精品解析：福建省莆田第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

莆田二中2025-2026学年上学期高二年段期中考数学科试卷 命题人：陈丽萍 审核人：蔡三忠 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 3. 在数列中，，点在直线上，则a3=（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 4. 已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A. B. C. D. 7. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，，则数列的前80项和为（ ） A. 1640 B. 1680 C. 2100 D. 2120 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线方程为 B. 与圆相离 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 直线的斜率的最大值为 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数为12 D. 的最小值为 11. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上异于点的任一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 在第一象限时，四边形面积的最大值为 D. 若点与关于原点对称，且异于点，则直线与直线的斜率之积为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 记为等比数列的前n项和，若，，则_______． 13. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是________. 14. 已知直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 椭圆焦距为4，经过点，，分别为它的左右焦点． （1）求椭圆C标准方程； （2）求外接圆的标准方程． 16. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 18. 已知数列前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2025-2026学年上学期高二年段期中考数学科试卷 命题人：陈丽萍 审核人：蔡三忠 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，利用斜率公式求得，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】因为直线经过和两点，可得， 设直线的倾斜角为，可得， 又因为，所以. 故选：B. 2. 方程表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 3. 在数列中，，点在直线上，则a3=（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】证明数列是等差数列，利用等差数列通项公式求解. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 所以数列是公差为的等差数列，又，所以， 故选：A. 4. 已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可. 【详解】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得， ，所以，， 则，所以， 由题意得，解得. 故选：D. 5. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由题意，得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 7. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 8. 数列满足，，则数列的前80项和为（ ） A. 1640 B. 1680 C. 2100 D. 2120 【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性以及等差数列进行求解. 【详解】设，因为的周期为， 所以的周期为. 又，，所以当n为奇数时，， 所以当n为偶数时，. 又，所以，， ，于是得到，同理可求出 ，…， 设，则数列是以6为首项，8为 公差的等差数列，所以数列的前80项和为数列的前20项和 .故B，C，D错误. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线的方程为 B. 与圆相离 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 直线的斜率的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两点式直线方程求解判断A；利用几何法判断直线与圆的位置关系判断B；结合几何特征利用点到直线距离公式求解最值判断C；当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值，利用相切关系列方程求解即可判断D. 【详解】直线的方程为，整理得，A正确； 圆心到直线的距离为， 所以与圆相离，B正确； 由上可知，点到直线的距离的最小值为，C错误； 结合图形可知，当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值， 设的斜率为，则的方程为，即， 由相切得，，解得， 所以的斜率的最大值为，D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数为12 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值. 详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C错误； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BD. 11. 设椭圆右焦点为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上异于点的任一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 在第一象限时，四边形面积的最大值为 D. 若点与关于原点对称，且异于点，则直线与直线的斜率之积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】写出点、、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可判断A选项；利用椭圆的方程、椭圆的范围结合两点间的距离公式可判断B选项；设点，其中，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出四边形面积的最大值，可判断C选项；利用斜率公式结合椭圆方程可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，， 则、、， 对于A选项，由平面内两点间的距离公式得，A对； 对于B选项，设点，其中，且有，可得， 所以 ，B错； 对于C选项，设点，其中， 故 ， 因为，则， 故当时，即当时，四边形的面积取最大值，C对； 对于D选项，不妨设点，则点，其中， 且有，可得， 所以， 即直线与直线的斜率之积为定值，D对. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 记为等比数列的前n项和，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知公比，设首项为，由求出，再代入求出，由此求得． 【详解】等比数列中，，，显然公比， 设首项为，则①，②， 化简②得，解得或（不合题意，舍去）， 代入①得， 所以． 故答案为： 13. 已知F1，F2分别是椭圆左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是________. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出，，则，结合图形可知，从而可求得结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 椭圆焦距为4，经过点，，分别为它的左右焦点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求外接圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由题意可得，再将点代入椭圆的方程，结合即可求出的值，进而求出椭圆C的标准方程； （2）先判断是直角三角形，利用直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点，结合点的坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】（1）由题意可得 ，解得 所以方程为：． （2）由，， 所以，所以是直角三角形，为外接圆直径， 故圆心，半径为， 所求外接圆标准方程为． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是判断是直角三角形，斜边即是外接圆的直径. 16. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； （2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】（1）或 （2）的最小值为，直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）将直线整理后解方程组可得，分情况讨论截距是否为零可得直线方程； （2）分别解得两点坐标求得面积的表达式，利用基本不等式即可得的最小值以及此时直线的方程． 【小问1详解】 将整理可得， 令，可得， 即可得定点， 若在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若在两坐标轴上截距不为零且相等， 设直线的截距式方程为，代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； 【小问2详解】 易知，且，可得； 所以三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为，此时直线的方程为. 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） ； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； 【小问3详解】 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时就，推得，得到数列是等比数列， 进而求得其通项公式； （2）由（1）知，设，利用错位相减法求和，即可得到答案； （3）用反证法进行代数证明. 【小问1详解】 解：由数列满足， 当时，，解得， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，设， 则， 则， 两式相减，可得， 所以. 【小问3详解】 证明：由（1）知，可得， 假设存在使得成等差数列， 由于单调递减，所以,所以， 代入得，即. 设，则，矛盾. 所以数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设与直线平行且与椭圆相切直线方程为， 联立，消得， 则，解得， 平行直线与的距离， 所以， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由题意可得直线的斜率不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 则， 直线之间的距离， 则四边形的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以， 由椭圆的对称性可得四边形的面积， 所以四边形的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $