精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团南海学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

南海中学2025-2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、是分式方程，故本选项错误； D、当时是一元一次方程，故本选项错误． 故选：A． 2. 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（ ） A. 游戏公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 3. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个解x的范围是． 故选：C． 4. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有（ ）个 A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴估计摸到红球的概率为， ∴红球有（个）， ∴白球有（个）； 故选：D． 5. 如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（　　） A. 100米 B. 200米 C. 300米 D. 400米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即：，米， ∴，米 故选：D． 6. 如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植区域，然后根据已知条件，列出方程即可． 【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形， 由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（）米， 根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960． 故选：A． 【点睛】本题考查列一元二次方程解决问题，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程． 7. 在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系；先根据公式计算出一元二次方程的两根之和与两根之积，再结合三角形三边关系即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴ ∴ 故选：C． 8. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小. 【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD． ∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90° ∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°， ∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM， ∴， ∵=S正方形ABCD，正方形的边长，， ∴=S正方形ABCD -=. 故选：D. 【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共15分） 二、填空题（5小题，共15分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 利用比例的性质，将拆分为，再代入已知条件求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用等知识点，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答 ，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】∵点C是线段上靠近点A的黄金分割点，，米， ∴米， ∴米， ∴主持人与点A的距离为米， 故答案为：米． 11. 将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 证明四边形是平行四边形，如图，作于，于，由等宽可得，由，可得，证明四边形是菱形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， 如图，作于，于，由等宽可得， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， ∴满足的最小整数2 故答案为：2． 13. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P、Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接CF，交于点G、若，则的值为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形性质，相似三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先根据作图得出平分，垂直平分，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图得：平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（7大题，共61分） 14. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可； （3）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ； 【小问2详解】 解： 或 ； 【小问3详解】 解： 15. 如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16. 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． （1）将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． （2）连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． （3）请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换，旋转及对称作图：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了一次函数． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点，对应点，，从而得到； （2）连接，分别作出点的对应点，将缩小得到； （3）作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，再用待定系数法求出其坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：如图，作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线函数关系式为， 令，则，解得：， 17. 2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 A n B 75 C 69 D 36 请根据以上信息，完成下列问题， （1）随机抽取的学生人数为_________人，统计表中的_________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为_________度； （2）该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人 （3）该比赛服务组有一名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中都是女生的概率． 【答案】（1），，； （2）该校成绩达到等级及以上的有人； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： （1）结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； （2）根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； （3）根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中都是女生的情况共有2种，可以求出恰好选中“都是女生”的概率． 【小问1详解】 解：(人)， (人)， ； 【小问2详解】 解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； 【小问3详解】 解：列表如下， 男 女1 女2 男 女1，男 女2，男 女1 男，女1 女2，女1 女2 男，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现机会均等，其中是都是女生的情况共有2种， 恰好选中“都是女生”的概率， 答：恰好选中“都是女生”的概率为． 18. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：____________；____________ （2）计算： （3）在复数范围内解方程： 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，然后根据计算即可； （3）利用配方法求解一元二次方程即可． 小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，配方法解一元二次方程等知识点，深刻理解题意，能够利用进行计算并熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 19. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ （2）求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ （3）若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 【答案】（1）30天后这批苹果的市场价为每千克13元 （2）3天后一次性全部售出所得的利润为591元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，正确理解题意列出式子和方程求解是解题的关键． （1）用上涨的价格除以每天上涨的价格即可得到答案； （2）求出三天后的价格以及没有损坏的苹果质量，进而求出销售额，再减去购买苹果的成本和冷藏费用即可得到答案； （3）根据利润等于销售额减去购买苹果的成本和冷藏的费用建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：天， 答：30天后这批苹果的市场价为每千克13元； 【小问2详解】 解： 元， 答：3天后一次性全部售出所得的利润为591元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得（舍去）或． 20. 小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型： 如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空） 问题变式： （1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空） （2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展： 若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空） 【答案】（1）5；（2），；（3）不变，[问题拓展] 【解析】 【分析】问题原型：如图1中，延长交于，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； 问题变式：（1）如图2中，作于．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出、即可解决问题； （2）不变．理由如下：连接、．只要证明，列比例式即可解决问题； 问题拓展：在图4中，计算长，同理得，通过计算即可解决问题． 【详解】解：问题原型： 如图1中， 延长交于， ∵矩形，矩形，，，、分别是、边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴在中，． 故答案为5． 问题变式： （1）如图2中，过作于，则． 在矩形中，，， ∴由勾股定理得， ∴， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）不变，理由如下：连接、， 由旋转可知：， 同上在中，由勾股定理可知：， ，， ， ， ； 问题拓展：如图4中，过作于，连接， ， 是等腰直角三角形， ， ∴由勾股定理得：， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 如图5，连接、． ∴在中，，， 同上可求：， ， ∴ 由旋转得： ， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海中学2025-2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（ ） A. 游戏公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法判断 3. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 029 076 A. B. C. D. 4. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有（ ）个 A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 5. 如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（　　） A. 100米 B. 200米 C. 300米 D. 400米 6. 如图，学校课外生物小组试验园地形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第Ⅱ卷（非选择题共15分） 二、填空题（5小题，共15分） 9. 若，则______． 10. 如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______米． 11. 将宽度相等两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为______． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 13. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P、Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接CF，交于点G、若，则的值为______． 三、解答题（7大题，共61分） 14. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 15. 如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 16. 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． （1）将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． （2）连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． （3）请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 17. 2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 A n B 75 C 69 D 36 请根据以上信息，完成下列问题， （1）随机抽取的学生人数为_________人，统计表中的_________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为_________度； （2）该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人 （3）该比赛服务组有一名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中都是女生的概率． 18. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：____________；____________ （2）计算： （3）在复数范围内解方程： 19. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ （2）求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ （3）若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 20. 小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型： 如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空） 问题变式： （1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空） （2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展： 若将“问题原型”中矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $