精品解析：山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试题

保密★启用前 2024级高二期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，对应倾斜角为. 故选：D 2. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】如图，连接， 由题意可知， 因为为坐标原点，为的中点， 所以，， 则. 故选：C 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 7. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点. 在正方体中，平面，平面，， 又，，平面，即，， 同理可证，，则，. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，. 对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确； 对于命题②，，则平面的一个法向量为， ，令，解得， 所以，存在点使得平面，命题②正确； 对于命题③，，令， 整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 8. 将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 椭圆的离心率为 D. 是椭圆的一个焦点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可求得，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：， 设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有，即，则该对称点位于椭圆方程上， 同理可得其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 所以关于直线，所以，故A正确； 将代入，可得，所以， 所以椭圆长轴的顶点为，所以，故B正确； 将将代入，可得，所以， 所以椭圆短轴的顶点为，所以， 所以，所以，故C不正确； 焦点在，结合，可得焦点坐标为，故D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得不分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为1 C. 切线长的最小值为1 D. 直线恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知在以为直径的圆上，利用两圆方程求得直线的方程，即可求解. 【详解】对于A，因为圆，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为， 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于C，由圆的性质，切线长， 当最小时，有最小值，此时，即， 则，故C正确； 对于B，四边形的面积为：， 因为，故四边形的面积为1，故B正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线， 所以，则在以为直径的圆上，又， ，即， 又圆，即， 上述两式相减，得直线的方程为，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是分析得在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 11. 已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为为坐标原点，为线段上一点，直线垂直平分线段且交椭圆于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有三个公共点 D. 若直线的斜率分别为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，结合离心率的公式即可求解A，根据椭圆的定义，即可求解C，根据两点距离公式，结合二次函数的性质求解的最值，根据即可求解C，根据，结合点斜式求解直线方程得，即可得直线的方程，将代入即可求D. 【详解】由题知：，即，故A正确； 由题知：， 与的周长相等 又， 故的周长为，即的周长为，故B正确； 由可得，故，则， 设为椭圆上的任意一点，则 当时，，即， 以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有一个公共点，故C错； 设直线的斜率为，易知：； 直线的方程为：，直线的方程为： 点的坐标满足方程： 即 又点椭圆上，点的坐标满足 代入上式可得： 即为直线的方程， 将代入得：，又，所以. 故D正确， 故选:ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两个非零向量，，定义．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故， 所以， 故答案为： 13. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式以及圆的方程，可将问题转化成可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，进一步转化为圆心到直线的距离即可求解. 【详解】原不等式可化为：对恒成立． 记直线，半圆弧 ， 则可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，也就是原点半圆弧所在圆的圆心到直线的距离大于或等于． 而原点到直线的距离：，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是椭圆的左顶点，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且，求弦的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列式计算得解； （2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解. 【小问1详解】 依题意可得， 解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 联立，消去得， 则，. 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 由， 解得. 所以， 所以. 16. 如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，． （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）由，因为平行六面体可知： 且 又因为，， 所以， 则有，即四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算来证明两向量相等，得四点共面； （2）利用空间向量的线性运算和数量积运算，来证明两平面二面角的平面角，再用空间向量法来求夹角余弦值，从而问题可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 由于，则有， 又由余弦定理得： 所以， 又由， 则， 所以有，又因为的中点为，所以, 即就是平面与平面的夹角或其补角， 由， ， 由， ， ， 所以有， 故平面与平面夹角的余弦值是. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 18. 已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． （1）求的方程； （2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，分和两种情况讨论，当时，可直接求得或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用直线与椭圆的位置关系，得，化简即可求解；②利用恰为圆心，利用圆的性质有，再求出的范围，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，，解得，， 又，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设，则的中点为， ①当时，的垂直平分线方程为， 此时，则或；即或 当时，的垂直平分线方程为：， 由，消得， ， 整理得， 因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点， 则， 即， 整理得， 即， 因为，所以， 而，也满足该式， 故点的方程为，即． ②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点， 又易知点在圆内，则， 又由椭圆的性质知，，得到， 故所求线段MQ长度的取值范围是 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ①由椭圆定义可知， 所以的周长，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为， 直线，即， 联立得，解得或， 当时，，当时，， 因为点A在x轴上方，所以， 故⊥，折叠后有⊥， 因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； ② （2） 存在， 【解析】 【分析】（1）①根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论； ②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. 【小问1详解】 ①略. ②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为， 将直线与椭圆方程联立得，， 则， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，，， 由，， 故， 所以①， 分子有理化得， 所以②， 由①②得， 因为 ， 故， 即， 将代入上式得 ， 两边平方后，整理得， 即，解得， 因为，所以. 【点睛】出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 五、附加题：（本小题10分） 20. 正三棱锥的底面边长为1，高.在此棱锥中有一个内切球，又在它上面有一个和它外切并和棱锥各侧面相切的球.按照这种方法继续把球堆上去，求这无数个球的体积总和. 【答案】 【解析】 【分析】利用截面图先计算出，再由几何关系分析得到的关系，依次类推可得半径成等比数列，计算无穷等比数列的和结合球的体积公式，可得结果. 【详解】设内切球的球心依次为，对应半径依次为， 过侧棱以及高的截面过球心和切点，其截面图形如图所示， 其中为斜高，为球与斜高的切点， 所以，， 因为，且， 所以，解得， 在直角梯形中，，由此可得， 同理可得：， 所以无数个球的总体积为， 且， 所以无数个球的总体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2024级高二期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 7. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 8. 将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 椭圆的离心率为 D. 是椭圆的一个焦点 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得不分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为1 C. 切线长的最小值为1 D. 直线恒过定点 11. 已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为为坐标原点，为线段上一点，直线垂直平分线段且交椭圆于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有三个公共点 D. 若直线的斜率分别为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两个非零向量，，定义．若，，则___________． 13. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是椭圆的左顶点，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且，求弦的长. 16. 如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，． （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 18. 已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． （1）求的方程； （2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 五、附加题：（本小题10分） 20. 正三棱锥的底面边长为1，高.在此棱锥中有一个内切球，又在它上面有一个和它外切并和棱锥各侧面相切的球.按照这种方法继续把球堆上去，求这无数个球的体积总和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $