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）当时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $