27.2.2 相似三角形的性质-【名师学案】2024-2025学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

FE ∥BC,∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠B.又：∠EFB=∠D,△EBF∽△CAD.CD =5,即EF·AC=CD·BE:(2)解：：AB=AC,AB=20,.AC=20,由(1)知△EBF △C1D小器5即男-台解得FB=16.3正明，：矩形ABCD.∠BAD 20 ∠ADE=90°，AB=DC.·∠ABD+∠ADB=90°.AE⊥BD,∴.∠DAE+∠ADB=90°. ∠ABD=∠DAE.:∠BAD=∠ADE=9g△ADE△BAD.÷2RAD =DE·BA.AB=DC,.AD=DE·DC.4.证明：：矩形ABCD,∴.AB=CD, ∠ADC=90°.，AE⊥BD,PE⊥CE,∴∠AED=90°=∠AEP+∠PED,∠PEC=90°= ∠PED+∠DEC.∴.∠AEP=∠DEC.又·∠EAP+∠ADE=9O°，∠ADE+∠EDC= 90.∠EAP=∠EDC△AEP△DBC是-是又AB=CD,AE.AB=DE ·AP,SE明：DE∥BC△ADE△AC装-.又：EF∥CD,怎= 需器-器DE·CD=C,E6证明：ADLBC.∠ADB=∠AC= 90°.：E是AC的中点，∴.DE=AE=CE..∠EDC=∠C.:∠BAC=90°=∠BAD+ ∠DAC,∠ADC=90°=∠DAC+∠C,∴.∠BAD=∠C.:∠BDF=∠EDC,∠EDC= ∠C∠BAD=∠BDR,又∠F=∠R.△BDPO△DAR小职-又：∠ADB =∠ADC,∠BAD=∠C△ABD△CAD.÷0=是总-=AB.AF=AC ·DF.7.证明：：AD是△ABC的高，DE⊥AB,∴∠AED=∠ADB=∠ADC=90°. ∠BMD=∠EAD,△AED△ADB÷器铝：AD=AE·AB.同理可证明AD =AF·AC,AE·AB=AF·AC. 27.2.2相似三角形的性质 知识储备 1.相似比2.相似比3.相似比的平方 基础练 C2.1第gE7.52)63.(DA(2)C4,815.D证明：∠BCE ∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D, △A△DE:,aA8Cac=()-台提是博品 6 =号CE=9.64:25或9：257B8.B91:3令2)23E:2 1012每，（②：△ADB△ABC,÷器-(）'=（号广-：△ADE的面 积为1，.△ABC的面积是16.，四边形BFED是平行四边形，.EF∥AB..△EFCo △A.答二=（学）广=品△C的面积为8.∴平行四边形FED的商费-1G -9-1=6,1.解：号=k成立，证明如下：△ABC0△AB'C,且相似比是， 乙BAC=∠BA'C',∠ABC=∠A'B'C,AB=k,·∠BAE=∠B'A'E,∠ABD=∠AB D'.'AD,A'D'分别是∠BAE和∠B'A'E'的平分线，∠BAD=∠BAE,∠BA'D'= ∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.又：∠ABD=∠AB'D△ABDO△ABD. AD AB AD AB-k. 27.2.3相似三角形应用举例 知识储备 成比例 基础练 1.D2.B3.解：过点E作EH⊥AB于点H,交CD于点G.由题意，得CG∥AH, △CGB△AHE器器3-5是2解得AH=I1.AB=AH+HB =AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).答：旗杆AB的高度是13.5m.4.B5.76.450 —15827.2.2相似三角形的性质 Φ知识储备出 (2)【T3(1)变式】△ABC的三边长分别为2， 1,相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应 3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最 角平分线的比都等于 长边为12，则△DEF的周长是 () 2.相似三角形的周长比等于 A.54 B.36 C.27 D.21 3.相似三角形的面积比等于 知识点三 相似三角形的面积比等于相似比的平方 4.△ABC∽△DEF,相似比是4：9，若△ABC A基础练 停必各知识梳理一 的面积是16，则△DEF的面积是 知识点一相似三角形对应线段的比等于相似比 5.如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D 1.(2024·内江改编)已知△ABC∽△DEF,相 ∠BCE=∠ACD. 似比是1：4，则△ABC与△DEF对应中线 (1)求证：△ABCc∽△DEC: 的比是 () (2)若S△ABc:S△DEc=4:9,BC=6,求CE A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.1:16 的长 2.(教材P37“探究”改编) 一题多变 (1)【已知相似三角形对应高的长，求对应中 线的长】 (答题模板)已知△ABC△A'B'C',AD和 AD'分别是BC和B'C边上的高，且AD=4 cm,A'D'=6cm,BE是△ABC的中线，BE =5cm,求△A'B'C'中对应中线B'E的长. 解：：△ABCc∽△A'B'C',AD和A'D'分别 是BC和B'C'边上的高，且BE和B'E'是对 应的中线， 易错点○因考虑问题不全面而漏解 品 6.在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将 解得BE'= AD分为2：3的两部分，连接BE,AC相交于 cm. 点F,则S△AF:S△F是 (2)【已知相似比，求对应角平分线的比】 【点拔】由于，点E的位置不确定，故分为AE:DE= 已知△ABC∽△A'B'C',相似比为3：4， 2:3或DE:AE=2:3两种情况讨论 若AE和A'E'分别是△ABC和△A'B'C'的 角平分线，且A'E'=8cm,则AE= B综合练 关键能力提升一 cm. 知识点二相似三角形的周长比等于相似比 7.如图，将△ABC沿BC边上的 3.(1)(2024·重庆改编)若两个相似三角形的 中线AD平移到△A'B'C'的 B 相似比是1：3，则这两个三角形的周长比是 位置，已知△ABC的面积为 16,阴影部分三角形的面积为 A.1:3 B.1:9 9.若AA'=1,则A'D等于 C.1:3 D.9:1 A.2 B.3 C.4 D 35 九年级数学·下册 8.如图，BE,CD是△ABC的中线，BE和CD C素养练 源李科素养培宜 相交于O,连接DE.下列结论： 11.【一日一优】【新中考·新定义型阅读理解 2:③ C△DoE 2 题】定义：三角形角的顶点到该角的外角平 @0-82.⑤Sam=2Sme=Sae,其中 分线与该角对边所在直线的交点之间的连 线叫做三角形的“外角平分线”.我们在学习 正确的结论有 () 相似三角形的性质时，证明过“两个相似三 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 角形对应边上的高、中线和对应角的平分线 之比都等于相似比”，猜想“两个相似三角形 对应角的外角平分线之比是不是也等于相 似比？”例如：如图，已知△ABC△A'B'C', 第8题图 第9题图 且△ABC与△A'B'C'的相似比为k,AD,A'D1 9.(教材P43习题T12改编) 一材多题 分别是△ABC,△A'B'C'的外角平分线，那 如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB和 AC上，且DE∥BC. 么品-k是香成立？如果不成立，请说明 (1)若AD:DB=1：2,则△ADE与△ABC 理由：如果成立，请结合图①，图②加以证明. 的周长比是 ,S△ADE:S四边形DBCE (2)过点A作AG⊥BC于G,交DE于H,若 图2 △ADE与△ABC的周长比是1：3，则 AH:GH的值是 (3)若S△ADE=S四边形DBCE,则AD:AB= 10.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边 AB,AC,BC上，连接DE,EF.已知四边形 DE-1 BFED是平行四边形，BC= (1)若AB=8,则线段AD的长是 (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 BFED的面积. 中：解题妙招 相似三角形的周长比与面积比不能混淆，相 似比等于周长比，等于面积比的算术平方根.如 T5(2),T7,T9(3). 助学助教优质高数36