第3章 投影与视图（单元测试·提升卷）数学湘教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第3章 投影与视图·提升卷(参考答案) 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D B C A B B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．中心 12． 13．104 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：52；（3分） （2）设塔的高度为， 在中，， 在中，， ∴， 解得：； 答：塔的高度为．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：如图： （3分） （2）解：由图知，前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，则涂色部分的面积为； 故答案为：；（4分） （3）解：从上面、左面看到的形状图，最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个， 故答案为：13，8．（8分） 19．（8分）． 【详解】（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱． 故答案为：正六棱柱．（2分） （2）六棱柱的表面展开图如 （4分） （3）由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为， 六棱柱的侧面积为．（5分） 如图，设圆心为，连接，，作于点，（6分） ； ∴（7分） ∴密封纸盒的底面面积为：， 六棱柱的表面积为．（8分） 20．（8分） 【详解】（1） 故制作长方体纸箱需要平方厘米纸板．（2分） （2）如图，组成这个几何体的玩具个数最少 故组成这个几何体的玩具个数最少为9个．（4分） （3）设单个乐高积木的长方体纸盒长和高为，宽为， 甲摆放方式的纸板面积 乙摆放方式的纸板面积 甲摆放方式的纸板面积-乙摆放方式的纸板面积 ∴甲摆放方式所需纸板面积更少．（8分） 21．（9分） 【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2分） （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即（5分） （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. （9分） 22．（9分） 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶；（2分） （2）解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：；（4分） （3）如图：过作于，交于，（5分） 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为．（9分） 23．（11分） 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②折叠后有2个面重合，只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④；（2分） （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：，（4分） ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：；（6分） （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：．（11分） 24．（11分） 【详解】解：（1）由图可得，圆锥体的侧面展开图是一个扇形， ∵，的长度为， ∴，的长为；（3分） （2）根据题意，与的函数表达式为， 即；（6分） （3）由得，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，（7分） ∴当时，y随x的增大而增大，（8分） ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为．（11分） 试卷第2页，共25页 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第3章 投影与视图·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列结论：①同一地点、同一时刻，不同物体在阳光照射下影子的方向是相同的；②不同物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③同一物体在路灯照射下影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下影子的长短仅与物体的长短有关．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 7．用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 8．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 9．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．皮影戏中的“皮影”属于 投影．（填“平行”或“中心”） 12．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 13．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为 ．    14．如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 15．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 16．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 18．（8分）如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 19．（8分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 20．（8分）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动，根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1），长方体纸箱的长为厘米，宽为厘米，高为厘米． （1）请用含有，，的代数式表示制作长方体纸箱需要________平方厘米纸板； （2）如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体的三视图，则组成这个几何体的玩具个数最少为多少个； （3）由于旗舰店在双十一期间推出买一送一的活动，现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内（如图1），已知单个乐高积木的长方体纸盒长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式，请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由． 21．（9分）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 22．（9分）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 23．（11分）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 24．（11分）综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 试卷第2页，共25页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第3章 投影与视图·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列结论：①同一地点、同一时刻，不同物体在阳光照射下影子的方向是相同的；②不同物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③同一物体在路灯照射下影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下影子的长短仅与物体的长短有关．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 7．用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 8．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 9．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．皮影戏中的“皮影”属于 投影．（填“平行”或“中心”） 12．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 13．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为 ．    14．如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 15．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 16．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 18．（8分）如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 19．（8分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 20．（8分）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动，根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1），长方体纸箱的长为厘米，宽为厘米，高为厘米． （1）请用含有，，的代数式表示制作长方体纸箱需要________平方厘米纸板； （2）如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体的三视图，则组成这个几何体的玩具个数最少为多少个； （3）由于旗舰店在双十一期间推出买一送一的活动，现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内（如图1），已知单个乐高积木的长方体纸盒长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式，请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由． 21．（9分）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 22．（9分）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 23．（11分）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 24．（11分）综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第3章 投影与视图·提升卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列结论：①同一地点、同一时刻，不同物体在阳光照射下影子的方向是相同的；②不同物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③同一物体在路灯照射下影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下影子的长短仅与物体的长短有关．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．利用平行投影和中心投影的特点进行逐项分析即可． 【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确； ②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误； ③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确； ④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误． 所以正确的结论有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影的特点，解题关键是理解平行投影和中心投影的特点． 2．如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．注意，存在看不见的部分用虚线表示．从正面看，确定左视图即可． 【详解】 解：几何体的左视图为： 故选：D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由展开图还原立方体，根据展开图确定正方体的相邻面是解题的关键． 根据正方体的展开图逐项判断即可解答． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为： 故选：D． 4．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查直三棱柱的展开图、三角形的三边关系，由题意得，，，再根据三角形的三边关系得，，，求得的取值范围，根据此范围即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴，， ∴， ∴的长度可能是4， 故选：B． 5．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 6．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 7．用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，然后即可求解． 【详解】 解：根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，如图所示是最少的一种情形下每个位置的小立方块数， ∴， 故选：B． 8．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】如图作交于M，于N，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：如图作交于M，于N． 由题意得， ∴，即， ∴米， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． ∵在直角中，， ∴米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 9．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可． 【详解】∵圆锥的底面周长为2π ∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图 ∴∠BAD=90゜ ∵D为AC的中点 ∴ 在Rt△BAD中，由勾股定理得 即最短路线长为 故选：A 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法． 10．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．皮影戏中的“皮影”属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影和中心投影是解题的关键．根据中心投影的定义即可得到答案． 【详解】解：中心投影是由同一点发出的光线形成的投影，其投影相交于一点，这种投影方式在灯光照射下形成的影子就是中心投影． 故皮影戏中的“皮影”属于中心投影． 故答案为：中心． 12．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 【答案】 【分析】该题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据题意证明四边形是矩形，得出，根据太阳光线与地面成的角，得出，求出，在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，根据题意是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 13．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为 ．    【答案】104 【分析】打孔后的长方体的表面积原来长方体的表面积6个正方形的面积24个矩形的面积． 【详解】解：打孔后的长方体的表面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识． 14．如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 【详解】解：由圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是， 得底面圆的周长为， 设扇形的半径为， 故， 解得， 故圆锥的母线长为， 故它的侧面积是， 故答案为：． 15．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 【答案】 【分析】连接BE，BF，过点作于J．首先证明∠EBF=90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性质求出BF，利用勾股定理可得EF．设=16k cm，=11k cm，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出k即可． 【详解】解：连接BE，BF，过点作于J． 由题意，CE=CF=CB， ∴∠EBF=90°， ∵AB=24cm，AE=30cm， ∴EB=（cm）， ∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°， ∴∠AEB=∠F， ∵∠ABE=∠EBF=90°， ∴△ABE∽△EBF， ∴ ， ∴， ∴FB=， ∴EF=（cm）， ∵， ∴设=16k cm，=11k cm， ∵四边形是矩形， ∴=16k（cm）， ∴16k-11k=5k（cm）， ∵（cm）， ∴cm， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（cm）， 在Rt△中，则有， 解得，（不合题意的根已舍去） ∴（cm）． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三视图的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 【答案】(1)52 (2)塔的高度为 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键： （1）根据同一时刻，同一地点，不同物体的物高之比等于影长之比，进行求解即可； （2）设塔的高度为，解直角三角形，分别求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：52； （2）设塔的高度为， 在中，， 在中，， ∴， 解得：； 答：塔的高度为． 18．（8分）如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13，8 【分析】（1）根据从正面、左面、上面看到的形状画出即可； （2）前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，由此可求出涂色部分的面积； （3）最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个，由此可以完成． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由图知，前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，则涂色部分的面积为； 故答案为：； （3）解：从上面、左面看到的形状图，最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个， 故答案为：13，8． 19．（8分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 【答案】(1)正六棱柱 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识； （1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱； （2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图； （3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案． 【详解】（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱． 故答案为：正六棱柱． （2）六棱柱的表面展开图如 （3）由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为， 六棱柱的侧面积为． 如图，设圆心为，连接，，作于点， ； ∴ ∴密封纸盒的底面面积为：， 六棱柱的表面积为． 20．（8分）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动，根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1），长方体纸箱的长为厘米，宽为厘米，高为厘米． （1）请用含有，，的代数式表示制作长方体纸箱需要________平方厘米纸板； （2）如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体的三视图，则组成这个几何体的玩具个数最少为多少个； （3）由于旗舰店在双十一期间推出买一送一的活动，现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内（如图1），已知单个乐高积木的长方体纸盒长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式，请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由． 【答案】（1）  （2）9  （3）甲摆放方式所需纸板面积更少，证明见解析． 【分析】（1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据三视图，得出该几何体的玩具数量最少的情况即可； （3）设单个乐高积木的长方体纸盒长和高为，宽为，，求出甲摆放方式的纸板面积和乙摆放方式的纸板面积，并作它们的差，根据差的正负性即可得出哪一种方式所需纸板面积更少． 【详解】（1） 故制作长方体纸箱需要平方厘米纸板． （2）如图，组成这个几何体的玩具个数最少 故组成这个几何体的玩具个数最少为9个． （3）设单个乐高积木的长方体纸盒长和高为，宽为， 甲摆放方式的纸板面积 乙摆放方式的纸板面积 甲摆放方式的纸板面积-乙摆放方式的纸板面积 ∴甲摆放方式所需纸板面积更少． 【点睛】本题考查了几何体的表面积问题，掌握长方体的表面积公式是解题的关键． 21．（9分）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 22．（9分）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) (3)旗杆的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； （2）解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； （3）如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 23．（11分）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何体的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②折叠后有2个面重合，只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 24．（11分）综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1），的长为；（2）；（3）当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式、圆锥的侧面展开图，根据扇形的面积公式列函数关系式是解题的关键． （1）根据图形求解即可； （2）根据扇形面积公式(l为扇形弧长，r为扇形的半径)求解即可； （3）把（2）中的解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，圆锥体的侧面展开图是一个扇形， ∵，的长度为， ∴，的长为； （2）根据题意，与的函数表达式为， 即； （3）由得，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 试卷第2页，共25页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $