1.7 角平分线的性质　教学设计2025－2026学年浙教版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 八年级 学期 秋 季 课题 1.7 角平分线的性质 教学目标 1.结合实例理解角平分线的概念，发展抽象能力。 2.通过观察、测量、实验、归纳推理等，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，发展几何直观和推理能力。 3.能用尺规作一个角的平分线，并理解其作图原理与方法，发展空间观念和推理能力。 4.能运用角平分线的性质定理解决简单的几何问题，发展推理能力和应用意识。 教学重难点 教学重点：角平分线的性质定理。 教学难点：角平分线尺规作法正确性的证明及性质定理的灵活应用。 教学过程 环节一：创设情境·提出问题 观察工人师傅使用角尺平分任意角的操作： 已知∠AOB是一个任意角，在边OA, OB上分别取OM=ON，移动角尺使两边相同的刻度分别与M, N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。 问题一 工人师傅为什么通过“OM=ON”以及“相同刻度重合”这样的操作，就能准确地画出角平分线呢？这一操作背后的数学原理是什么？ 师生活动：引导学生分析操作步骤，发现其中OM=ON，MC=NC（相同刻度），OC=OC，从而通过“SSS”判定△OMC ≌ △ONC，进而证明∠MOC = ∠NOC。由此引出“角平分线”的概念，并强调“构造全等三角形”是证明角相等的关键思路。 设计意图：从工匠的实际操作出发，激发兴趣，渗透数学建模思想，自然引出课题，并为后续尺规作图的原理探究做好铺垫。 环节二：尺规作图 · 探索新知 问题二 借鉴工人师傅和纸伞设计中的智慧，我们能否仅用直尺和圆规，作出一个已知角∠BAC的平分线？ 师生活动：要作角平分线，需在角内找到一个点D，使得∠BAD = ∠CAD。如何找到这个点？可联想工人师傅的方法：在两边取等长（即保证与顶点的距离相等），再找到到这两个点距离相等的点（即保证与两边的某两个点距离相等）。 探索作法： 以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于点E、F。（保证了AE=AF） 分别以点E、F为圆心，大于½EF长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点D。（保证了ED=FD） 验证原理：连结DE、DF。由作法可知，AE=AF，ED=FD，AD=AD。∴ △ADE ≌ △ADF（SSS）。∴ ∠EAD = ∠FAD，即AD平分∠BAC。 归纳步骤：师生共同归纳并板书尺规作图步骤（同教材例1）。 设计意图： 让学生经历作图过程，理解每一步作图的数学原理，体会“作法”与“证明”的统一。 强化尺规作图的规范性，理解“大于½EF长”这一关键步骤的必要性（否则两弧无法相交）。 感悟欧氏几何的公理化思想：利用基本作图，通过逻辑推理构造新的图形。 环节三：观察猜想·证明性质 问题三 任意作一个角，作出它的角平分线。在角平分线上任取一点P，过点P分别向角的两边作垂线段，垂足为B和C。测量PB和PC的长度，你发现了什么？ 【猜想】 角平分线上的点到角两边的距离相等。 追问：如何证明这个猜想对任意一点都成立？ 师生活动：引导学生明确证明方向：在角平分线上任取一点P，证明该点到角两边的距离相等。引导学生将文字命题转化为已知和求证。 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点P是AD上任意一点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C。 求证：PB = PC。 师生共同分析：要证明PB=PC，可尝试证明△APB ≌ △APC。由角平分线定义得∠PAB=∠PAC，由垂直定义得∠ABP=∠ACP=90°，AP为公共边，根据“AAS”判定定理，△APB ≌ △APC，因此PB=PC。 师生活动：师生共同归纳角平分线的性质定理，并用图形、文字和几何符号三种语言进行表征。 文字语言：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何语言：∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA, PE⊥OB, ∴ PD = PE。 想一想：以上性质定理的获得，我们经历了怎样的学习过程？ 我的收获：我们经历了“观察—实验—猜想—证明—表述”的完整闭环，这正是研究图形性质的主要方法。 设计意图：渗透“从特殊到一般”和“用任意点代表所有点”的数学证明思想。通过严谨的演绎推理证明猜想，让学生感受数学证明的逻辑力量，巩固全等三角形的知识。 环节四 例题解析· 应用拓展 例2  已知：如图，AB // CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA = PD。 思考： （1）由已知AD⊥AB，AB//CD，可以推出什么结论？（AD⊥CD） （2）如何证明PA=PD？（直接证明困难，考虑添加辅助线） （3）本题的关键辅助线是什么？（过点P作PE⊥BC于点E） （4）如何利用角平分线的性质定理进行转化？（由PB平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，可得PA=PE；同理，由PC平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，可得PD=PE；故PA=PD） 师生活动：教师引导学生分析思路，特别是辅助线的添加动机和作用，学生独立完成证明过程。 想一想：此题的解决过程中，你有什么收获？ 我的收获：学习通过作垂线构造距离，将复杂问题转化为角平分线性质的基本模型，体会转化思想。 变式： 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，△ABC的面积为21，AC=6，DE=3，求AB的长。 分析： （1）由AD是角平分线，可以联想到什么性质？（角平分线上的点到角两边的距离相等，故需过点D作DF⊥AC于点F，则DF=DE=3） （2）△ABC的面积可以如何表示？ （3）由此能够获得怎样的数量关系？ 师生活动：教师引导学生运用“面积法”建立方程，学生求解。 我的收获： 掌握面积分割法，体会“数”与“形”的结合在解题中的灵活运用。 设计意图：本题旨在训练学生利用角平分线的性质进行线段等量转化或计算，是解决几何中证明线段相等、求线段长度问题的常用策略。通过问题链引导学生分析，渗透转化思想和数形结合思想。 环节五 回顾展望·思溯行远 问题四 回顾这节课，请思考： 1.对于“角平分线的性质”，你有哪些新的认识？ 2.我们是按照怎样的思路研究的？ 3.研究过程中我们应用了哪些思想和方法？ 师生活动：引导学生回顾本课核心知识点，强化定义、性质定理和尺规作图方法。引导学生提炼几何图形研究的一般路径、猜想证明的数学方法、以及“转化”和“数形结合”的数学思想（如将新问题转化为全等三角形问题，将几何关系转化为数量关系）。最后将学生的感性认识提升到核心素养的高度，点明本课在培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力和应用意识。 设计意图：通过回顾与反思，帮助学生构建知识体系，感悟数学思想方法，提升数学核心素养。 学科网（北京）股份有限公司 $