精品解析：四川省资阳市2026届高三第一次诊断性考试数学试题

资阳市高中2023级第一次诊断性考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在本试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区场内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集的定义进行运算即得. 【详解】因为集合，， 所以 故选：C. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出结果即可. 【详解】由题意得， 故选：D. 3. 已知命题，命题，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得命题对应的的解集，再根据充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】或， 因为成立，但不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 48 B. 63 C. 80 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算得，再根据求和公式计算即可. 【详解】解：设等差数列的公差为，， 所以，解得， 所以，由等差数列前项和公式得 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，，则， 所以， 则. 故选：B 6. 某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出的值，再利用二项分布的期望公式可求出结果. 【详解】因为，则， 所以， 从该果园中随机选取个该品种水果，设质量在的水果个数为， 由题意可知，由二项分布的期望可得. 故选：D. 7. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 8. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令三个函数式等于0，然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图象，比较零点的大小. 【详解】令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则；化简得， 即，换底后得到； 分别画出它们的图象为： 由图可以看出. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.， 9. 某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时，的预测值为102 C. 加工时间的5个观测数据的分位数为80 D. 当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，根据经验回归直线必过点可求得，即可判断A；得到经验回归方程为，进而结合预测值与残差的定义求解判断BD；根据百分位数的定义求解判断C. 【详解】由题意，， ， 因为经验回归直线必过点，即点， 则，解得，即，故A正确； 当时，，故B错误； 将加工时间的5个观测数据从小到大排列为：， 由于，则分位数为，故C错误； 当时，， 则残差为，故D正确. 故选：AD 10. 记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ） A. 的周长为6 B. ，，成等差数列 C. 角的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断C，利用三角形面积公式判断D即可. 【详解】对于B，因为，所以， 则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 可得，由余弦函数性质得在上单调递减， 而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数与对数的关系，表示出，再根据对数的运算法则求值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求解随机变量的可能取值及对应的概率，进而计算数学期望即可. 【详解】解：根据题意，随机变量的可能取值为， 对应的概率为：，，， 所以， 故答案为： 14. 已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先求出夹角为，设起点为，终点为，画出示意图，由向量与的夹角为可得，则点C在所对圆周角为的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值即可求解. 【详解】由题意， 代入，得，则夹角为， 如图所示在直角三角形中，， ， 令，则， 即为向量与的夹角为， 则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为， 如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上， 由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求， 所以点即为圆心，半径， 则，此时共线且点C在之间， 故的最小值是1. 故答案为：1. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式，两角和的余弦公式，对函数进行化简，根据最小正周期的概念，求出结果即可； （2）根据三角函数的性质，判断函数最小值，以及函数取最小时三角函数值，列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 由题意得， 化简得， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）可知取最小值时， 即，解得， 此时，. 16. 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表： 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 20 180 200 乙生产线 60 240 300 合计 80 420 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品. （i）求抽出的产品是优良品的概率； （ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率. 附：； 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有关联 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（i）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，由全概率公式计算可得； （ii）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于. 【小问2详解】 设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：. （ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为： ． 17. 已知函数（其中）. （1）当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）过定点 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据导数的几何意义求函数在点处的切线方程，再根据直线方程的形式判断其是否过定点. （2）问题转化为在上，恒成立.再分离参数，求函数的最值即可. 【小问1详解】 因为，. 所以，， 所以. 所以函数在点处的切线方程为：即，过定点. 所以当变化时，曲线在点处的切线过定点. 【小问2详解】 在区间上单调递增，则在上恒成立. 所以，. 设，， 则，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，即的取值范围为. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，数列的前项和为.求证：. 【答案】（1）证明：由，则， 又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列. （2） （3）证明：由， 则， 由于，则， 所以. 由，则， 要证，即证， 由，则， 则， 下面证明， 当时，，即； 假设，，时，， 则时， . 综上所述，，则， 所以， 则，当且仅当时取等， 则，即. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据题设易得，即可得证； （2）由（1）可得，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可； （3）由题设可得，即可证明，分析可得，即证，再结合数学归纳法证得，即可得到，当且仅当时取等，进而求证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 . 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若有3个极值点，，，且， （i）求的取值范围； （ii）求证：； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；(ii) 证明：由（i）,, 且时，单调递增，则， 由于，则， 代入得， 设， 则， 则，即， 综上：. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）有3个极值点转化为与有3个交点，求导研究单调性，结合图像即可得出的取值范围；（ii）根据（i）得出与的关系，以及的范围，利用表示，代入表达式，构造函数求导研究单调性最值即可. （2）设，可以发现，，则根据尝试端点效应进行讨论，证明成立以及不成立即可. 【小问1详解】 （i）当时，不符合题意， 当时，， 设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极小值，极大值， 且由指数函数与二次函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 作出图像： 则要使有3个极值点，需使与有3个交点， 则，即. 设与的3个交点横坐标从小到大分别为，，， 则由图像可得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为符合题意， 故的范围为. (ii)略 【小问2详解】 设， 则， 设，则， 设，则， 设，则， 由于时，，所以，则单调递增， 当时，，则单调递增， 则，则单调递增， 则，则单调递增， 则符合题意； 当时，，则存在，使得时，， 则在单调递减，则， 则在单调递减，不符合题意； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳市高中2023级第一次诊断性考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在本试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区场内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，命题，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 48 B. 63 C. 80 D. 96 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 6. 某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.， 9. 某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时，的预测值为102 C. 加工时间的5个观测数据的分位数为80 D. 当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2 10. 记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ） A. 的周长为6 B. ，，成等差数列 C. 角的最大值为 D. 面积的最大值为 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则__________. 14. 已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合. 16. 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表： 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 20 180 200 乙生产线 60 240 300 合计 80 420 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品. （i）求抽出的产品是优良品的概率； （ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率. 附：； 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 已知函数（其中）. （1）当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，数列的前项和为.求证：. 19. 已知函数. （1）若有3个极值点，，，且， （i）求的取值范围； （ii）求证：； （2）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $