第3章 视图与投影（复习讲义）数学湘教版九年级下册

第三章 视图与投影（复习讲义） 🎯 基础目标 (掌握概念与基础应用) 对应中考基础题，确保得分 投影：能复述中心投影与平行投影（含正投影）的定义并能根据光线判断投影类型。 三视图：能识别并绘制直棱柱、圆锥等基本几何体的三视图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则。 展开图：能识别直棱柱、圆锥的表面展开图，并能根据展开图还原几何体。 视图推理：能根据简单组合体的三视图推断小立方体的数量。 🚀 进阶目标 (进行计算与综合推理) 对应中考中档题，争取高分 投影计算：能利用相似三角形性质进行中心投影下的物高或影长计算。 三视图还原：能根据三视图还原几何体，并计算其表面积或体积。 展开图计算：能利用圆锥展开图（扇形）进行母线长、底面半径、侧面积之间的互求。 最短路径：能解决直棱柱侧面上的最短路径问题（将表面展开，两点连线）。 🌟 拓展目标 (解决复杂问题与建立联系) 对应压轴题，冲刺顶尖 投影综合：能分析与太阳光线相关的平行投影综合应用题，常结合解直角三角形。 三视图与投影：能综合三视图与投影原理，解决涉及几何体阴影的复杂问题。 动态与最值：能分析动态投影的变化规律，或解决展开图中的最值问题（如蚂蚁爬行最短路径的变式）。 知识点 重点归纳 常见易错点 1. 投影 1.1 分类：中心投影（光线相交于一点）、平行投影（光线平行，含正投影）。 1.2 性质：中心投影形成的影长与物体距光源距离有关；平行投影形成的影长与光线角度有关。 • 易错：混淆两种投影的物理本质。中心投影光源是点光源（如灯），平行投影光源是平行光（如太阳）。 • 细节：正投影是平行投影的特例，且投影线垂直于投影面，它是三视图的理论基础。 2. 直棱柱、圆锥的展开图 2.1 直棱柱：侧面展开是矩形，矩形的长=底面周长，宽=棱柱高。 2.2 圆锥：侧面展开是扇形，扇形的弧长=底面圆的周长，半径=圆锥母线长。 • 易错：计算圆锥侧面积时，混淆底面半径(r)与侧面展开图扇形的半径(R，即母线)。 • 关键：解决“最短路径”问题（如蚂蚁爬行），必须将相关侧面展开在同一平面，再连接两点构成线段。 3.三视图 3.1 原则：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。 3.2 画法：能识别并绘制基本几何体及其组合体的三视图。 3.3 应用：能由三视图还原几何体，并计算其表面积、体积或小立方体个数。 • 易错：画图时忽略“宽相等”的对应关系，或忽视被遮挡的轮廓线（应画为虚线）。 • 难点：由三视图还原几何体时，需综合三个视图的信息进行空间想象，常需利用“标数法”（在俯视图上标注每个位置的小方块数）。 题型一、平行投影 【例1】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·浙江温州·三模）下列投影中，属于平行投影的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 【变式1-2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影的长是，则皮球的直径长是（   ）    A． B． C． D． 题型二、中心投影 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）下列影子属于中心投影的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．阳光下小树的影子 C．灯光下的手影 D．阳光下行人的影子 【变式2-1】（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【变式2-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，小华、小军、小丽三人同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB和CD（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出路灯的灯泡P所在的位置． (2)画出此时小华在路灯下的影子EF． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 题型三、正投影 【例3】（23-24九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【变式3-1】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    题型四、几何题的展开图 【例4】（25-26七年级上·广东佛山·期中）一个几何体的侧面展开图如图所示，则这个几何体可能是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【变式4-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个几何体的展开图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）设计制作一个圆柱形状的包装纸盒，下列表面展开图的草图正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·贵州·阶段练习）如图①是一个三棱柱，若将其沿某些棱剪开成图②所示的图形，需要剪开棱的条数为 ． 题型五、根据展开图进行计算 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个长方体形状的包装盒的平面展开图，则这个包装盒的容积是 （包装材料厚度忽略不计）． 【变式5-1】（2024七年级上·全国·专题练习）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形； 乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，． 这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”） 【变式5-2】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一个几何体的侧面展开图． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 【变式5-3】（24-25九年级下·全国·期末）小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 题型六、正方体的展开图 【例6】（25-26六年级上·山东东营·期中）下列平面图形中不能围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26六年级上·全国·期末）下列选项中不是正方体的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】下列各平面图形不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）下列展开图，能折叠成正方体的有（    ）个． A．6 B．5 C．4 D．7 题型七、正方体上展开图的上的图案、文字 【例7】（25-26七年级上·山东·阶段练习）小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特征是解题关键．根据正方体的平面展开图可得与是两个相对的面，由此即可得． 【变式7-1】（2025七年级上·四川·专题练习）如图，都是正方体的展开图，若将它们围成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（    ） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．②与③与④ 【变式7-2】（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的值是 ． 【变式7-3】（甘肃省白银市2025-2026学年上学期七年级数学期中试题）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“顺”相对面上的字是 ． 题型八、几何体的三视图 【例8】（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【变式8-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一款玉石的示意图，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某体育馆内的颁奖台，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023·安徽宿州·三模）如图，该几何体的左视图是(   )    A．   B．   C．   D．   题型九、圆锥侧面展开图 【例9】（25-26九年级上·云南·阶段练习）用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【变式9-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 题型十、由三视图进行计算 【例10】（25-26九年级上·全国·课后作业）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（   ） 2 2 1 2 2 A．3 B．4 C．6 D．8 【变式10-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为 ． 【变式10-2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【变式10-3】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）图2是几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图1的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的体积． 【变式10-4】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图是某几何体的三视图： (1)这个几何体的名称是______． (2)这个几何体的顶点数是______，面数是______，棱数是______． (3)求这个几何体的表面积． 基础巩固通关测 42．（2021·山东青岛·一模）如图所示，在长方体的右上角，沿着斜面切掉右上角的一块后，剩余的几何体的左视图为（  ） A． B． C． D． 43．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）如图，按“上、右、前、左、后、下”的顺序在正方体的6个面上分别写上“喜迎澳门回归”字样，在以下几种表面展开图中，（   ）是正确的．    A．   B．   C．   46．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 47．（18-19九年级上·江苏南通·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 48．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体个数最多的是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 49．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 50．（2025九年级·全国·专题练习）如图，现有一张圆心角为的扇形纸片，该扇形纸片的半径为40cm．小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为 ． 51．（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 52．（2025九年级·全国·专题练习）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)图中的影子由______照射形成（填“路灯”或“太阳光”）． (2)如果影子由路灯照射形成，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果影子由太阳光照射形成，请画出太阳光线（保留画图痕迹，不写画法）． (3)在图中画出表示大树高的线段（保留画图痕迹，不写画法）． 53．（2025九年级·全国·专题练习）空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 54．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 55．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 能力提升进阶练 56．（2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 57．（2025九年级·全国·专题练习）如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 58．（2025九年级·全国·专题练习）圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点A沿着圆柱的侧面爬行到点B的最短路线长为 cm． 由题意，得，， ． 故一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为． 59．（2025九年级·全国·专题练习）下图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD．若，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为． (1)求点O，M之间的距离， (2)转动时叶片外端离地面的最大高度为_________m． 由题意可知，是的中点，， ∴是的中点． ， ． 又由题意可知，， ，解得， ． ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ， 60．（12-13九年级上·河北·期末）如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 61．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 62．（2025九年级·全国·专题练习）下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 63．（2025九年级·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 64．（24-25七年级上·河北保定·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，_____； (2)这个几何体最少由_____个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)当，，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 65．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 66．（20-21九年级上·山东青岛·期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 67．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 试卷第56页，共56页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 视图与投影（复习讲义） 🎯 基础目标 (掌握概念与基础应用) 对应中考基础题，确保得分 投影：能复述中心投影与平行投影（含正投影）的定义并能根据光线判断投影类型。 三视图：能识别并绘制直棱柱、圆锥等基本几何体的三视图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则。 展开图：能识别直棱柱、圆锥的表面展开图，并能根据展开图还原几何体。 视图推理：能根据简单组合体的三视图推断小立方体的数量。 🚀 进阶目标 (进行计算与综合推理) 对应中考中档题，争取高分 投影计算：能利用相似三角形性质进行中心投影下的物高或影长计算。 三视图还原：能根据三视图还原几何体，并计算其表面积或体积。 展开图计算：能利用圆锥展开图（扇形）进行母线长、底面半径、侧面积之间的互求。 最短路径：能解决直棱柱侧面上的最短路径问题（将表面展开，两点连线）。 🌟 拓展目标 (解决复杂问题与建立联系) 对应压轴题，冲刺顶尖 投影综合：能分析与太阳光线相关的平行投影综合应用题，常结合解直角三角形。 三视图与投影：能综合三视图与投影原理，解决涉及几何体阴影的复杂问题。 动态与最值：能分析动态投影的变化规律，或解决展开图中的最值问题（如蚂蚁爬行最短路径的变式）。 知识点 重点归纳 常见易错点 1. 投影 1.1 分类：中心投影（光线相交于一点）、平行投影（光线平行，含正投影）。 1.2 性质：中心投影形成的影长与物体距光源距离有关；平行投影形成的影长与光线角度有关。 • 易错：混淆两种投影的物理本质。中心投影光源是点光源（如灯），平行投影光源是平行光（如太阳）。 • 细节：正投影是平行投影的特例，且投影线垂直于投影面，它是三视图的理论基础。 2. 直棱柱、圆锥的展开图 2.1 直棱柱：侧面展开是矩形，矩形的长=底面周长，宽=棱柱高。 2.2 圆锥：侧面展开是扇形，扇形的弧长=底面圆的周长，半径=圆锥母线长。 • 易错：计算圆锥侧面积时，混淆底面半径(r)与侧面展开图扇形的半径(R，即母线)。 • 关键：解决“最短路径”问题（如蚂蚁爬行），必须将相关侧面展开在同一平面，再连接两点构成线段。 3.三视图 3.1 原则：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。 3.2 画法：能识别并绘制基本几何体及其组合体的三视图。 3.3 应用：能由三视图还原几何体，并计算其表面积、体积或小立方体个数。 • 易错：画图时忽略“宽相等”的对应关系，或忽视被遮挡的轮廓线（应画为虚线）。 • 难点：由三视图还原几何体时，需综合三个视图的信息进行空间想象，常需利用“标数法”（在俯视图上标注每个位置的小方块数）。 题型一、平行投影 【例1】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2025·浙江温州·三模）下列投影中，属于平行投影的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影的知识，定义：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．特征：平行投影的投影线是平行的．根据平行投影的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．如图， 属于中心投影，故不符合题意； B．如图， 属于中心投影，故不符合题意； C．如图， 属于中心投影，故不符合题意； D．如图， 属于平行投影，故符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得， 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影的长是，则皮球的直径长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，平行投影，熟练掌握这些性质是解题的关键．如图，太阳光线与相切于、，过作于，连接、，，，先证为的直径，易得四边形为矩形，得，然后在中，利用含角的直角三角形的性质计算出，即可求解． 【详解】解：如图，太阳光线与相切于、，过作于，连接、，，，    ∵太阳光线与相切于、， ∴，， 而， ∴， ∴点、、共线，即为的直径， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 即皮球的直径长为， 故选：B． 题型二、中心投影 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）下列影子属于中心投影的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．阳光下小树的影子 C．灯光下的手影 D．阳光下行人的影子 【答案】C 【分析】本题考查了投影知识，掌握中心投影是由点光源发出的光线形成的投影是解题关键． 阳光下的影子属于平行投影，灯光下的影子属于中心投影，逐一判断即可． 【详解】解：A、阳光下旗杆的影子，属于平行投影，不符合题意； B、阳光下小树的影子，属于平行投影，不符合题意； C、灯光下的手影，属于中心投影，符合题意； D、阳光下行人的影子，属于平行投影，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 利用位似图形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，小华、小军、小丽三人同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB和CD（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出路灯的灯泡P所在的位置． (2)画出此时小华在路灯下的影子EF． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查中心投影的知识点，解题的关键是掌握中心投影的特征：从同一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影，即连接物体顶端与其影子顶端的直线会相交于点光源（灯泡位置）． （1）本题根据中心投影中，点光源（灯泡）是所有物体顶端与其影子顶端连线的交点，即可得到灯泡所在的位置； （2）本题根据中心投影中，从点光源发出的光线照射小华后，小华头顶与的连线延长至地面的线段即为影子． 【详解】（1）解：连接小军头顶与影子顶端、小丽头顶与影子顶端，两条连线的交点即为灯泡的位置； 如图，点即为所求． （2）解：连接灯泡与小华头顶，延长该线段与地面交于，小华脚的位置为，线段即为小华的影子． 如图，即为所求． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2) 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 题型三、正投影 【例3】（23-24九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过B点作， 是线段在投影面上的正投影， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故选B． 【变式3-2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查正投影的定义和性质，解题的关键是熟练掌握正投影的定义和性质根据正投影的定义和性质解答即可 【详解】解：当木棒与光线平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 当木棒与光线不平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 故答案为: 【变式3-3】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过A作，交于C点．求出的值，可得结论． 【详解】解：过A作，交于C点．    ∵线段在平面α内的正投影为，，， ∴， ∴，且，则即为所求． ∴， ∴． 故答案为：． 题型四、几何题的展开图 【例4】（25-26七年级上·广东佛山·期中）一个几何体的侧面展开图如图所示，则这个几何体可能是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图形．根据棱柱的侧面展开特征判断即可； 【详解】解：∵侧面展开是5个长方形， ∴这个几何体可能是棱柱， ∴只有C选项符合题意， 故选：C． 【变式4-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个几何体的展开图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立体几何的展开图，理解图示，掌握立体图形的特点是解题的关键． 由展开图可得上下两个底面，有三个侧面，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，这个几何体的展开图由上下两个三角形为底面，有三个长方形为侧面组成， ∴该几何体为三棱柱， 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）设计制作一个圆柱形状的包装纸盒，下列表面展开图的草图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察能力． 根据选项的图形折合，看看是否能折成圆柱形即可． 【详解】解：选项A、B折出无盖圆柱体，D能折出圆台，C能折出圆柱体． 故选：C． 【变式4-3】（25-26七年级上·贵州·阶段练习）如图①是一个三棱柱，若将其沿某些棱剪开成图②所示的图形，需要剪开棱的条数为 ． 【答案】5条 【分析】本题考查三棱柱的展开图，三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是4条，相减即可求出需要剪开的棱的条数． 【详解】解：由图可知，没有剪开的棱的条数是4条，三棱柱有9条棱， 因此需要剪开棱的条数为， 故答案为：5条． 题型五、根据展开图进行计算 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个长方体形状的包装盒的平面展开图，则这个包装盒的容积是 （包装材料厚度忽略不计）． 【答案】224000 【分析】根据所给的图形，折叠成长方体，再根据长方体的容积公式即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知： 长方体的容积是：； 故答案为：224000． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解决本题的关键是根据展开图确定出长方体的长、宽、高，再根据公式列出算式即可． 【变式5-1】（2024七年级上·全国·专题练习）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．甲、乙两位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图①，纸盒底面的四边形是正方形； 乙：如图②，纸盒底面的四边形是长方形，． 这两位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积，甲 乙．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握由展开图计算几何体体积的方法是解题的关键． 由甲乙两位同学的展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无盖长方体纸盒的容积，然后进行比较即可． 【详解】解：如图①， 纸盒底面的四边形是正方形， ， 长方体纸盒的高为：， 则甲同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； 如图②， 设，则， 由题意可得：， 解得：， ， 长方体纸盒的高为：， 则乙同学所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； ， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一个几何体的侧面展开图． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)六棱柱 (2)18 【分析】本题考查了几何体的展开图以及几何体的表面积，六棱柱的侧面积等于六个矩形的面积． （1）根据几何体的表面展开图，可得出几何体是六棱柱； （2）由图可得侧面积等于六个矩形的面积． 【详解】（1）解：这个几何体的名称是六棱柱； （2）解：侧面积为：． 【变式5-3】（24-25九年级下·全国·期末）小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长为；宽为 (2) 【分析】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽． （1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长； （2）利用长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：宽为：， 长为：， 答：长方体盒子的长为，宽为。 （2）解：体积：， 答：这个包装盒的体积是． 题型六、正方体的展开图 【例6】（25-26六年级上·山东东营·期中）下列平面图形中不能围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题关键．根据正方体的平面展开图的特征判断即可得． 【详解】解：正方体的平面展开图共有11种情况：“型”有6种，“型”有3种，“型”有1种，“型”有1种，则选项A、C、D能围成正方体， 由常见的不能围成正方体的展开图的形式“一线不过四，田、凹应弃之”可知，选项B不能围成正方体， 故选：B． 【变式6-1】（25-26六年级上·全国·期末）下列选项中不是正方体的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体的展开图特征是解决问题的关键． 正方体表面展开图有“”型、“”型、“”型，“”型等，且展开图中不会出现“田”字格，“凹”字形等结构． 根据正方体表面展开图的特征来判断各选项是否为正方体表面展开图即可． 【详解】解：选项C中出现了“田”字格结构，不是正方体表面展开图， 故选：C． 【变式6-2】下列各平面图形不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图．利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断即可 【详解】解：A、B、C均是正方体表面展开图； D有田字形，故不是正方体表面展开图． 故选：D． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）下列展开图，能折叠成正方体的有（    ）个． A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，正方体的展开图可以分为11种基础形状，这11种基础形状可归纳为四种类型：“141”型、“231”型、“222”型、“33”型．掌握正方体的11种展开图是解题的关键． 【详解】正方体展开图中不存在“凹”字，“田”字形状，故②和⑧不符合题意，图⑦中形状不满足四种基础类型，所以⑦不符合题意，其他图均能折叠成正方体．共个． 故选：B． 题型七、正方体上展开图的上的图案、文字 【例7】（25-26七年级上·山东·阶段练习）小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特征是解题关键．根据正方体的平面展开图可得与是两个相对的面，由此即可得． 【详解】 解：由正方体的平面展开图可知，礼物所在的盒子是． 故选：B． 【变式7-1】（2025七年级上·四川·专题练习）如图，都是正方体的展开图，若将它们围成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（    ） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．②与③与④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方体平面展开图的性质，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键，正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力． 根据正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对逐图分析即可解答． 【详解】解：①：＋对○，圈内减号对星号，□对×； ②：＋对星号，□对×，○对圈内减号； ③：圈内减号对○，□对×，＋对星号； ④：圈内减号对○，□对×，＋对星号； 若将这四幅正方体展开图折成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是②和③和④． 故选：D． 【变式7-2】（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了正方体相对面上的数字，先确定相对面，再根据相对面上的两数之和都相等列出式子，求出和c的值即可求出的值．熟练掌握正方体展开图中相对面的特征是解题的关键． 【详解】解：∵把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等， ，， ， ． 故答案为：． 【变式7-3】（甘肃省白银市2025-2026学年上学期七年级数学期中试题）一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“顺”相对面上的字是 ． 【答案】祝 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的特征：“相间、Z端是对面”进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， 与“顺”相对面上的字是“祝”． 故答案为：祝． 题型八、几何体的三视图 【例8】（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 【变式8-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一款玉石的示意图，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键． 根据俯视图的观察角度即可求解． 【详解】解：该玉石为环状立体图形，从上方看，能看到内外两个圆形：外环和内环的轮廓． ．是类似主视图或左视图的矩形，含虚线，不符合俯视图的观察角度，不符合题意； ．是带有内部虚线的矩形，不是从上方观察的结果，不符合题意； ．两个同心圆，准确呈现了该玉石从上方观察的轮廓，符合题意； ．只有一个圆形，未体现环状的内环，不符合实际形状，不符合题意； 故选： ． 【变式8-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某体育馆内的颁奖台，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了左视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据左视图的画法判断即可． 【详解】解：根据题意左视图应该是一个长方形，长方形的内部上方为实线下方为虚线； 故选：D． 【变式8-3】（2023·安徽宿州·三模）如图，该几何体的左视图是(   )    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：由题意知，其左视图如下：    故选：C． 【点睛】本题考查了左视图．解题的关键在于明确从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线． 题型九、圆锥侧面展开图 【例9】（25-26九年级上·云南·阶段练习）用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：因为用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面， ∴该圆锥的侧面积为， 故选：． 【变式9-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得：， 所以这个圆锥底面圆的半径为6． 故选A． 【变式9-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 【变式9-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键． （1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 题型十、由三视图进行计算 【例10】（25-26九年级上·全国·课后作业）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（   ） 2 2 1 2 2 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据该几何体的俯视图以及小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积. 【详解】由俯视图可以得出几何体的左视图如图所示． 故这个几何体的左视图的面积为4． 故选：. 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图及小正方体的个数，正确作出左视图． 【变式10-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了已知三视图求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，根据题意得出是解题的关键． 根据三视图的对应情况可以得出，中上的高即为的长，进而通过解直角三角形即可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点Q， 由题意可知：， ，， ， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）图2是几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图1的方格内涂上相应的阴影即可） (2)请计算出该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的体积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据从不同方向看到的图形作答即可； （2）用一个小正方体的体积乘以小正方体的个数即可求解． 【详解】（1）解：这个组合体的三视图如下： （2）解：这个组合体的体积为， 答：这个组合体的体积为． 【变式10-4】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图是某几何体的三视图： (1)这个几何体的名称是______． (2)这个几何体的顶点数是______，面数是______，棱数是______． (3)求这个几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)6，5，9 (3) 【分析】本题考查了三棱柱，解题关键是熟悉三棱柱的构造特点， （1）根据几何体特征直接得出结论； （2）根据几何体特征得出结论； （3）结合几何体展开图特征求出结论即可． 【详解】（1）解：这个几何体的名称是三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的顶点数是6，面数是5，棱数是9； 故答案为：6，5，9； （3）解：这个几何体的表面积为 ． 基础巩固通关测 42．（2021·山东青岛·一模）如图所示，在长方体的右上角，沿着斜面切掉右上角的一块后，剩余的几何体的左视图为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了几何体左视图的判断，掌握左视图的定义是解题关键． 根据左视图的定义，左视图就是物体由左向右投影得到的视图，即可得出结论． 【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图是： 故选：A ． 43．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，1，2． 故选：A． 44．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键是掌握：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 45．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）如图，按“上、右、前、左、后、下”的顺序在正方体的6个面上分别写上“喜迎澳门回归”字样，在以下几种表面展开图中，（   ）是正确的．    A．   B．   C．   【答案】B 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查正方体的展开与折叠，正方体相对面上的字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 【详解】解：根据题意得，“喜”字的对面是“归”字，“迎”字的对面是“门”字，“澳”字的对面是“回”字， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 46．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 47．（18-19九年级上·江苏南通·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 48．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体个数最多的是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图求解小正方体个数，解决本题的关键是根据主视图与左视图判断该几何体的层数和每层的小正方体个数． 根据主视图和左视图可知该几何体共两层，由主视图和左视图的下层可确定小正方体最多的个数，再由左视图可确定上层小正方体最多的个数，由此相加求解即可． 【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体共两层， 其中下层可确定小正方体最多的个数为9个， 上层可确定小正方体最多的个数为1个， ∴所需的小正方体个数最多的是10个． 故选：A ． 49．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 50．（2025九年级·全国·专题练习）如图，现有一张圆心角为的扇形纸片，该扇形纸片的半径为40cm．小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键. 先根据圆锥底面半径求出底面周长，此周长即为圆锥侧面展开图的弧长，再根据弧长公式求出剩余扇形的圆心角，最后用原扇形的圆心角减去剩余扇形的圆心角得到剪去扇形的圆心角即可. 【详解】解：由， 解得， 剪去的扇形纸片的圆心角度数为， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 52．（2025九年级·全国·专题练习）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)图中的影子由______照射形成（填“路灯”或“太阳光”）． (2)如果影子由路灯照射形成，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果影子由太阳光照射形成，请画出太阳光线（保留画图痕迹，不写画法）． (3)在图中画出表示大树高的线段（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)路灯 (2)点P的位置如图所示． (3)见解析 【分析】（1）根据阴影方向不同，可知是路灯； （2）连接、，两者延长线的交点即为路灯的位置； （3）连接，过点作，交于点，即为大树高． 【详解】（1）解：根据墙墩、小明和树的影子相反，可知是路灯照射形成， 故答案为：路灯． （2）解：如图：连接、，两者延长线的交点即为路灯的位置； （3）解：连接，过点作，交于点，即为大树高． 【点睛】本题考查了中心投影的性质，正确根据中心投影性质得出点位置是解题关键． 53．（2025九年级·全国·专题练习）空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【答案】(1)点到水平地面的距离的长约为173.6cm (2)在水平地面上的正投影的长约为128.5cm 【分析】本题考查了正投影，解直角三角形的应用--仰角和俯角问题，熟悉仰角和俯角的概念，构造出直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点．构造，利用三角函数求出的长，进而求出的长； （2）由图形可知在地面的正投影长即的长，所以求出问题得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 54．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【分析】（1）根据模型的三视图可以直接判断出模型的形状；（2）根据模型三视图知道模型组成图形的长、宽、高，然后计算出体积，再乘以木料的密度就可以得出模型的质量；（3）计算出模型的表面积，再除以每千克油漆可以涂抹的面积，即可计算出所需要的油漆数量. 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 55．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【答案】（1）①③④；（2）①B；②一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图；一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图，图见解析 【分析】本题考查了正方形展开图． （1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图2折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒B；②画图说明即可． 【详解】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． 能力提升进阶练 56．（2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是几何体的体积及由三视图判断几何体，解题的关键是先判断几何体的形状，然后求其体积． 由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积． 【详解】解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为，， 所以棱柱的体积为：． 故选：C． 57．（2025九年级·全国·专题练习）如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高为 【分析】（1）作出太阳光线，过作的平行线，与的交点即为小明的位置； （2）易得小明的影长，利用可得路灯的长度． 【详解】（1）解：如图，作出太阳光线，过作的平行线，与的交于点，过作于点，线段即为所求． （2）解：上午上学时，高的木棒的影子为， ． ， ， ， ， ，即路灯的高为． 【点睛】本题综合考查了中心投影和平行投影的应用，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 58．（2025九年级·全国·专题练习）圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点A沿着圆柱的侧面爬行到点B的最短路线长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理，解题关键是将圆柱侧面展开，把空间中的最短路径问题转化为平面直角三角形的斜边的长度问题，利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面问题，再利用勾股定理计算最短路径． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，得到一个长方形．展开图如图所示，连接，过点作于点． 由题意，得，， ． 故一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为． 故答案为：． 59．（2025九年级·全国·专题练习）下图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD．若，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为． (1)求点O，M之间的距离， (2)转动时叶片外端离地面的最大高度为_________m． 【答案】(1)10m (2) 【分析】（1）过点作，交CD于点H．利用三角形相似，可求距离； （2）过点作水平线交于点，过点作，垂足为，延长到点，使得．证明，得到再四边形OHDJ是平行四边形，求得长，在利用勾股定理求得长后，可求得高度． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点H． 由题意可知，是的中点，， ∴是的中点． ， ． 又由题意可知，， ，解得， ∴点O，M之间的距离为． （2）解：如图，过点作水平线交于点，过点作，垂足为I，延长到点，使得． ． ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ， ， ∴叶片外端离地面的最大高度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 60．（12-13九年级上·河北·期末）如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）利用圆周角定理可得，即得，又由垂直得，再根据等腰三角形的性质和余角性质可得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质可得，即得，得到是等边三角形， 进而可得，再根据弧长公式计算即可求解； （）设圆锥底面圆的半径为，可得，求出的值，再根据圆锥的表面积侧面积底面积计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点恰好是的中点，， ∴， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴优弧长为； （3）解：设圆锥底面圆的半径为， ∵优弧长为， ∴， ∴， ∴该圆锥的表面积为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，余角性质，相似三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，圆锥的表面积，掌握以上知识点是解题的关键． 61．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 62．（2025九年级·全国·专题练习）下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据展开图判断几何体即可； （2）根据三视图的定义判断即可； （3）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：展开图由两个等腰直角三角形和三个矩形组成，这是直三棱柱的典型展开图，直三棱柱的两个底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱， （2）故答案为：直三棱柱； 解：主视图显示的是直三棱柱的侧面，即一个矩形，俯视图应该显示的是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图则应该显示的是直三棱柱的另一个侧面，也是一个矩形，但其高度为，宽度为等腰直角三角形的斜边长度，即，根据这些信息，可以判断图④和图⑤不正确， 故答案为：④⑤； （3）解：由题意可知， ， 该几何体的表面积为． 63．（2025九年级·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 【答案】(1)1；1 (2)10；15 (3)小立方块最多时的左视图如图所示． 【分析】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． （1）根据主视图，俯视图判断即可； （2）利用俯视图，主视图判断即可； （3）根据左视图的定义画出图形． 【详解】（1）解：观察主视图，俯视图可知：，， 故答案为：，． （2）解：要使小立方块个数最少，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量少放小立方块，结合主视图和俯视图， 最少时，，，，，，，，且、、、中至少有一个为，此时最少有个小立方块； 要使小立方块个数最多，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量多放小立方块，结合主视图和俯视图， 最多时，，，，，，，，此时最多有个小立方块； 故答案为：，． （3）解：小立方块最多时的左视图如图所示． 64．（24-25七年级上·河北保定·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，_____； (2)这个几何体最少由_____个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)当，，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)3，1，1 (2)9，11 (3)见解析 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息． （1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解； （2）根据从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层；从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个，即可求解； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为3，1，2，即可求解． 【详解】（1）解：从正面看，第二列有1层，第三列有3层， ∴， 故答案为：3，1，1； （2）解：从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层， 从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个， ∴这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成； 故答案为：9，11； （3）解：如图所示， 65．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 66．（20-21九年级上·山东青岛·期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164 【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可； 探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可. 【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体， ∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．． ∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：6，20； 探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体， 图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 故答案为：18； 探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成， ∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段， ∴图1中一共包含个长方体， 故答案为：； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：∵拿走前后的三视图需要一样， ∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求， ∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体， ①当剩下正方体按如下俯视图摆放时， 表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124 ②当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142 ③同理，当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158 ④当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164 故答案为：124或142或158或164 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意． 67．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①；②见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 试卷第56页，共56页 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $