27.2.2 相似三角形的性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

27.2.2相似三角形的性质 要点提示 相似三角形的性质：(1)相似三角形对应边的比相等，对应角相等：(2)相似三角形对应高的比，对应中焦的比与 对应角平分孩的比都等于相修比：(3)相似三角形周长的比等于相仍比：(4)相似三角形面积的比等于相以比的 平方 01 固基础 7.如图，线段DE把△ABC分 成面积之比为2：3(S△DE: D 知识点①相似三角形的对应线段 Sm边形DBCE=2：3)的两部分. 1.如图，△ABO△CDO.若 AD 若∠ADE=∠C,则AC 第7题图 BO=6,DO=3,AB=4,则B CD的长为 ( A.1 B.2 第1题图 C.3 D.4 8E知△AIAATC,侣-号，CD是AB 2.(2025吉安期末)如果两个相似三角形的对 边上的中线，CD=4cm,△ABC的周长为 应线段之比为2：3，那么它们的对应角平分 20cm,△A'B'C的面积为64cm2.求： 线之比为 ( (1)AB'边上的中线CD'的长. A.3:2 B.9:4 (2)△AB'C'的周长 C.2:3 D.4:9 (3)△ABC的面积. 3.(教材变式)已知△ABC∽△AB'C',AB= 4cm,A'B'=10cm,CE,CE'分别是 △ABC,△AB'C'的高.若CE=4.8cm,则 CE'的长为 ) A.12 cm 25 B.cm C.16cm D.scm 知识点2相似三角形的周长和面积 4.已知△ABC∽△DEF,且相似比为2：3，则 △ABC与△DEF的面积比为 ( ) A.4:9 B.9:4 C.2:3 D.3:2 5.已知△ABC∽△DEF,相似比为1：3，且 △ABC的周长为15，则△DEF的周长为 ●易错点图形不确定导致错误 9.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=5,BC A.1 B.3 =4,以AC为边作△ACD(点D在直线 C.5 D.45 AC右侧)，使得∠ACD=90°.若△ABC 6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC的三边长 与△ACD相似，则CD的长为 分别为6,8,10，△DEF的面积为96，则 △DEF的周长为 数学九年级RJ版 ◆02提能力心 (2)若△ADF的面积为4，求四边形EBCF 的面积。 10.如图，在口ABCD中，AC是一条对角线， EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC 相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若 S△AEr=4,则S AADF的值为 ( A.6 26 B.10 C.15 D. 第10题图 第11题图 …。。。 O3拓思维 。。。。 11.如图，在Rt△ABC中，AB=6cm,BC= 15.如下图，在矩形ABCD中，AB=2√，AD= 8cm,D,E分别为AC,BC的中点.连接 10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时 AE,BD相交于点F,点G在CD上，且 (点P不与点A,D重合)，一直角边经过点 DG:GC=1:2,连接EG,则四边形 C,另一直角边与直线AB交于点E.我们知 DFEG的面积为 ( 道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立 A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 (1)当∠CPD=30°时，求AE的长 12.(2025九江永修月考)如图，D,E分别是 (2)是否存在这样的点P,使△DPC的周 △ABC的边AB,BC上的点，DE∥AC,若 长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出 S△oE:S△oA=1:25,则S△BDE:S△cE DP的长；若不存在，请说明理由. B 第12题图 第13题因 13.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均 为1，则阴影部分的面积为 14.如下图，在□ABCD中，E为AB边的中 点，对角线AC,BD交于点O.连接DE交 AC于点F,且OF=2 (1)求AC的长. 下册第二十七章 2711.解：(1)在正方形ABCD中，ABFC,AB=AD=1, AC CD :△ABE0n△DFE.AE=1-ED=号÷0-能 AB AE 当带 时：周0，△ACD△CBA-号 3 =3DF= ic0= 当后-误时如图@，△ACDc△ABc号 5 CD (2)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC,AB=BC 4 =1, CD=20 ∴∠AEB=∠CBF. 又·∠A=∠C. 综上所述，CD的长为或3 15.20 ∴△ABE∽△CFB. 带-得 AE·CF=AB·CB=1. (3)设EC=ED=x,则AE=1-x,BE=1+x. 图① ② 在Rt△ABE中，AE+AB=BE2,即(1-x)+1 10.B【解析】在口ABCD中，S△Ae=S△e =(1+x). :EF∥BC,∴.△AEF∽△ABC, 解得=子 浩怨 ∴ED的长为行 3E=2B8指-能=号 27.2.2相似三角形的性质 1.B2.C3.A4.A5.D S△AE 6.48【解析】62+8=102，∴△ABC是直角三角形， S△Aer=4,.Sam=S△e=25, 1 S6c=2X6X8=24. 六Saur=5X25=10, :△ABC∽△DEF, 11.B【解析】如图，连接DE.:D,E 分别为AC,BC的中点，.DE是 :两个三角形的叙比为√震-子 △ABC的中位线，DE=2AB 1 :△ABC的周长为6+8+10=24，∴.△DEF的周长 为2×24=48. =3cm,DE∥AB,∴.△DEF L【解析】SADe:SsbE=2:3,一SaDe: △BAF,S =(}=票-- EF 1 21 S△e=2:5.:∠ADE=∠C,∠A=∠A,△ADE S-AF-Z.SAM-3Sum= 3 ∽△ACB..( 1 5 2X6X 2X8-8(cm'):Soor CD AB 1 8.解：1)由题意，得2D-A官=云 子Saw=2(em).:Sam=2DE·CE=2X3X4 .CD=4 cm, ∴.C'D'=4X2=8(cm). =6cm).DG:GC=1:2.Sam=子Sam=号 (2)由题意，得Cac 1 X6=2(cm),SRDFRG=SADER+SADEG=2+2=4 (cm2). :△ABC的周长为20cm, 12.1:4 .Cac=20X2=40(cm), 即△A'B'C的周长为40cm. 18号【解析】如图所示，根据题意 8)油题意，得之二=片 可知，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA=4,BD是 :△A'B'C'的面积为64cm2, 对角线，与CE交于点F,过点F ∴S△wc=64÷4=16(cm). 作FG⊥AD于点G,交BC于点 即△ABC的面积为16cm2. H.则FH⊥BC. 设FG=a,则FH=4一a 【解析】：∠ABC=90°，AC=5,BC=4, DE∥BC, ∴AB=AC-BC=5-=3. .△DEF∽△BCF, 数学九年级RJ版 .DE-FG 瓷=即=。得a=宁经检验a= 上的高分别为h,和h 了是原分式方程的解， AB/PQ△ABOn△QPO,A5=会 QP 94=1.25-0.75=2 48 FH=4-3=3 0.75 3QP=0.6m.故P,Q两点 间的距离是0.6m. :阴影部分的面积为 -×4× 816 5.C【解析】如图①，过点O作OM⊥CD,垂足为M:如 33 图②，过点O'作ON⊥AB,垂足为N. 14.解：(1)如图，连接OE ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD. E为AB边的中点， ∴.OE是△ABD的中位线 ∴.OE∥AD且AD=2OE, 水平战 图① .△OEF∽△ADF, 由题意可知，△CDOc∽△ABO, 限-膘-器 .CD OM OF=2,∴.AF=4, ABON ∴.OA=OF+AF=6 :OM=15-7=8(cm),0N=11-7=4(cm), ∴.AC=20A=12. 六-是AB=3m (2)由(1)知OF：AF=EF：DF=1：2, 故此时液面AB=3cm. SADOF SAADF=OF AF=1:2, 6.8.5【解析】由题意可知，∠AGC=∠FGE. S△eF:S△DR=EF:DF=1:2, :∠ACG=∠FEG=90°， 1 六Sa0n=San=2Saor=2, ∴.△ACG∽△FEG, SANOD =SAADF+SADOR=4+2=6. -瓷S-AC=8m :在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O, ∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5(m). ∴.S△Am=S△Ae=2S△0D=12,.S网w5BrP=S△ABc 7.A【解析】：BC,CG⊥1，BOL1, -S△4m=12-2=10. ,.四边形OBCG为矩形，，OB=CG 15.解：(1)Rt△AEPOORt△DPC, ∴.∠AEP=∠CPD=30 AH⊥HO,BO⊥HO,∴AH∥BO. :四边形ABCD为矩形.∴.CD=AB=2√5，∠D= △AH,O△0E小0-8票=号 ∠A=90°， .PC=2CD=45 把-物体被笔小到原来的子 ..PD=PC-CD=6. 8.解：AB⊥BD,CD⊥BD :.AP=AD-PD=4. ∴.∠BEA+∠BAE=90°，∠B=∠D=90. 在R△AEP中，∠AEP=30°，∴.PE=2AP=8, :∠MEN=90, ∴AE=√PE-AP=45. ∴.∠BEA+∠DEC=90. (2)存在. ·∠BAE=∠DEC, 假设存在这样的点P ∴.△ABEn△EDC, Rt△DPCoR△AEP, .BEAB ∴DC=ED 贵器2 .CD=2AB..AB=x.CD=2x. CD=AB=23, 提品 ∴.AP=√3，.DP=10-3 解得x=24(负值已舍去).经检验，x=24是原分式方 ∴存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周 程的解，且符合题意， 长的2倍，此时DP的长为10-√3. ∴.CD=48m 27.2.3相似三角形应用举例 答：建筑物CD的高度为48m, 1.B2Da号 9.解：如图，设AN交EP于点O,延长AB交EP的反向 延长线于点H,则四边形BDEH是矩形，∴BH=DE 4.A【解析】设△ABO边AB上的高和△QPO边PQ =1.25m,HE=BD=2m, 下册参考答案