精品解析：河南省南阳市2025-2026学年高二上学期期中质量评估数学试题

2025年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (P25改编） 1. 直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，结合直线的倾斜角和斜率的关系，即可求解. 【详解】因为直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 过点和的直线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. (P19改编） 3. 已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. (P68改编） 4. 双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设出双曲线的方程，再代入点，求出标准方程，即可求出离心率. 【详解】根据题意，设双曲线的方程为， 又因为经过点，代入可得， 故标准方程为，故， ， ，故， 故选：. (P75改编） 5. 若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 6. 过点的直线与圆相交，截得的两条圆弧之差最大，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出与过点的直径垂直的弦所在直线方程即可． 【详解】因为，因此在圆内，那么满足题意的弦与过点的直径垂直， 圆心为，，因此所求直线的斜率为，直线方程为，即， 故选：B． 7. 已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 8. 椭圆C：的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的方程与性质得出，再应用余弦定理计算得出离心率求解． 【详解】如图所示： 因为，所以， 又，所以， 连接，， 在中，， 由余弦定理得， 所以 所以，所以椭圆C的离心率． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离列方程可求出a的值 【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径. 又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. 又， 所以，解得或. 故选：AB (P27改编） 10. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 11. 数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（ ） A. 双纽线有对称中心和对称轴 B. 双纽线的方程是 C. 的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用对称性验证即可；求曲线方程，需要根据距离公式建立等式；求的最大值以及面积的最大值则可以根据基本不等式和根据已有的条件和相关数学知识进行分析推导. 【详解】对于A，因为，关于原点对称，设点是双纽线上的点， 那么点关于原点对称点到，的距离之积与到，的距离之积相同. 关于轴，设在双纽线上，点关于轴对称的点到，的距离之积与到，的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A选项正确. 对于B，设， ，. 因为，所以. 展开可得. 进一步展开 令，则，即. 将代回得. 展开. 整理得，B选项正确. 对于C，由均值不等式. 已知，所以，当且仅当时取等号， 的最小值为，C选项错误. 对于D，设，根据三角形面积公式. 因为，所以. 因为最大值为，所以的最大值为，D选项正确. 故选；ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线上的两点，若，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式，求出纵坐标的差的绝对值，再根据斜率的坐标公式，分类讨论符合条件的情况，求出结果即可. 【详解】由题意可知，代入得，解得. 可得，， 所以. 故答案为：. 13. 过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程. 【详解】设，， 则，，所以， 即. 因为，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 14. 已知圆：，点，点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】转化为轴上动点到两定点和的距离之和的最小值. 【详解】，圆心为，半径，点，点在直线上，设（为实数）， 根据切线长公式， |AM|为点到圆的切线长， 即： 点到点的距离为： 因此的最小值转化为轴上动点到两定点和的距离之和， 由于、在轴同侧，作关于轴的对称点，则 ，当且仅当在与轴的交点时取等号， ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是的三个顶点． （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求证：的三条高交于一点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】1）先求出BC的斜率，进而根据垂直斜率关系求出高的斜率，再用点斜式求解即可； （2）分别求出三条高所在直线方程，联立解出交点即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 则BC边上的高所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 由得， 所以边上高所在直线方程的斜率为， 所以边上高所在直线方程为，即① 由（1）知边BC上高所在直线方程为② 由得， 所以边上高所在直线方程的斜率为， 所以边上高所在直线方程为，即③ 联立方程①②，相减得，从而得， 把代入，方程成立， 所以的三条高交于同一点. 16. 已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． （1）若，求直线的方程； （2）若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆标准方程； （2）已知直线方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线方程，与联立，可求圆心坐标，再利用求圆的半径，即可得圆的标准方程. （2）（i）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式可求的值； （ii）先判断，利用四边形面积的求法确定四边形面积最大时，直线的位置，可求的值. 【小问1详解】 线段的垂直平分线方程为： ，即. 由，即圆心. 又, 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 （i）直线：. 因为直线与圆相切，所以：. 所以或. （ii）如图： 因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直. 所以四边形的面积为：，其中为定值. 所以当最大时，四边形的面积最大. 即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大. 由. 18. 已知动圆过点，且与圆内切． （1）求点的轨迹的方程； （2）若点，直线与相交于、两点，是否存在实数，使? 若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）分析可知，则的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出、的值，可得出的值，由此可得出点的轨迹方程； （2）解法一：设点、，设线段的中点为，利用点差法得出，分析可知，可得出，进而可求出点的坐标，注意到点在椭圆内，再将点的坐标代入直线的方程，求出实数的值即可； 解法二：设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的取值范围，结合韦达定理求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，即可求出实数的值，即可得出结论. 【小问1详解】 如下图所示： 圆的半径为，圆的半径为， 因为圆内切于圆，故，即， 所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，则，，， 因此点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解法一：设点、，设线段的中点为， 则，， 由得， 即，又因为，所以①， 因为，为的中点，所以，故②， 联立①②可得，，即点， 因为，故点在椭圆内部，此时直线与椭圆有两个交点，合乎题意， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 综上所述，存在实数合乎题意； 解法二：设点、， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 所以，故线段的中点为， 因为，为线段的中点，所以， 即，解得，合乎题意， 综上所述，存在实数合乎题意. 19. 已知抛物线，直线m过点且与抛物线相交于两点，直线分别与抛物线的准线l相交于两点． （1）若点P是抛物线 上任意一点，点P在直线l上射影为Q，求证： （2）求证：以为直径的圆过坐标原点； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【小问1详解】 由题意可知，直线方程为， 如图所示，设点，则， 所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 如图所示，作中点，连接， 由题意可知，直线斜率一定存在，设直线方程为，设， 可得，消去得，可知恒成立， 可得. 则， 则， 可知点， 因为. 所以，则， 可得，所以以为直径的圆过坐标原点. 【小问3详解】 如图所示，直线方程为，直线方程为， 因为直线方程为，所以， 则， 因为 所以， 所以当时，取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (P25改编） 1. 直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点和的直线方程为（ ） A B. C. D. (P19改编） 3. 已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 或1 (P68改编） 4. 双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. (P75改编） 5. 若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3 6. 过点的直线与圆相交，截得的两条圆弧之差最大，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆C：的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且，则椭圆C的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. (P27改编） 10. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 11. 数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（ ） A. 双纽线有对称中心和对称轴 B. 双纽线的方程是 C. 最大值为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线上的两点，若，且，则_______. 13. 过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为_______. 14. 已知圆：，点，点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是的三个顶点． （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求证：的三条高交于一点． 16. 已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． （1）若，求直线的方程； （2）若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN面积最大时，求实数m的值． 18 已知动圆过点，且与圆内切． （1）求点的轨迹的方程； （2）若点，直线与相交于、两点，是否存在实数，使? 若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线，直线m过点且与抛物线相交于两点，直线分别与抛物线的准线l相交于两点． （1）若点P是抛物线 上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证： （2）求证：以为直径的圆过坐标原点； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $