第2章二次函数 单元基础达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点是（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 8．抛物线（，，为常数，且）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为；②在对称轴右侧，随的增大而增大；③抛物线的对称轴是直线；④当小于0时，的取值范围是．其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．用配方法把二次函数化成的形式 ． 10．抛物线的对称轴是 ． 11．如果抛物线有最低点，那么的取值范围为 ． 12．若抛物线的图象与抛物线的图象关于轴对称，则函数与轴的交点坐标为 ． 13．公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行 米才能停下． 14．如图是抛物线的部分图像，对称轴为直线，图像与轴一个交点为，图像与轴的另一个交点坐标为 ． 15．如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与轴的一个交点是，则函数值时，的取值范围是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．运用适当方法求下列二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (1)； (2)． 18．已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 20．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 21．八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价x/元 10 12 14 16 日销售量y/朵 36 32 28 24 小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题： (1)求y关于x的函数解析式： (2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润； (3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______． 22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，交y轴于点C (1)求此二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点M的坐标，对称轴； (3)求的面积 23．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 参考答案 1．D 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此判定即可． 【详解】∵， ∴二次函数的顶点坐标是：． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律即可得出答案，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为：， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系：二次函数图象与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的解，掌握此关系是解题的关键；据此关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴关于x的方程的解为，， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 6．D 【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集，根据题意找到二次函数图象在一次函数图象下方的部分，从而即可确定不等式的解集； 【详解】解：由图可知：当时，二次函数图象在一次函数图象下方， 即此时； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质．根据表中数据可知，当时，，即可判断①；根据时，，即可求对称轴，从而判断③，根据表格数据观察当，的变化情况，可判断②；根据增减性得出抛物线函数开口方向，结合与轴的交点即可判断④． 【详解】解：根据表格可知，当时，， ∴抛物线与轴的一个交点为，故①错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线，所以③错误； 根据表格当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大，故抛物线开口向上，，故②正确； 而 ∴当时，的取值范围是，故④正确； 故选：B． 9． 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，直接利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．直线 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题关键． 根据二次函数的对称轴为直线，得到答案即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最大值． 根据抛物线有最低点计算即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了关于y轴对称的抛物线，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特点，是解题的关键， 可直接利用关于y轴对称的点的坐标特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变求出函数解析式，即可求出与y轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的图象与抛物线的图象关于y轴对称， ∴函数的解析式为：, 令，得， 即函数与轴的交点坐标为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最值是解题的关键． 由题意得，此题实际是求从开始急刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：该函数关系式化成顶点式为， 当时，汽车停下来，滑行了米， 故该辆汽车急刹车时需要滑行米才能停下． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数图像的对称性．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键． 根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图像与轴一个交点为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用轴对称性求出另一个和轴交点的坐标是解题的关键．根据抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点为，然后观察函数图象，找出抛物线在轴下方的部分所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 从图图象以看出，抛物线开口向下， 因此当函数值时，的取值范围是在两个交点的外侧， 即或． 故答案为：或． 16．5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 17．(1)，直线 (2)，，直线 【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）， 顶点坐标为，，对称轴为直线． 【点睛】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18． 【分析】设出顶点式，代入求解即可． 【详解】解：由题意设函数的解析式是 把代入函数解析式得， 解得：， 则抛物线的解析式是. 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数． 19．(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 20．(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 21．(1)y关于x的函数解析式为 (2)当时，最大，最大值为元 (3)日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）销售单价x元，则每朵的利润为元，设销售利润为，由此列式，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）根据（2）中的利润，当时，，结合二次函数图象即可求解． 【详解】（1）解：y与x是一次函数关系，设， ∴， 解得，， ∴y关于x的函数解析式为： （2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元， 设销售利润为， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为元； （3）解：∵， ∴当时，， 整理得，， 解得，，即， ∵，函数图象开口向下， ∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为． 22．(1) (2)抛物线的顶点M的坐标为，对称轴为直线 (3)6 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，顶点式，三角形面积等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）将函数关系式化为顶点式即可得到答案； （3）求出点的坐标，求出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点、的坐标分别代入， 得：． 解得：， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为，对称轴为直线； （3）解：对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵、， ∴， ∴． 23．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $