精品解析：四川省泸州市泸县四中学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

泸县四中学区2025年秋初中九年级数学学科 半期定时训练题 考试说明：1．全卷分为Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；2．全卷满分120分，考试时间为120分钟；3．答案填在答题卷对应题目号的位置上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度．下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象经过下列点中的（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（ ）． A. B. C. D. 8. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 10. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④ 12. 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共84分） 注意事项：用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 14. 某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 16. 如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是____________ 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：（用公式法） 18. 解方程：． 19. 已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 四、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）点的坐标为______，点的坐标为______． 五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 22. 已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 23. 如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县四中学区2025年秋初中九年级数学学科 半期定时训练题 考试说明：1．全卷分为Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；2．全卷满分120分，考试时间为120分钟；3．答案填在答题卷对应题目号的位置上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断． 【详解】A．中，只含未知数x，最高次项为，次数为2，且为整式方程，故此选项符合定义； B．中含有分式，不是整式方程，故此选项不符合定义； C．中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此选项不符合定义； D．中未知数次数为1，不是二次方程，故此选项不符合定义． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故选：D． 3. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度．下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，根据“如果一个图形绕着某一点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形”，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 二次函数的图象经过下列点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 6. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选B． 7. 将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ 原抛物线为向右平移1个单位， ∴ 新解析式为 故选C． 8. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 10. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 11. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断①正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断②错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论①正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论②错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 12. 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．由题意得，二次函数图象开口向上，则有，且方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，x的取值范围为或， 二次函数图象开口向上，且方程的解为，， ，是方程的两根， ， 解得：， 又， 当时，有最大值4，即， 解得：， a的范围是． 故选：A． 第Ⅱ卷 （非选择题 共84分） 注意事项：用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故答案为：． 14. 某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用已知表示出八、九月份的用户数量进而得出等式求出答案． 【详解】解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为x，则八月份用户数量为亿，九月份用户数量为亿， 根据题意可得方程为：． 故答案为：． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 16. 如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是____________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质． 抛物线开口向上，，与y轴交点在负半轴，；由对称轴，可得，利用这几个关系式可求出其他结论． 【详解】解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：（用公式法） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，． 19. 已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； 抛物线的关系式为． 四、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【解析】 【分析】（1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式． （2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． 【小问1详解】 解：设二次函数表达式为 ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= ∴ 【小问2详解】 解：令y=0，即=0 解得：x=3或x=-1 故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）点的坐标为______，点的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求 （2） 如图，即为所求 （3）； 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的点、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出点、的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）图可知，，由（2）图可知， 故答案为：；． 五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 22. 已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程中， ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意知，，由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的值是1． 23. 如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）每件衬衫的售价90元 （2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 【小问2详解】 解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3），最大值为 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； 【小问3详解】 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $