精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

莎车县2025-2026学年第一学期阶段性练习题 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. 2 D. -2 3. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四棱锥底面是矩形，底面，设，，，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（ ） A B. C. D. 8. 已知， 是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知空间中三点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与是共线向量 C. 与夹角为 D. 在上投影向量的长度为 10. 已知是椭圆两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆长轴长为10 B. 的最大值为25 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 11. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列结论中，正确结论的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 平面 C. D 直线平面 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 13. 已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为___________． 14. 若曲线与直线有两个交点，实数的取值范围是________． 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 16. 已知点 （1）求过点，且与直线垂直的直线方程． （2）直线经过线段的中点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的方程． 17. 已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 19. 已知正四棱柱中，，，为线段的中点，为线段的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）证明：直线平面并且求出直线到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莎车县2025-2026学年第一学期阶段性练习题 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知，且，则（ ） A 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：D. 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】已知直线方程，令 即可求出轴上的截距，截距不是点坐标. 【详解】直线,令, , 故选：D. 3. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 4. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 5. 如图，四棱锥底面是矩形，底面，设，，，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法、减法和数乘运算，用表示出. 【详解】. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法和数乘运算. 6. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 7. 若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程. 【详解】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得， 因此，直线的方程为. 故选：A. 8. 已知， 是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，正的边长为，又因为边的中点在椭圆上，故，且，再结合椭圆的定义，可求出椭圆离心率. 【详解】∵以线段为边作正三角形， ∴正三角形的边长为：， 又∵边的中点在椭圆C上， ∴，且， 由可知，， ∴ ∴ 故选：C. 【点睛】本题考查学生对椭圆的定义，椭圆的焦点，离心率的掌握情况，能知道正三角形的相关性质，列出椭圆的半长轴和半焦距之间的关系，能根据题意，找出相关关系，解出问题，对学生的逻辑思维能力，转化化归思想有要求，为中等偏下难度问题. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知空间中三点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与是共线向量 C. 与夹角为 D. 在上投影向量的长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量模的坐标运算判断A；根据共线向量的坐标形式判断B；利用向量夹角的坐标形式计算判断C；利用投影向量公式及模长运算公式计算判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以，正确； 对于B，，，不存在实数，使得， 所以与不是共线向量，错误； 对于C，，，所以， 又，所以， 因，所以，错误； 对于D，因，， 则在上投影向量为， 其长度为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 的最大值为25 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的概念和基本性质，求出椭圆的参数，再逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】由题意可知，，则， 所以长轴为，所以A正确；焦距为，所以C错误； 由椭圆定义可知，由基本不等式可知， 即，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为25，所以B正确； 的周长为，所以D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列结论中，正确结论的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 平面 C. D. 直线平面 【答案】BC 【解析】 【分析】可用几何法或建立空间直角坐标系来进行逐一判断. 【详解】 对于A：如图，连接，是棱的中点，是棱的中点，. 在正方体中，由且， 可得四边形为平行四边形，因此，则， 为异面直线与所成的角． 连接，易知为等边三角形，因此， 即异面直线与所成角为， 故A错误. 对于B：由选项A的解析过程可知， 又平面，平面， 平面， 故B正确. 对于C：不妨设正方体的棱长为2，并且以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因此. ， 故C正确. 对于D：同选项C建立相同的空间直角坐标系，因此有 假设平面成立，因为平面，则必有. 与不垂直，与假设矛盾，因此不垂直于平面. 故D错误. 故选：BC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【详解】由题意可知，变形为， 即圆心为，半径为，则弦心距为， 则弦长为. 故答案为：. 14. 若曲线与直线有两个交点，实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，由题意可得，曲线的图象为以 为圆心，2为半径的半圆， 直线l恒过，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离 ， 即，解得； 当直线l过B点时，直线l的斜率k＝， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 16. 已知点 （1）求过点，且与直线垂直的直线方程． （2）直线经过线段的中点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设与直线垂直的直线方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得线段的中点坐标为，设的倾斜角为，得到，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线，可得设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，可得，解得， 故所求直线方程为． 【小问2详解】 解：由点，可得线段的中点坐标为， 设的倾斜角为，则，可得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即． 17. 已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据半焦距及离心率可计算得,进而确定椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理与弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. 【小问2详解】 过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程,可得, 根据韦达定理，有. . 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 19. 已知正四棱柱中，，，为线段的中点，为线段的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）证明：直线平面并且求出直线到平面的距离． 【答案】（1） （2）证明见解析，直线到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果； （2）根据，由线面平行的向量证明可得结论；将所求距离转化为点到平面的距离，由点面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知：，，，， ，， 又平面，平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离，设该距离为， 则，即直线到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $