安徽省合肥市第五十中天鹅湖校区2025-2026学年九年级上学期数学期中试题

2025-2026学年五十中天鹅湖五十中九年级上期中 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1.下列函数中，一定是关于 x 的二次函数的是（ ） A. y=ax²+bx+c B. y=2x-3 C. y=x²- D. y=3x²+x-2 2.下列图形中，一定相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为 70° 的两个菱形 D. 边长分别是 3 厘米和 5 厘米的两个菱形 3.如果，那么的值为（ ） A. 4 B. -4 C. D. - 4.已知抛物线 y=-x²+2x+1，下列结论中错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大 C. 当 x=1 时，y 取最大值 2 D. 抛物线的对称轴为直线 x=1 5.如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2BC。利用圆规在 AC 上截取 CD=CB，在 AB 上截取 AE=AD，点 E 就是 AB 的黄金分割点。若 AB=2，则 BE 的长为（ ） A. B. C. D. 6.在下列各图中，∠A=80°，AB=8，AC=6，将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形（阴影部分）与原来的 △ABC 不相似的是（ ） A. B. C. D. 7.反比例函数的图象如图所示，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 第7题图 第9题图 8.二次函数 y=ax²+bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程 ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的正数解 x 的取值范围可能是（ ） x …… -4 -3 -2 …… 3 4 …… y=ax²+bx+c …… 3.27 1 -0.75 …… -2 -0.75 …… A. -4<x<-3 B. -3<x<-2 C. 3<x<4 D. 4<x<5 9.如图，DE∥AB，∠1=∠3，则图中相似三角形共有（ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 10.对于二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）规定， ， 是它的相关函数。已知点 M，N 的坐标分别为（，1），（，1），连接 MN，若线段 MN 与二次函数 y=-x²+4x+n 的相关函数的图象有且只有两个公共点，则 n 的取值范围为（ ） A. -3<n≤-1 或 1<n≤ B. -3<n<-1 或 1≤n≤ C. n≤-1 或 1<n≤ D. -3<n<-1 或 n≥1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11.抛物线 y=-(x+5)²+2 的顶点坐标是________。 12.已知线段 a 是线段 m、n 的比例中项，如果 m=3cm，n=12cm，则 a=________cm。 13.如图，在平面直角坐标系中，函数 y=mx（m<0）与反比例函数 （k≠0）交于 A、B 两点，点 C 在 x 轴上，且 AC=AO，若 S△ABC=12，则 k=________。 第13题图 第14题图 14.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，________。 （1）FG=________； （2）当 △FGH 与 △ABC 相似时，FH=________。 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15.填写下表并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 y=x²-4x+3 的图象。 x …… …… y …… …… 16.如图，l₁∥l₂∥l₃，AB=3，BC=5。 （1）填空：的值为________，的值为________； （2）若 DF=12，求 DE 和 EF 的长。 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17.图 1 是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升 20°C，加热到 100°C 时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温 y（°C）是通电时间 x（min）的反比例函数。若给水温为 20°C 的水进行加热，水温 y 与通电时间 x 之间的函数关系如图 2 所示。 （1）在水温不降的过程中，求水温 y（°C）关于通电时间 x（min）的函数表达式； （2）在整个加热与降温过程中，水温不低于 40°C 的时间有多长？ 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 18.如图，和的顶点重合，，． 若，，求的长； 连接，，求证：∽． 19.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，连接． 求，的值； 若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请求点的坐标． 20.如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． 直接写出点、的坐标； 求二次函数的解析式； 根据图象求的解集． 六、（本题满分 12 分） 21.【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：、滑行距离单位：的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度单位：与小球运动时间单位：满足关系式小球滑行距离单位：与运动时间单位：满足关系式； ______，______，______，______ 任务三：问题解决 当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； 当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 七、（本题满分 12 分） 22.已知抛物线 y=ax²-2ax+a-3（a>0）。 （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线在 - 3<x<0 这一段位于 x 轴下方，在 5<x<6 这一段位于 x 轴上方，求 a 满足的条件； （3）当 a=1 时，若 A（m，y₁）、B（m+1，y₂）是抛物线上两点，记抛物线在 A、B 之间的部分为图象 M（包含 A、B 两点），若图象 M 上最高点与最低点的纵坐标之差为 3，直接写出 m 的值。 八、（本题满分 14 分） 23.在四边形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，分别连接 CE，DE。 （1）如图 1，若∠A=∠B，∠ADE=∠BEC。 （i）求证：AE²=AD・BC； （ii）求证：DE 平分∠ADC； （2）如图 2，若∠DAB+∠B=90°，∠DEC=90°，AD=3，BC=1，求 CD 的长。 第 8 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 九年级数学质量评估参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B B C A D B A 选择题重点题目答案解析 9. 解：，∽，，， ，， ，，∽， ，，∽， ，，∽， 图中相似三角形共有对，故选：． 由，得∽，，，而，则，可证明∽，∽，∽，所以图中相似三角形共有对，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理，不重复无遗漏地找出图中的相似三角形是解题的关键． 10. 【分析】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键． 首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【解答】 解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 所以当时，，即，解得． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为， ，解得：． 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线经过点， ． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 抛物线经过点， ，解得：． 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 综上所述，的取值范围是或， 故选：． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11. 12. 13. 14.（1）；（2）或。第（1）问 2 分；第（2）问 3 分，若仅写出一个正确答案得 1 分 选填空题重点题目答案解析 13. 【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是得出是的中线． 首先根据题意得到点和点关于原点对称，进而得到，然后由三角形中线的性质得到，过作，则，再根据反比例系数的几何意义解答即可． 【解答】 解：函数的图象与函数的图象交于，两点， 点和点关于原点对称，，是的中线，， 过作， ，， ，，故答案为：． 14. 解：过作于交于， 在中，，，， ， ，分别是边，的中点， ，，，∽， ， ，， ，，， ，，故答案为：； ，，， ，， ，，， ，，，当和相似时， ∽，，． ∽，，，， 综上所述，或，故答案为：或． 过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； 根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 15.解：， 根据对称性选取的值列表如下： 0 1 2 3 4 3 0 -1 0 3 （若填写其它对应值，正确即可）………………2 分 ………………8 分 16.解：（1），；………………4 分 （2）由（1）知，， ， ， 。………………8 分 (1)根据平行线分线段成比例定理即可得到结论； (2)根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 17.解：（1）设水温下降过程中，与的函数关系式为， 开始加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为。 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是；………………4 分 （2）在加热过程中，水温为时，所需时间为， 即温度都不低于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都不低于， ， 整个过程中水温不低于的时间为。………………8 分 依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得值，从而得到反比例函数解析式； 分类讨论，加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 18.（1）解：， ， ， ， ， ， ；………………4 分 （2）证明：，（没有连接，不扣分） ， ， 又， 。………………8 分 19.解：（1） 正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ；………………4 分 （2）根据题意，得， ， ， ， 设，则， ， 或。………………10 分 把代入正比例函数，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值； 由条件可求得，即可求得的面积，再结合与的面积相等，求得点坐标． 本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，在解题时注意：选择作为的底，并根据面积的大小求得点到的距离是解题的关键． 20.解：（1），；………………2 分 （2）将、代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为；………………8 分 （3）的解集为：或。………………10 分 21.解：（1），，，；………………4 分 （2）由，当时，，解得。 把代入，得。………………7 分 （3）小球滑行距离，小车行驶距离。 球不会撞上小车， 恒成立，即恒成立。 二次函数，，要使其值恒小于， 则需， 解得。………………12 分 对于，可根据表格中两组与的值代入方程，利用待定系数法求出和；对于，同样根据表格中两组与的值代入方程，用待定系数法求出和． 先根据求出小球停下来时的时间，再将该时间代入求出滑行距离． 分别表示出小球滑行距离和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出不等式求解的取值范围． 本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数解决实际问题．解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解． 22.解：（1）抛物线的对称轴为直线………………2 分 （2），， 抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上， 抛物线在这一段位于轴下方，在这一段位于轴上方， 当时，，当时，， ， 解得：，………………8 分 （3）或。………………12 分（只要求出一个正确答案即得 2 分） 23.（1）证明：（i），， ， ， 为的中点， ， ， 即；………………4 分 （ii），， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分；………………9 分 （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ， ，， （ASA）， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， 。………………14 分 根据对应角相等证明∽，所以对应边成比例，再根据是中点，代入比例式即可求证； 根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质定理求证即可； 过点作，交的延长线于点，连接，根据全等三角形的判定与性质，构造，在根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了相似形综合题，熟练运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是本题解题的关键． $