精品解析： 重庆川外基础教育集团2025一2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题

重庆川外基础教育集团2025－2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各运算中，正确的是 （　　） A. （m－2）2＝m2－4 B. （a＋1）（－a－1）＝a2－1 C. （1＋2a）2＝1＋2a＋4a2 D. （a＋1）（－1＋a）＝a2－1 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点为边上的一点，，将沿翻折到所在的平面，得，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的多项式，其中为正整数，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有15个； ③若多项式为整数），其中，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算___________． 12. 已知，，则________． 13. 分解因式：___． 14. 如图，在中，的平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若且，则长为___________． 15. 如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是___________（用含x，y的代数式表示） 16. 如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为___________．     17. 如图，在中，，点为上一动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是___________． 18. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与百位数字的乘积恰好等于它的十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个数为“等积数”．如是等积数．最小的“等积数”为___________；对于一个“等积数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“等积数”的最大值与最小值的差是___________． 三、解答题（19题8分，其余各小题均为10分，共78分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 21. 如图，在中，平分交于点于点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接EF交BD于点．（不写作法，留作图痕迹，要写结论） （2）在（1）中所作的图形中，求证：垂直平分（完成相应填空）． 证明：是的平分线， ① ． 又， 在和中， ③ 又平分， ④ ． 垂直平分． 22. 在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）请在图中画出关于轴对称的图形，并直接写出的坐标； （2）若点为轴上一点，坐标为，且，若的面积为10，求点的坐标． 23. 如图所示，在和中，其中与交于点，点在上，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 感恩节前夕，某花店购进了一批香水百合和康乃馨进行销售．已知每束香水百合比每盒金装康乃馨的进价少100元，花店用4800元购进了20盒金装康乃馨和120束香水百合． （1）求每束香水百合和每盒金装康乃馨的进价分别是多少？ （2）由于销售火爆，第一批销售完后，该花店又用相同的进价购进了300束香水百合和200盒金装康乃馨．香水百合售价为60元一束，康乃馨售价为240元一盒．销售一段时间后，香水百合售出了总数的，康乃馨售出了总数的．为了清仓，该店老板对剩下的香水百合和康乃馨以相同的折扣进行打折销售，并很快全部售出．求花店最低打几折可以使得这批花的总利润不低于总成本的？ 25. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 26. 如图，在中，，点为边上的动点，点为延长线上一点，连接． （1）如图1，若且，求线段的长度； （2）如图2，若且点为边上的中点，连接，求证：； （3）如图3，，点在运动过程中，当最小时，将绕点逆时针旋转角度得到，在旋转过程中，当直线与直线形成的夹角为时，延长、相交于点，在射线上取一点，连接、，使，请直接写出此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆川外基础教育集团2025－2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】A．=2，属于有理数； B．3.14，属于有理数； C．，属于有理数； D．是无理数； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A.∵a6÷a3=a3， ∴选项A不符合题意； B.∵（a2）3=a6， ∴选项B不符合题意； C.∵（ab）2=a2b2， ∴选项C不符合题意； D.∵a2•a3=a5， ∴选项D符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握． 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 5. 下列各运算中，正确的是 （　　） A. （m－2）2＝m2－4 B. （a＋1）（－a－1）＝a2－1 C. （1＋2a）2＝1＋2a＋4a2 D. （a＋1）（－1＋a）＝a2－1 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式逐项计算即可． 【详解】A. 原式＝m2－4m+4，故不正确； B. 原式=-(a+1)2＝-a2－2a-1，故不正确； C. 原式＝1＋4a＋4a2，故不正确； D. 原式＝a2－1，正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、添加，无法判定，故此选项符合题意； B、添加， ∴，故添加选项B可以判定，故此选项不符合题意； C、添加， ， ∴，故添加选项C可以判定，故此选项不符合题意； D、添加， ， ∴，故添加选项D可以判定，故此选项不符合题意． 故选：A． 7. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 9. 如图，在中，，点为边上的一点，，将沿翻折到所在的平面，得，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用；如图，连接，根据折叠的性质可得，，，进而得出是等边三角形，求得，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，将沿翻折到所在的平面，得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 10. 若关于的多项式，其中为正整数，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有15个； ③若多项式为整数），其中，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，解决本题的关键是根据多项式的定义分情况写出所有可能出现的结果即可． 【详解】① ∵ ，令 ，则奇次项系数和 ． ， ， ∴， 故①正确 ②为正整数， 当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或或，共个， 当时，，共个， 一共有个， 故正确； ③ ∵ ， ∴ ，． 解方程：由 得 ，代入 ， 即 ，， 解得 （整数），则 ， ∴ ，正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，分别计算乘方、绝对值和零指数幂，然后合并同类项． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知，，则________． 【答案】72 【解析】 【分析】先逆用同底数幂的乘法，将原式变形为，再逆用幂的乘方，变形为，最后把已知代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：72． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则将式子恒等变形是解题的关键． 13. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 14. 如图，在中，的平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若且，则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角的性质，平行线的性质；证明，根据，即可求解． 【详解】解：设 依题意，， ∴ ∵ ∴， ∴，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 15. 如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是___________（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 16. 如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为___________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质．根据三线合一可得是边上的中线，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，点为上一动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质求线段和的最值问题，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理以及等边对等角；作关于的对称点，连接，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，得出，当重合时取得等号，则，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，过点作交于点，过点作于点，过点作于点， ∴，当重合时取得等于号， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴的面积是 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与百位数字的乘积恰好等于它的十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个数为“等积数”．如是等积数．最小的“等积数”为___________；对于一个“等积数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“等积数”的最大值与最小值的差是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，数的整除，不定方程；首先，寻找最小的“等积数”，即千位数字与百位数字的乘积等于十位与个位数字组成的两位数，且所有数字不为零。从千位最小开始尝试，千位为2时，百位为6满足条件，得到数2612。其次，对于满足为整数的“等积数”，通过条件推导出3a+b是17的倍数，结合a×b=10c+d且数字非零，得到两个数3824和9763，再求差，即可求解． 【详解】解：设四位数为，依题意，． 当，时，，则，但，无效． 当，时，，则，即，，数为，且所有数字非零，符合条件． 其他时，数均大于． 故最小“等积数”为． 依题意，，． 且为整数，即能被整除． ∴． ∴能被整除，由于3与17互质，则能被整除． ∵ ∴，17的倍数有17和34． 若，则．结合且，得且： ，，，则，即，，数为3824． ，，，则，但，无效． ，，，则，但，无效． 若，则．结合且，得，，，则，即，，数为9763． 满足条件的数为3824和9763，最大值与最小值之差为． 故答案为：，． 三、解答题（19题8分，其余各小题均为10分，共78分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，平方差公式与完全平方公式． （1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值．先化简表达式，利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并同类项后约分，得到简化形式 ，再代入已知条件  求值． 【详解】解：原式   ∵  ∴ 原式  21. 如图，在中，平分交于点于点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接EF交BD于点．（不写作法，留作图痕迹，要写结论） （2）在（1）中所作的图形中，求证：垂直平分（完成相应填空）． 证明：是的平分线， ① ． 又， 在和中， ③ 又平分， ④ ． 垂直平分． 【答案】（1） 解：如图所示， （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再证明，得到，根据三线合一进而证明是线段的垂直平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：是的平分线， ． 又， 在和中， 又平分， ． 垂直平分． 22. 在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）请在图中画出关于轴对称的图形，并直接写出的坐标； （2）若点为轴上一点，坐标为，且，若的面积为10，求点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： ，， （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、坐标与图形、平面直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先作出点、、关于轴的对称点，然后再顺次连接即可，根据坐标系直接写出的坐标即可； （2）过点作轴的垂线，垂足分别为，根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：作出点、、关于轴的对称点顺次连接， 则即为所求作的三角形， 三点的坐标分别为：，，． 【小问2详解】 解：如图， 过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴，，，，， ∴， ∵点为轴上一点，坐标为，，的面积为10， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 23. 如图所示，在和中，其中与交于点，点在上，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的定义以及等边对等角可得，根据已知得出，进而根据，证明，根据全等三角的性质，即可得证； （2）根据已知得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ 24. 感恩节前夕，某花店购进了一批香水百合和康乃馨进行销售．已知每束香水百合比每盒金装康乃馨的进价少100元，花店用4800元购进了20盒金装康乃馨和120束香水百合． （1）求每束香水百合和每盒金装康乃馨的进价分别是多少？ （2）由于销售火爆，第一批销售完后，该花店又用相同的进价购进了300束香水百合和200盒金装康乃馨．香水百合售价为60元一束，康乃馨售价为240元一盒．销售一段时间后，香水百合售出了总数的，康乃馨售出了总数的．为了清仓，该店老板对剩下的香水百合和康乃馨以相同的折扣进行打折销售，并很快全部售出．求花店最低打几折可以使得这批花的总利润不低于总成本的？ 【答案】（1）每束香水百合的进价为元，每盒金装康乃馨的进价为元． （2）花店最低打折． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用． （1）设每盒金装康乃馨的进价为元，根据总进价列出方程求解； （2）先计算总成本、已销售部分的收入，再设折扣率列不等式求解最低折扣，即可求解． 【小问1详解】 解：设每盒金装康乃馨的进价为元，则每束香水百合的进价为元． 根据题意，． 解得：． 因此，每束香水百合的进价为元，每盒金装康乃馨的进价为元． 答：每束香水百合的进价为20元，每盒金装康乃馨的进价为120元． 【小问2详解】 总成本为元． 要求总利润不低于总成本的，即利润%元． 已销售香水百合束，收入元． 已销售康乃馨盒，收入元． 已销售部分总收入为元． 剩余香水百合束，康乃馨盒． 设打折折扣为（），则打折收入为元． 总收入为元． 利润为元． 依题意：． 解得：． 因此最低打折． 答：花店最低打6折． 25. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】（1） （2）,  （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，把代入， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：把和分别代入， 即 解得： 【小问3详解】 解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 26. 如图，在中，，点为边上的动点，点为延长线上一点，连接． （1）如图1，若且，求线段的长度； （2）如图2，若且点为边上的中点，连接，求证：； （3）如图3，，点在运动过程中，当最小时，将绕点逆时针旋转角度得到，在旋转过程中，当直线与直线形成的夹角为时，延长、相交于点，在射线上取一点，连接、，使，请直接写出此时的度数． 【答案】（1） （2） 证明：如图，在上截取，连接，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据三角形内角和定理得出，进而得出，根据，求得，进而分别求得，根据等角对等边，即可得证； （2）在上截取，连接，过点作于点，则，证明，，根据全等三角形的性质以及线段的和差关系，即可得证； （3）作关于的对称点，则，则在的延长线上，两点重合，延长交于点，得出当时，取得最小值，进而画出图形，设，则，，延长交于点，交于点，证明是的角平分线，是等腰直角三角形，则，，再证，进而得出，则是等腰直角三角形，再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 设， ∴ ∵且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，∵， ∴， 作关于的对称点，则，则在的延长线上，两点重合， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值， 延长交于点， ∴， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴ 如图，延长交于点，交于点， 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， 在中，， ∴， ∴是的角平分线， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 当时，不满足， 如图， 综上所述，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形外角的性质，垂线段最短，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $