22.1 一元二次方程 课件2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 华东师大版 1.学生能准确说出一元二次方程的概念,识别方程是否为一元二次方程;能熟练将一元二次方程化为一般形式,准确指出各项系数;能根据实际问题列出一元二次方程。(重点) 2.通过观察、类比、分析实际问题中的数量关系,经历建立一元二次方程模型的过程,培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力;在探究一元二次方程概念的过程中,提高学生归纳总结的能力; (难点) 学习目标 1.你还记得什么叫方程?什么叫方程的解吗? 含有未知数的等式;使方程等号左右两边相等的未知数的值。 2.我们之前学过什么方程? 一元一次方程;二元一次方程;分式方程 3.什么是一元一次方程?它的一般形式是怎样的? 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程. 一般形式:ax+b=0 (a≠0) 导入新课 回顾与思考 导入新课 回顾与思考 实际问题 分析 数学问题 方程的解 实际问题的答案 分析已知量、未知量和等量关系 列方程 抽象 解方程 设未知数 检验 问题1 绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积 为900平方米的矩形绿地,并且长比 宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少? 一元二次方程及其一般形式 一 讲授新课 1.设未知数:设矩形的宽为x 米 则根据题意知长为(x+10) 米 2.根据等量关系列方程: x(x+10)=900 去括号得: x +10 x-900=0① X x +10 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万 册.求这两年的年平均增长率. 你能根据题意,列出方程吗? 设这两年的年平均增长率为x,可列方程为:5(1+x) =7.2 整理可得:5x +10x-2.2=0② 问题1 x +10x-900=0 问题2 5x +10x-2.2=0 想一想:这两个方程与一元一次方程有什么区别? 区 别 : 未知数的最高次数不是一次,而是二次 这两个方程的共同特点: 1.只含有一个未知数 2.未知数的最高次数是2 3.整式方程 想一想 一般地,像这样只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程, (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 为什么要限制a≠0?b,c可以为零吗? 想一想 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 类比一元一次方程,你能给这类方程下定义?并写出它的一般形式吗? a x 2 + b x + c = 0 (1)列表填空: 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 4x2=3x (x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2) 4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 练一练 6 x2-x+6=0 (2)下列方程中哪些是一元二次方程 ①x+2=5x-3 ②x2=4 ③x2-4=(x-2)2 (3)①方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程? 不是 是 不是 不是 当2a-4≠0时,即a≠2时,该方程为一元二次方程. ④ ②什么情况下该方程为一元一次方程? 当2a-4=0时且b≠0时,即a=2且b≠0时该方程为一元一次方程 4x-8=0 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 一元二次方程的根 二 解:将x=0 代入关于x 的方程 (m-2)x +3x+m -4=0 中得 m -4=0 整理得m =4 ∴m= 2 1.已知关于 x 的一元二次方程(m-2)x +3x+m -4=0 的一个根是0, 求m 的值? ∵(m-2)x +3x+m -4=0 为一元二次方程 ∴m-2≠0, 即m≠2 ∴m=-2 当堂练习 练一练 2.试写出下列方程的根 (1)x2=9 (2)(x-2)2=9 (3)3x2=-4 想一想:一元二次方程的根与一元一次方程有什么不同? x1=3 ,x2=-3 x1=5, x2=-1 无实数根 课堂小结 方程 一元一次方程 二元一次方程(组) 分式方程 一元二次方程 1.为什么学本课? 2.本课学了什么? 3.本课怎么学? 4.本章学什么? 5.本章怎么学? 多元、高次方程 作业布置 情境一:学校要在一块长为10米,宽为8米的矩形空地上修建一个面积为48平方米的矩形花坛,要求花坛四周的小路宽度相等,求小路的宽度。 情境二:某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个。调查发现,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个? 情境三:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 请根据以下情景小组共同列出方程并化为一般形式,判断其是否为一元二次方程 $