精品解析：天津市小站第一中学2026届高三上学期第二次月考数学试卷

2025高三年级第一学期第二次月考 数学试卷 参考公式： 柱体的体积公式为，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高； 锥体的体积公式为，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高； 台体的体积公式为，其中表示台体上底面面积，表示台体下底面面积，表示台体的高. 一､选择题 1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 2. 以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 7. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ） A. B. C. D. 二､填空题 11. =______. 12. 直线与圆相交，所得的弦的长为__________. 13. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为______________. 14. 过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为___________. 15. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 三､解答题 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角C的度数； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图在三棱台中，，，，若平面，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 19. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 20. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，经过点且平行于轴的直线与椭圆交于点.证明：直线AC过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高三年级第一学期第二次月考 数学试卷 参考公式： 柱体的体积公式为，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高； 锥体的体积公式为，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高； 台体的体积公式为，其中表示台体上底面面积，表示台体下底面面积，表示台体的高. 一､选择题 1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式确定的图象平移过程即可. 【详解】由，则可由的图象向右平移个单位得到. 故选：D 2. 以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得. 【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B. 故选：B 3. 若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案. 【详解】∵，∴，∴双曲线的渐近线方程为. 故选： 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型. 4. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 6. 已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C. 7. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、平面位置关系的判定及性质定理逐项分析即可. 【详解】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义求得（用表示），再由勾股定理求得关系得离心率． 【详解】因为，设，， 又，所以， 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 再由得，即，所以离心率为， 故选：A． 10. 在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求几何体的体积，再求被截较小部分的体积即可. 【详解】由题意可知，如图所示，， 所以平面即为平面截几何体的截面. 因为，, 所以几何体的体积, 被截棱台的体积 , 较大部分体积为, 且, 所以较小部分的体积为. 故选：D. 二､填空题 11. =______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 12. 直线与圆相交，所得的弦的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得. 【详解】因为圆即：， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得弦长为：. 故答案为：. 13. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线斜率不存在与斜率存在的情况，设出直线方程进行讨论，结合点到直线的距离公式算出弦心距，结合勾股定理计算即可得. 【详解】当直线斜率不存在时，直线为， 则有，即， 则，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 由可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则有，即， 即，即. 故答案为：或. 14. 过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称， 设切线方程为，， 所以，解得：， 由解得：或，即， 所以，解得：． 故答案为：. 15. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 三､解答题 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角C的度数； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据化角为边，再结合，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再根据正弦定理即可得解； （3）利用二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为，所以， 又，所以， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 则，解得， 所以， 因为， 所以； 【小问3详解】 解：因为，所以， 所以， 则，， 所以. 17. 如图在三棱台中，，，，若平面，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明： 以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可得，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，则， 所以，则， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线； （2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可； （3）利用（1）和（2）中结果，再由点面距的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量为，又， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图所示，连接，并延长交于点，则为棱的中点，是的中点. 连接，则是的中位线，所以. 因为平面，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值，进而得到直线与平面所成角的余弦值； （3）根据点到平面的距离的向量求法求得点到平面的距离，根据已知条件求得的面积，利用锥体的体积公式求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 棱柱是直三棱柱，所以平面. 因为，所以. 所以两两垂直，因此，可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题知：. 所以. 设平面的一个法向量是， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量是， 设直线与平面所成的角为，则. 所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，所以. 由（2）知平面的一个法向量是， 所以点到平面的距离为. 由题可知，，又， 所以，所以的面积为. 所以三棱锥的体积为. 19. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，再由离心率可求得，从而求得，即可得到椭圆的标准方程； （2）根据题意，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出的坐标，再由直线的方程表示出点的坐标，再由等量关系，即可得到结果. 【小问1详解】 由题设得，所以， 又离心率为，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以设直线的方程为，且， 联立，整理可得：， 则，故， 则，所以， 又直线的方程，联立，整理可得：， 所以，则，且满足. 则直线的方程为. 20. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，经过点且平行于轴的直线与椭圆交于点.证明：直线AC过定点. 【答案】（1） （2）当直线AB斜率为0时，直线AB与椭圆无交点，不符合题意， 从而设， 联立，化简并整理得 ， 由题意， 即应满足，此时或， 所以， 因为直线BC斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以， 又因为， 所以， 所以直线AC过定点. 【解析】 【分析】（1）将题中四边形面积表示为，联立离心率和解出、、的值，即可得到椭圆方程； （2）直线的方程与椭圆方程联立，由一元二次方程根与系数关系，写出韦达定理，根据对称性表示出点坐标，由的对称性，令，将韦达定理代入化简即可得到结果. 【小问1详解】 依题意，得， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $