专题1.8 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质（举一反三讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题1.8 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质（举一反三讲义） 【浙教版2024】 【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 2 【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 3 【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】 4 【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】 5 【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】 6 【题型6 利用角平分线的性质求长度】 8 【题型7 利用角平分线的性质求面积】 9 【题型8 利用角平分线的性质求角度】 10 【题型9 利用角平分线的性质求最值】 11 【题型10 利用角平分线的性质证明】 12 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3. 尺规作作已知角的平分线：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为　　 A．36 B．22 C．20 D．21 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·广东中山·期末）如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为 ． 【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【变式4-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 【变式4-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】 【例5】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【变式5-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答． (1)如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________． (2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，于点C，________，点P是直线上的任意一点．求证：________． 证明： (3)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，，，则________． 【变式5-2】（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求度数． 【题型6 利用角平分线的性质求长度】 【例6】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式6-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【题型7 利用角平分线的性质求面积】 【例7】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【变式7-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ． 【题型8 利用角平分线的性质求角度】 【例8】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式8-1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【题型9 利用角平分线的性质求最值】 【例9】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 【变式9-1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【变式9-2】（22-23八年级上·陕西西安·期末）在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ． 【变式9-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，，则的最小值为 ． 【题型10 利用角平分线的性质证明】 【例10】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：． 【变式10-1】如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【变式10-2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【变式10-3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质（举一反三讲义） 【浙教版2024】 【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 2 【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 5 【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】 8 【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】 12 【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】 16 【题型6 利用角平分线的性质求长度】 22 【题型7 利用角平分线的性质求面积】 25 【题型8 利用角平分线的性质求角度】 29 【题型9 利用角平分线的性质求最值】 33 【题型10 利用角平分线的性质证明】 36 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3. 尺规作作已知角的平分线：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是 ． 【答案】32 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合 求解，即可解题． 【详解】解： 为的垂直平分线，， ， ， 则 ； 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， 又∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 分种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得、，根据题意得，利用三角形的外角的性质求得，根据即可求解；②当点与点重合，点与点重合，． 【详解】解：根据题意，有种情况， ①如图， 与边上的垂直平分线、分别交于点、点， ，， ，， ， ， 是的一个外角，是的一个外角， ，， ， ， ． ②如图，当点与点重合，点与点重合， 此时，． 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案． 【详解】解：∵，， ， ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键． 连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点D． ∵点O是的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为　　 A．36 B．22 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形与四边形的面积分别为8和13， ， 是的中线， ， ， 是边的中垂线， 是的中点， ， ， ， 故选：B 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直 平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据题意得到是的垂直平分线，可证，得到，由此可得阴影部分的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵是的对称轴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·广东中山·期末）如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识． 由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点，连接，则当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值，周长最小为的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点，连接 ∵， ∴， 当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值， ∵周长的最小值为， ∴， ∵F为边的中点，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵点关于，的对称点分别是点，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴当最小即取最小值时，的面积最小， ∴当，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积的最小值， 故答案为：18． 【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故答案为：11． 【变式4-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可． 【详解】解：垂直平分， ， 又，， ， 在上取点，连接、、， 垂直平分， ， ， 在中， 当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】 【例5】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上 (3)． 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答． (1)如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________． (2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，于点C，________，点P是直线上的任意一点．求证：________． 证明： (3)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，，，则________． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 (2)；；证明见解析 (3) 【分析】此题考查的是轴对称图形、线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”． （1）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 ． 即线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． （2）解：已知：如图1，于点C，，点P是直线上的任意一点．求证：． 故答案为∶ ；； 证明：解： ， 在和中 ． （3）解： CD是线段AB的垂直平分线， ，． ． ， ． ， ． 【变式5-2】（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 【题型6 利用角平分线的性质求长度】 【例6】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ； ∴， ； ∴， 中，， ∴； 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F， 平分，，， ， ，，， ， 解得：， 故答案为： 【变式6-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ． 【答案】1.8 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据，，证明，令点到的距离为，点到，的距离为，，则，再由等面积法可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则平分， 令点到的距离为，点到，的距离为，，则， ∴， 则，即：， ∴， 故答案为：1.8． 【变式6-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 【题型7 利用角平分线的性质求面积】 【例7】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 【变式7-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8 利用角平分线的性质求角度】 【例8】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，的平分线分别交、于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 【变式8-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴， ∴， ， ∴， 是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 【题型9 利用角平分线的性质求最值】 【例9】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 【答案】6 【分析】由垂线段最短得，当时，线段的值最小，由等边对等角得，根据平行线的性质得 ，则平分，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：由垂线段最短得，当时，线段的值最小， ∵， ， ， ， ∴，即平分， ∵，当时，线段的值最小， ∴线段的最小值是：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查平行线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质以及垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【变式9-1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【答案】2 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得：是的平分线， 当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案：． 【变式9-2】（22-23八年级上·陕西西安·期末）在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先要根据条件画出草图，如图所示，根据条件可知：点为角平分线的交点，则为到各边的距离，根据角平分线的性质：到三角形三条边的距离相等．可得，，的高都是，则，最后根据三角形三边关系即可得出． 【详解】 解：如图：点为两个内角的角平分线的交点， 为点到三边的距离 设 则 代入数据得： 的最大值为 故答案为 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质、三角形三边关系、等积法求线段长度等，三角形角平分线的性质的熟练运用是解决本题的关键． 【变式9-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，，则的最小值为 ． 【答案】 /度 3 【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质即可求解； （2）如图，过点作于点，交于点，则，可证，得到，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点，由三角形面积得到，又因为是等腰三角形，得到，即的最小值是3，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴， ∵，， ∴． （2）如图，过点作于点，交于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，即的最小值是3； 故答案为：①；②． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义及性质定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短路径的计算等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 【题型10 利用角平分线的性质证明】 【例10】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的性质得结合外角性质得，因为，证明，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴ ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，因为，故． 【详解】证明：∵是的角平分线 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$