专题21 循环小数（期末专项训练）数学青岛五四版四年级上册

专题21 循环小数 （5种类型40道） 目录 题型一、循环小数的认识和简写 1 题型二、有限小数和无限小数的认识 3 题型三、循环小数比大小 5 题型四、循环小数和周期性规律综合问题 10 题型五、用计算器探究规律 15 题型一、循环小数的认识和简写 1．（24-25四年级上·山东东营·期末）在3.1415…、1.11111、8.020303…、3.14151415…、中，循环小数有（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】一个小数，从小数的某一位起，一个或几个数字依次重复出现，这样的数是循环小数，依次重复出现的数字是这个小数的循环节。 【详解】循环小数有：8.020303…；3.14151415…；。 循环小数有3个。 故答案为：B 2．（23-24四年级上·山东淄博·期末）一个循环小数，保留三位小数是5.580，这个循环小数可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小数保留三位小数就看小数点后第四位，将循环小数往后写，再根据“四舍五入”进行近似即可解答。 【详解】A．5.580580……≈5.581，不符合； B．5.579579……≈5.580，符合； C．5.578578……≈5.579，不符合； D．5.581581……≈5.582，不符合。 故答案为：B 3．（23-24四年级上·山东烟台·期末）小梅正在计算一道除法竖式题（如图），这道题的计算结果是（    ）。 A．1.18 B．1. C．1.8 D．1.1 【答案】B 【分析】观察这个竖式可以发现，小梅计算的最后余数是“40”，继续除下去，千分位上商1，再继续除下去，商8…，商的小数部分“18”依次重复出现，则这个计算结果是一个循环小数。循环小数的简便写法是找出循环节，在循环节的头尾点上循环点。 【详解】这道题的计算结果是1.。 故答案为：B 4．（25-26五年级上·全国·课后作业）先用简便方法表示下面的循环小数，再写出它们的近似数。（保留三位小数） 3.333…( )≈( )            8.375375…( )≈( ) 2.8787…( )≈( )          4.15353…( )≈( ) 【答案】 3.333 8.375 2.879 4.154 【分析】（1）循环小数简便表示 ：循环节是指一个循环小数的小数部分依次不断的重复出现的一个或几个数字。写循环小数时，为了简便，只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 （2）保留三位小数，即精确到千分位，要看小数点后面第四位（万分位），利用 “四舍五入” 法取近似值。 【详解】3.333...=≈3.333 8.375375...=≈8.375 2.8787...=≈2.879 4.15353...=≈4.154 5．（22-23四年级上·山东淄博·期末）0.125252525…循环节是( )，保留三位小数是( )。 【答案】 25 0.125 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节； 根据“四舍五入”法取近似数，保留两位小数要看千分位，如果千分位上的数字大于或等于5，要往前进一；如果千分位上的数字小于5，舍去。 【详解】0.125252525…的循环节是25； 0.125252525…≈0.125 【点睛】本题考查循环节概念的应用以及运用“四舍五入”的方法取近似数。 题型二、有限小数和无限小数的认识 1．（22-23四年级上·山东淄博·期末）下列图示表示不正确的是（    ）。 A．B． C． 【答案】C 【分析】（1）平行四边形和梯形都属于四边形，平行四边形不是特殊的梯形，梯形也不是特殊的平行四边形。长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。 （2）三角形按照角可分成锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。 （3）小数包括有限小数和无限小数，有限小数不是特殊的无限小数，无限小数也不是特殊的有限小数。无限小数包括无限不循环小数和循环小数，即循环小数是特殊的无限小数。 【详解】A．图示表示正确； B．图示表示正确； C．图示表示不正确，无限小数不是特殊的有限小数。 故答案为：C 2．（22-23四年级上·山东淄博·期末）下列算式中，结果是无限小数的是（    ）。 A．4÷9 B．0.057×0.06 C．12.5÷0.5 【答案】A 【分析】小数部分的位数是有限的小数是有限小数。如3.5、10.778、0.92378都是有限小数。 小数部分的位数是无限的小数是无限小数，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，如4.999…、3.1415926…、都是无限小数。算出各选项中算式的得数，再进行选择。 【详解】A．4÷9＝0.4444… B．0.057×0.06＝0.00342 C．12.5÷0.5＝25 0.4444…是无限小数。 故答案为：A 3．（24-25五年级上·广东·期中）在2.762，7.9666…，4.52222，5.182，2.323，3.14159…中。 有限小数： 。 无限小数： 。 循环小数： 。 【答案】 2.762、4.52222、5.182、2.323 7.9666…、3.14159… 7.9666… 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数，循环小数是无限小数。 【详解】有限小数：2.762、4.52222、5.182、2.323 无限小数：7.9666…、3.14159… 循环小数：7.9666… 4．（24-25五年级上·四川内江·期中）在7.237237…，3.77856…，0.3838，，，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有( )个，无限小数有( )个，循环小数有( )个。 【答案】 2 5 4 【分析】有限小数：小数部分的数位是有限的小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数。 一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 据此给数字分类，再填空。 【详解】有限小数有：0.3838、0.0007共2个。 无限小数有：7.237237…、3.77856…、、、8.36666…共5个。 循环小数有：7.237237…、、、8.36666…共4个。 在7.237237…，3.77856…，0.3838，2.732，5.3，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有2个，无限小数有5个，循环小数有4个。 5．（24-25五年级上·湖北黄冈·期中）在3.82668，0.358，0.002，3.2727…，2.3565656，0.23548…，3.03030…，8.7中，是有限小数的是( )；是循环小数的数是( )；是无限小数的是( )。 【答案】 3.82668，0.358，0.002，2.3565656，8.7 3.2727…，3.03030… 3.2727…，0.23548…，3.03030… 【分析】小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。据此解答。 【详解】通过分析可得： 在3.82668，0.358，0.002，3.2727…，2.3565656，0.23548…，3.03030…，8.7中，是有限小数的是3.82668，0.358，0.002，2.3565656，8.7；是循环小数的数是3.2727…，3.03030…；是无限小数的是3.2727…，0.23548…，3.03030…。 题型三、循环小数比大小 1．（24-25五年级上·安徽·期中）下面四个数中，最大的是（    ）。 A．0.675353… B．0.67555… C．0.6752752… D．0.6767 【答案】D 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】四个选项的整数部分、十分位和百分位上的数都相同，比较千分位上的数ABC都是5，D选项是6，，所以四个数中D选项的数最大。 故答案为：D 2．（24-25五年级上·福建厦门·期中）下面各数中比0.566大的数是（    ）。 A．0.56 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小数比较大小的方法：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大； 当整数部分相同时，看十分位，十分位上的数大的那个数就大，再比较百分位，千分位……直到比出大小； 四个选项中的数与0.566的整数部分为0，十分位为5均相同，从百分位开始比较即可选择。 【详解】A．0.56与0.566的百分位均为6，0.56的千分位为0，0.566的千分位为6，0＜6，即0.56＜0.566，不符合题意； B．与0.566的百分位均为6，的千分位为5，0.566的千分位为6，5＜6，即，不符合题意； C．的百分位为5，0.566的百分位均为6，5＜6，即，不符合题意； D．与0.566的百分位和千分位均为6，的万分位为6，0.566的万分位为0，6＞0，即，符合题意。 故答案为：D 3．（24-25五年级上·陕西西安·期中）观察下面各数的排列顺序，正确的是（    ）。 A．0.3＜＜0.375＜0.333 B．0.375＞＞0.333＞0.3 C．＞＞＞0.777 D．＜0.777＜＜ 【答案】B 【分析】小数比大小的方法： 先比较整数部分：首先查看小数的整数部分。整数部分较大的小数通常较大。 如果整数部分相同：接下来，比较小数点后面的第一位数字（十分位）。如果十分位也相同，则继续比较下一位数（百分位），以此类推。 关于循环小数比大小，可以把循环小数的简便写法改写成一般写法，进而根据小数比大小的方法进行比较。据此分析选项解题即可。 【详解】由分析可知： A．＝0.333333…，所以0.3＜0.333＜＜0.375，原选项错误； B．＝0.333333…，所以0.375＞＞0.333＞0.3，原选项正确； C．＝0.777777…、＝0.767676…、＝0.767767…，所以＞0.777＞＞，原选项错误； D．＝0.777777…、＝0.767676…、＝0.767767…，所以＜＜0.777＜，原选项错误。 故答案为：B 4．（24-25五年级上·陕西安康·期中）在1.599、、、、这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【分析】小数大小比较的方法：先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大；如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大，依次比较下去，直到比较出大小为止。 【详解】1.599＝1.599； ＝1.59999…… ＝0.959595…… ＝1.595959…… ＝1.66666…… 0.959595……＜1.595959……＜1.599＜1.59999……＜1.6666…… 所以＜＜1.599＜＜。 所以在1.599、、、、这五个数中，最大的数是，最小的数是。 5．（24-25五年级上·陕西咸阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )     ( ) ( )         ( )                ( ) 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＜ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数； 一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数； 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。 要比较小数的大小，先比较它们的整数部分，整数部分大的数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位上大的数就大，如果十分位相同，就比较百分位，以此类推，直至比较出小数的大小； 两个非0数相除，被除数大于除数，商大于1；被除数小于除数，商小于1，据此解答。 【详解】0.12＜1，所以＞； 0.46×10＝4.6，2.3×10＝23，所以； ，0.433＜0.4343……，所以＜； 1.1＞1，所以＜； ，被除数3.1的整数部分等于除数3，所以商的个位是1，故3.1÷3＞1 0.57＜1，所以0.57÷1＜1；1＞0.57，所以1÷0.57＞1，故＜1÷0.57。 6．（24-25五年级上·广东汕尾·期中）在，3.14，，中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 3.14 【分析】把循环小数写成省略号的形式，再比较。要比较小数的大小，先比较它们的整数部分，整数部分大的数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位上大的数就大，如果十分位相同，就比较百分位⋯ 【详解】先把它们写成省略号的形式，再比较。 ＝3.141414⋯ 3.14＝3.14000 ＝3.144444⋯ ＝3.141141⋯ 在这四个小数中，它们的整数部分相同，比较十分位，十分位上的数相同，比较百分位，百分位上的数相同，比较千分位，3.144444⋯的千分位上是4，比其他数的千分位大，所以它最大；3.14000的千分位上是0，比其他数的千分位小，所以它是最小的。 所以，在，3.14，，中，最大的是，最小的是3.14。 7．（22-23五年级上·山西吕梁·期中）你会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.322( )0.32      0.799…( )0.7979…    3.414( )3.41 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】小数大小的比较方法：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大…，依次类推，进行解答。 【详解】0.322和0.32 0.322＞0.32 0.799…和0.7979… 0.799…＞0.7979… 3.414和3.41 3.414＞3.41 8．（23-24五年级上·湖南怀化·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.9×1.01( )0.9                                7.2÷0.98( )7.2 45÷0.01( )45×100                          ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＝ ＜ 【分析】（1）根据一个数乘一个比1大的数，结果比原数大，据此解答； （2）根据一个数除以一个比1小的数，结果比原数大，据此解答； （3）根据小数乘除的计算方法，分别计算出结果，进行比较，据此解答； （4）根据循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无线小数，重复出现的部分是循环节。即的第四位小数是1，的第四位小数是2，据此解答。 【详解】（1）1.01＞1，所以0.9×1.01＞0.9； （2）0.98＜1，所以7.2÷0.98＞7.2； （3）45÷0.01＝4500，45×100＝4500，所以45÷0.01＝45×100； （4）的第四位小数是1，的第四位小数是2，1＜2，所以＜。 9．（24-25五年级上·河北张家口·期中）在0.765、、和0.76中，最大的数是0.76。( ) 【答案】× 【分析】先把循环小数写成小数形式，再根据小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就看百分位上的数，百分位上的数大的那个数就大，…，以此类推，进行解答。 【详解】0.765＝0.765 ＝0.765656…… ＝0.766666…… 0.76＝0.76 0.766666……＞0.765656……＞0.765＞0.76因此，最大的数是。 故答案为：× 10．（22-23五年级上·山东德州·期中）无限小数一定比循环小数大。( ) 【答案】× 【分析】无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。 无限循环小数：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。 【详解】循环小数都是无限小数，但无限小数不一定比循环小数大， 如：＞2.43456…… 所以原题说法错误。 故答案为：× 题型四、循环小数和周期性规律综合问题 1．（24-25五年级上·陕西安康·期中）算式43÷909的商用循环小数表示为0.04730473…，则小数点后面的第38位上的数字是（    ）。 A．0 B．4 C．7 D．3 【答案】B 【分析】算式43÷909的商用循环小数表示为0.04730473…，循环节是0473，一组是4个数字，用38除以4，求出商和余数，余数是几就说明最后一个与每组中的第几个数字相同。 【详解】38÷4＝9…2，余数是2，所以小数点后面的第38位上的数字是4。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·福建福州·期中）2.654654654…的小数部分的第85位上的数字是（    ）。 A．2 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】找出循环节以及循环节的数字，用85除以循环节的位数，得出是第几个循环节，然后看余数是几，就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。 【详解】2.654654654…的循环节是654，3个数字。 85÷3＝28……1，所以第85位上的数字是6。 2.654654654…的小数部分的第85位上的数字是6。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·山东菏泽·期中）3.427142857142857…的小数点后第2024位数字是（    ）。 A．7 B．1 C．4 D．5 【答案】D 【分析】因为3.427142857142857…的循环节是从小数点后的第三位开始的六个数（714285），6个数字一个循环周期，2024位减去前面两位不在循环周期内的小数，剩2022位，只要看2022位里面有几个循环周期，再结合余数知识解答。 【详解】3.427142857142857…从小数点后的第三位开始循环，循环节为714285，每6位数为一个循环：7、1、4、2、8、5 （2024－2）÷6 ＝2022÷6 ＝337 第2024位上的数字，在第337个周期的第6个数字，是5。 所以，3.427142857142857…的小数点后第2024位数字是5。 故答案为：D 【点睛】关键是确定小数的循环节的位数，再结合循环周期的个数和余数判断。 4．（23-24五年级上·上海虹口·期中）24÷7商的小数点后面第2023位上的数字是( )，小数点后这2023个数字之和是( )。 【答案】 4 9103 【分析】先根据除数是整数的小数除法计算法则算出24÷7的商是循环小数，循环节是428571，每6个数字一循环，所以求小数点后面第2023位上的数字，就是求2023里面有几个6，还余几，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数部分第2023位上的数字是几。 求商的小数点后面这2023个数字之和，用一个循环节各个数位上的数字之和乘循环的次数，再加上余数中出现的几个数字即可求解。 【详解】24÷7＝ 2023÷6＝337……1 余数是1，表示一个循环周期的第一个数字即4； 所以商的小数点后面第2023位上的数字是4。 （4＋2＋8＋5＋7＋1）×337＋4 ＝27×337＋4 ＝9099＋4 ＝9103 综上可知，24÷7商的小数点后面第2023位上的数字是4，小数点后这2023个数字之和是9103。 5．（23-24六年级下·云南普洱·期末）已知，小数点后第50位上的数字是( )。 【答案】8 【分析】无限循环小数的简便写法中，题干中小数点后285714是循环节，即6个数字为一个周期，如此往复，运用50除以6得到有余数的除法，据此可得出答案。 【详解】根据题意得：小数的循环节是285714，即6位小数，，即在8个周期后的第2位，即小数点后第50位上的数字是8。 6．（24-25五年级上·福建莆田·期中）7.32828…可以简写作( )，它的循环节是( )，它的小数部分第99位数字是( )。 【答案】 28 8 【分析】7.32828…的小数部分以28依次不断重复出现，所以它的循环节是28，再把它改写成循环小数的简写方式。 7.32828…循环节是28，每2个数字一循环，因为小数点后面第一位是3，不参与循环，所以求它的小数部分第99位数字，就是求（99－1）里面有几个2，还余几，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出它的小数部分第99位数字是几。 【详解】7.32828…＝ 的循环节是28； （99－1）÷2 ＝98÷2 ＝49 没有余数，表示是一个循环里最后一个数即8； 填空如下： 7.32828…可以简写作（），它的循环节是（28），它的小数部分第99位数字是（8）。 7．（23-24五年级上·辽宁·单元测试）78.6÷2.2的商用循环小数表示是( )，保留三位小数是( )，小数点后面第15位的数字是( )。 【答案】 35.727 7 【分析】先根据除数是小数的小数除法算出78.6÷2.2的商，商的小数部分以7272…依次不断重复出现，所以商是循环小数，先用循环小数表示商，再保留三位小数，看小数点后面第4位的数字，根据“四舍五入”法取近似数。 商是循环小数，循环节是72，每2个数字一循环，求小数点后面第15位的数字就是求15里面有几个2，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数点后面第15位的数字。 【详解】78.6÷2.2＝35.7272…＝ 78.6÷2.2≈35.727 15÷2＝7……1 余数是1表示是一个循环里的第一个数，即7。 78.6÷2.2的商用循环小数表示是，保留三位小数是35.727，小数点后面第15位的数字是7。 8．（24-25五年级上·河北邢台·期中）在循环小数0.abcabc…中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数最大是多少？最小是多少？（a、b、c为3个不同的自然数） 【答案】最大0.510510…；最小0.015015… 【分析】循环小数0.abcabc…的循环节是abc，即每3个数字为一个循环周期。小数部分前90位中有90÷3＝30个循环节，每个循环节上的数字和是180÷30＝6，因为a、b、c为三个不同的自然数，把6分成三个不同的自然数，结合这个循环小数的特点以及小数大小比较的方法，得出这个循环小数的最大值和最小值。 【详解】90÷3＝30（个） 180÷30＝6 6＝5＋1＋0＝4＋2＋0＝3＋2＋1 所以这个循环小数最大是0.510510…，最小是0.015015…。 答：这个循环小数最大是0.510510…，最小是0.015015…。 9．（2025四年级下·全国·专题练习）有一个纯循环小数，循环节有5个数字，已知小数点后的第16位是9，第32位是8，第63位是0，第104位是7，第800位是3，这个循环小数的循环节是多少？ 【答案】98073 【详解】例如：第16位是9，用16除以5求出商和余数，商是循环节的个数，余数是几，就说明第16位数字就是循环节的第几位数字；照这样的方法分别确定循环节的每一位数字即可。 【解答】16÷5＝3……1，说明循环节第一位是9， 32÷5＝6……2，说明循环节第二位是8， 63÷5＝12……3，说明循环节第三位是0， 104÷5＝20……4，说明循环解第四位是7， 800÷5＝160，说明循环节的末位是3。 答：这个循环小数的循环节是：98073。 10．（23-24五年级上·全国·课后作业）5÷7的商的小数点后面第2001个数字是几？商的小数点后面2001个数字和是多少？ 【答案】4；9003 【分析】先根据除数是整数的小数除法计算法则算出5÷7的商是循环小数，循环节是714285，每6个数字一循环，求商的小数点后面第2001个数字，就是求2001里面有几个6，还余几，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数点后面第2001个数字是几。 求商的小数点后面2001个数字和，用一个循环节各个数位上的数字之和乘循环的次数，再加上余数中出现的几个数字即可求解。 【详解】5÷7＝ 2001÷6＝333（组）……3（个） 余数是3，表示小数点后面第2001个数字是4。 333×（7＋1＋4＋2＋8＋5）＋7＋1＋4 ＝333×27＋7＋1＋4 ＝8991＋7＋1＋4 ＝9003 答：5÷7的商的小数点后面第2001个数字是4，商的小数点后面2001个数字和是9003。 题型五、用计算器探究规律 1．（24-25四年级下·江苏无锡·期末）小丽用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积：6×9＝54，66×99＝6534，666×999＝665334。照此规律，第7个算式的积是（    ）。 A．6666666533333334 B．66666653333334 C．6666665333334 D．666665333334 【答案】B 【分析】观察已知的三个算式，可以总结出规律：积中数字6和3的个数比其中一个因数的位数少1，数字5在6和3中间，数字4在末尾。 【详解】第1个算式因数是1位（6、9），第2个算式因数是2位（66、99），第3个算式因数是3位（666、999），以此类推，第7个算式中因数666⋯6（7个6）和999⋯9（7个9）是7位。根据上述规律，积中数字6的个数是7−1＝6个，数字3的个数也是6个，中间是5，末尾是4，所以积为66666653333334。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·江苏宿迁·期末）用计算器探索规律：11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，推测11111×11111＝（    ）。 A．1222221 B．123453221 C．123454321 D．12344321 【答案】C 【分析】仔细观察三个算式可知，两个乘数完全相同，得到的积的位数等于两个乘数的位数之和减1。在算式11111×11111中，乘数是五位数，5×2－1＝10－1＝9，所以积是九位数。积的最中间数位上的数等于一个乘数的位数，从积的最高位到中间的数位，数字从1依次增大，然后从最中间的数位到个位，数字依次减小，乘数是五位数，所以积等于123454321，即11111×11111＝123454321。 【详解】由分析得，11111×11111＝123454321。 故答案为：C 3．（23-24五年级上·福建厦门·期中）聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，根据这个规律7÷9.9＝（    ）。 A．0.40404…… B．0.60606…… C．0.70707…… D．0.80808…… 【答案】C 【分析】聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，被除数是几，商的循环节就是这个数和0，据此解答即可。 【详解】根据规律可知：7÷9.9＝0.70707…… 故答案为：C 4．（24-25五年级上·浙江宁波·期中）探索规律，直接写出得数。 1÷9＝0.1111…        3×4＝12 2÷9＝0.2222…        3.3×3.4＝11.22 3÷9＝0.3333…        3.33×33.4＝111.222 4÷9＝         3.333×333.4＝ 8÷9＝         3.3333×3333.4＝ 9÷9＝         3.33333×33333.4＝ 【答案】 0.4444… 1111.2222 0.8888… 11111.22222 1 111111.222222 【分析】左边：观察1÷9＝0.1111…，2÷9＝0.2222…，3÷9＝0.3333…，可以发现规律：当被除数是n（n为1—8的整数）时，商是0.nnn…；当被除数是9时，9÷9＝1。所以：4÷9＝0.4444…；8÷9＝0.8888…；9÷9＝1。 右边：观察3×4＝12，3.3×3.4＝11.22，3.33×33.4＝111.222，可以发现规律：第一个因数有m个3，第二个因数整数部分有（m－1）个3，小数部分是4，它们的积的整数部分有m个1，小数部分有m个2。对于3.333×333.4，第一个因数有4个3，所以积的整数部分有4个1，小数部分有4个2，即1111.2222；对于3.3333×3333.4，第一个因数有5个3，所以积的整数部分有5个1，小数部分有5个2，即11111.22222；对于3.33333×33333.4，第一个因数有6个3，所以积的整数部分有6个1，小数部分有6个2，即111111.222222。 【详解】左边：当被除数是n（n为1—8的整数）时，商是0.nnn…； 4÷9＝0.4444… 8÷9＝0.8888… 9÷9＝1 右边：第一个因数有m个3，第二个因数整数部分有（m－1）个3，小数部分是4，它们的积的整数部分有m个1，小数部分有m个2。 3.333×333.4＝1111.2222 3.3333×3333.4＝11111.22222 3.33333×33333.4＝111111.222222 5．（24-25四年级下·江苏泰州·期末）根据前三题的得数找规律，在括号内填上正确的结果。 3×9＝27 33×99＝3267 333×999＝332667 3333×9999＝( ) ( )×( )＝33333326666667 【答案】 33326667 3333333 9999999 【分析】观察前三个算式，发现当第一个乘数和第二个乘数分别由n个3和n个9组成时，结果的结构为（n－1）个3、一个2、（n－1）个6和一个7。例如： 3×9＝27（n＝1，结果为2和7） 33×99＝3267（n＝2，结果为1个3、2、1个6、7） 333×999＝332667（n＝3，结果为2个3、2、2个6、7） 由此推断： 3333×9999的结果为3个3、2、3个6、7，即33326667； 结果为33333326666667时，对应n＝7，即3333333×9999999。 【详解】3333×9999的计算： 根据规律，n＝4时，结果为3个3、2、3个6、7，即33326667。 填写最后一个等式： 结果为33333326666667，对应n＝7，即第一个乘数为7个3（3333333），第二个乘数为7个9（9999999）。 3×9＝27 33×99＝3267 333×999＝332667 3333×9999＝33326667 3333333×9999999＝33333326666667 6．（25-26五年级上·全国·单元测试）连线课堂·运算的应用 （1）用计算器计算下面各题，你发现了什么。 5÷111＝（ ）     7÷111＝（ ）     9÷111＝（ ） （2）不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。 12÷111＝（ ） 15÷111＝（ ） 17÷111＝（ ） 我发现：它们的商的整数部分都是（    ），商都是（    ）小数，循环节有（    ）个数字，都是被除数的（    ）倍。 【答案】（1）0.045045…；0.063063…；0.081081… （2）0.108108…； 0.135135…； 0.153153… 0；循环；3；9 【分析】（1）直接用计算器计算，找出循环的数字，写出循环小数 （2）根据（1）的得数找出规律：它们的商的整数部分都是0，商都是循环小数，循环节有3个数字，都是被除数的9倍。据此分别写出12÷111；15÷111；17÷111的商即可。 【详解】（1）5÷111＝0.045045…；7÷111＝0.063063…；9÷111＝0.081081… （2）12÷111＝0.108108…； 15÷111＝0.135135…； 17÷111＝0.153153… 我发现：它们的商的整数部分都是0，商都是循环小数，循环节有3个数字，都是被除数的9倍。 故答案为：0.108108…；0.135135…；0.153153…；0；循环；3；9 7．（24-25四年级下·山东德州·期中）找规律填空。 6×7＋2＝44    66×67＋22＝4444    666×667＋222＝444444 6666×6667＋2222＝     66666×66667＋22222＝ 【答案】 44444444 4444444444 【分析】通过对算式的观察，可知：第一个因数分别是6、66、666…（由6依次增加60、600…），第二个因数分别是7、67、667…（由7依次增加60、600…），加数分别是2、22、222…（由2依次加减20、200…），其计算结果分别是44、4444、444444…（分别是2个4、4个4、6个4…），计算结果4的个数是两因数的数字个数之和，根据这一规律，既可直接写出各式的计算结果，又可想出类似的算式；据此解答。 【详解】根据分析： 6×7＋2＝44     66×67＋22＝4444     666×667＋222＝444444 6666×6667＋2222＝44444444 66666×66667＋22222＝4444444444 8．（24-25四年级下·江苏·课后作业）任意写一个三位数（111，222，333，…，999除外），将三位数的三个数字重新组合，求出其中最大的与最小的差。再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你能发现什么？ 【答案】计算见详解 发现在重复的过程中最终总会得到差为495，且每一步所得到的结果中间的数字都是9，中间的数减去前面的数字等于后面的数字 【分析】选1、2、3这三个数，用1、2、3重新组合成三位数，首先将数字排序，3＞2＞1，要想三位数最大，最高位最大，也就是3，十位是2，个位是1，此时组成的三位数最大是321，要想组成的三位数最小，最高位百位数最小，也就是1，十位是2，个位最大是3，即组成的最小三位数是123，再用321－123求出差即可。321－123＝198，再将1、9、8重新进行组合，9＞8＞1，用1、9、8组成的三位数最大，百位就是9，十位是8，个位是1，即981；用1、9、8组成的三位数最小，百位就是1，十位是8，个位是9，即189，再用981－189即可，依次类推：981－189＝792；972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495；然后再选3、5、7这三个数，选9、8、7这三个数，分别进行如上计算，最终观察结果，从中找到规律。 【详解】选1、2、3这三个数； 321－123＝198 981－189＝792 972－279＝693 963－369＝594 954－459＝495 选3、5、7这三个数： 753－357＝396 963－369＝594 954－459＝495 选9、8、7这三个数： 987－789＝198 981－189＝792 972－279＝693 963－369＝594 954－459＝495 在重复的过程中最终总会得到差为495，且每一步所得到的结果中间的数字都是9，中间的数减去前面的数字等于后面的数字。 9．（24-25四年级下·江苏·随堂练习）先用计算器算出前三题的得数，再直接填出后面几题的得数，并用计算器验算。 _____________ _____________ _____________ _____________ _____________ _____________ 【答案】3；6；9；12；18；27；发现的规律：见详解 【分析】先用计算器算出前三题，再利用前三道题的结果，总结规律，再利用规律进行解答；依据商×除数＝被除数进行验算。 【详解】3 6 9 12 验算：12×37037＝444444 18 验算：18×37037＝666666 27 验算：27×37037＝999999 规律：每个算式的除数都相同，后面每个式子中的被除数是第一个式子中的被除数的倍数，后面的算式的被除数是第一个算式的被除数的几倍，这个算式的商就是3的几倍。 10．（24-25五年级上·河北·单元测试）请你用计算器计算下面有趣的算式。 1×0.9＝0.9      21×0.9＝18.9      321×0.9＝288.9 4321×0.9＝      54321×0.9＝      654321×0.9＝ 观察上面的算式和结果，你发现了什么？用你发现的规律直接写出下面各题的结果。 7654321×0.9＝      87654321×0.9＝ 【答案】3888.9；48888.9；588888.9 发现见详解 6888888.9；78888888.9 【分析】观察得出的前三个算式的积，从中发现规律：第一个因数是从1开始连续按倒序排列的连续自然数，第二个因数都是0.9，积的整数部分位数和第一个因数的位数相同，积的最高位比第一个因数的最高位少1，积的整数部分除最高位以外，其余数字都是8；积的小数点后面的数字是9。据此规律解答。 【详解】1×0.9＝0.9      21×0.9＝18.9      321×0.9＝288.9 4321×0.9＝3888.9      54321×0.9＝48888.9      654321×0.9＝588888.9 我发现：假设第一个因数的最高位数字是a，则所得的积的最高位数字是（a－1），后面有（a－1）个8，在最后一个8后面添上小数点，小数部分是9。 7654321×0.9＝6888888.9      87654321×0.9＝78888888.9 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 循环小数 （5种类型40道） 目录 题型一、循环小数的认识和简写 1 题型二、有限小数和无限小数的认识 2 题型三、循环小数比大小 3 题型四、循环小数和周期性规律综合问题 4 题型五、用计算器探究规律 5 题型一、循环小数的认识和简写 1．（24-25四年级上·山东东营·期末）在3.1415…、1.11111、8.020303…、3.14151415…、中，循环小数有（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24四年级上·山东淄博·期末）一个循环小数，保留三位小数是5.580，这个循环小数可能是（    ）。 A． B． C． D． 3．（23-24四年级上·山东烟台·期末）小梅正在计算一道除法竖式题（如图），这道题的计算结果是（    ）。 A．1.18 B．1. C．1.8 D．1.1 4．（25-26五年级上·全国·课后作业）先用简便方法表示下面的循环小数，再写出它们的近似数。（保留三位小数） 3.333…( )≈( )            8.375375…( )≈( ) 2.8787…( )≈( )          4.15353…( )≈( ) 5．（22-23四年级上·山东淄博·期末）0.125252525…循环节是( )，保留三位小数是( )。 题型二、有限小数和无限小数的认识 1．（22-23四年级上·山东淄博·期末）下列图示表示不正确的是（    ）。 A．B． C． 2．（22-23四年级上·山东淄博·期末）下列算式中，结果是无限小数的是（    ）。 A．4÷9 B．0.057×0.06 C．12.5÷0.5 3．（24-25五年级上·广东·期中）在2.762，7.9666…，4.52222，5.182，2.323，3.14159…中。 有限小数： 。 无限小数： 。 循环小数： 。 4．（24-25五年级上·四川内江·期中）在7.237237…，3.77856…，0.3838，，，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有( )个，无限小数有( )个，循环小数有( )个。 5．（24-25五年级上·湖北黄冈·期中）在3.82668，0.358，0.002，3.2727…，2.3565656，0.23548…，3.03030…，8.7中，是有限小数的是( )；是循环小数的数是( )；是无限小数的是( )。 题型三、循环小数比大小 1．（24-25五年级上·安徽·期中）下面四个数中，最大的是（    ）。 A．0.675353… B．0.67555… C．0.6752752… D．0.6767 2．（24-25五年级上·福建厦门·期中）下面各数中比0.566大的数是（    ）。 A．0.56 B． C． D． 3．（24-25五年级上·陕西西安·期中）观察下面各数的排列顺序，正确的是（    ）。 A．0.3＜＜0.375＜0.333 B．0.375＞＞0.333＞0.3 C．＞＞＞0.777 D．＜0.777＜＜ 4．（24-25五年级上·陕西安康·期中）在1.599、、、、这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 5．（24-25五年级上·陕西咸阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )     ( ) ( )         ( )                ( ) 6．（24-25五年级上·广东汕尾·期中）在，3.14，，中，最大的是( )，最小的是( )。 7．（22-23五年级上·山西吕梁·期中）你会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.322( )0.32      0.799…( )0.7979…    3.414( )3.41 8．（23-24五年级上·湖南怀化·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.9×1.01( )0.9                                7.2÷0.98( )7.2 45÷0.01( )45×100                          ( ) 9．（24-25五年级上·河北张家口·期中）在0.765、、和0.76中，最大的数是0.76。( ) 10．（22-23五年级上·山东德州·期中）无限小数一定比循环小数大。( ) 题型四、循环小数和周期性规律综合问题 1．（24-25五年级上·陕西安康·期中）算式43÷909的商用循环小数表示为0.04730473…，则小数点后面的第38位上的数字是（    ）。 A．0 B．4 C．7 D．3 2．（24-25五年级上·福建福州·期中）2.654654654…的小数部分的第85位上的数字是（    ）。 A．2 B．6 C．5 D．4 3．（24-25五年级上·山东菏泽·期中）3.427142857142857…的小数点后第2024位数字是（    ）。 A．7 B．1 C．4 D．5 4．（23-24五年级上·上海虹口·期中）24÷7商的小数点后面第2023位上的数字是( )，小数点后这2023个数字之和是( )。 5．（23-24六年级下·云南普洱·期末）已知，小数点后第50位上的数字是( )。 6．（24-25五年级上·福建莆田·期中）7.32828…可以简写作( )，它的循环节是( )，它的小数部分第99位数字是( )。 7．（23-24五年级上·辽宁·单元测试）78.6÷2.2的商用循环小数表示是( )，保留三位小数是( )，小数点后面第15位的数字是( )。 8．（24-25五年级上·河北邢台·期中）在循环小数0.abcabc…中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数最大是多少？最小是多少？（a、b、c为3个不同的自然数） 9．（2025四年级下·全国·专题练习）有一个纯循环小数，循环节有5个数字，已知小数点后的第16位是9，第32位是8，第63位是0，第104位是7，第800位是3，这个循环小数的循环节是多少？ 10．（23-24五年级上·全国·课后作业）5÷7的商的小数点后面第2001个数字是几？商的小数点后面2001个数字和是多少？ 题型五、用计算器探究规律 1．（24-25四年级下·江苏无锡·期末）小丽用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积：6×9＝54，66×99＝6534，666×999＝665334。照此规律，第7个算式的积是（    ）。 A．6666666533333334 B．66666653333334 C．6666665333334 D．666665333334 2．（24-25四年级下·江苏宿迁·期末）用计算器探索规律：11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，推测11111×11111＝（    ）。 A．1222221 B．123453221 C．123454321 D．12344321 3．（23-24五年级上·福建厦门·期中）聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，根据这个规律7÷9.9＝（    ）。 A．0.40404…… B．0.60606…… C．0.70707…… D．0.80808…… 4．（24-25五年级上·浙江宁波·期中）探索规律，直接写出得数。 1÷9＝0.1111…        3×4＝12 2÷9＝0.2222…        3.3×3.4＝11.22 3÷9＝0.3333…        3.33×33.4＝111.222 4÷9＝         3.333×333.4＝ 8÷9＝         3.3333×3333.4＝ 9÷9＝         3.33333×33333.4＝ 5．（24-25四年级下·江苏泰州·期末）根据前三题的得数找规律，在括号内填上正确的结果。 3×9＝27 33×99＝3267 333×999＝332667 3333×9999＝( ) ( )×( )＝33333326666667 6．（25-26五年级上·全国·单元测试）连线课堂·运算的应用 （1）用计算器计算下面各题，你发现了什么。 5÷111＝（ ）     7÷111＝（ ）     9÷111＝（ ） （2）不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。 12÷111＝（ ） 15÷111＝（ ） 17÷111＝（ ） 我发现：它们的商的整数部分都是（    ），商都是（    ）小数，循环节有（    ）个数字，都是被除数的（    ）倍。 7．（24-25四年级下·山东德州·期中）找规律填空。 6×7＋2＝44    66×67＋22＝4444    666×667＋222＝444444 6666×6667＋2222＝     66666×66667＋22222＝ 8．（24-25四年级下·江苏·课后作业）任意写一个三位数（111，222，333，…，999除外），将三位数的三个数字重新组合，求出其中最大的与最小的差。再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你能发现什么？ 9．（24-25四年级下·江苏·随堂练习）先用计算器算出前三题的得数，再直接填出后面几题的得数，并用计算器验算。 _____________ _____________ _____________ _____________ _____________ _____________ 10．（24-25五年级上·河北·单元测试）请你用计算器计算下面有趣的算式。 1×0.9＝0.9      21×0.9＝18.9      321×0.9＝288.9 4321×0.9＝      54321×0.9＝      654321×0.9＝ 观察上面的算式和结果，你发现了什么？用你发现的规律直接写出下面各题的结果。 7654321×0.9＝      87654321×0.9＝ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $