精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

高一第一学期期中试卷数学（一） 第一部分 一、选择题共10小藤，每小藤4分，共40分．在每小腿列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算法则计算即可. 【详解】根据集合的交集运算法则，易知. 故选：B. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则为. 故选：D 3. 下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性依次判断即可. 【详解】根据指数函数的性质，易知函数在定义域内单调递减，A正确； 因为的定义域为，且在区间，内分别单调递减， 但时，，当时，，所以该函数在定义域上不是单调递减的函数，故B错误； 根据指数函数的性质，易知在定义域内单调递增，C错误； 根据一元二次函数的性质，易知在定义域内先增后减，D错误. 故选：A. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，， ，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 5. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用赋值法判断选项，运用作差法判断选项C． 【详解】选项A：令，满足，此时，故A不一定成立； 选项B：令，满足，此时，故B不一定成立； 选项C：，， ， ，即，故C成立； 选项D：令，满足，此时，故D不一定成立． 故选：C． 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得 故选：D. 7. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. 550m3 B. 531.8m3 C. 505m3 D. 366.3m3 【答案】A 【解析】 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：A 8. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义与性质结合充分条件、必要条件判断即可得出结论. 【详解】因为，若，即，可得， 此时，此时函数的对称轴为轴，即为偶函数， 所以“”“为偶函数”， 若函数为偶函数，由偶函数的性质可知， 所以“”“为偶函数”， 因此“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C. 9. 已知函数的定义域，满足：、，都有成立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可得出的值，再令可求出的值. 【详解】令得，解得， 令得，解得. 故选：C. 10. 已知函数，，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，确定整数解的值，可得出关于实数的不等式组，可求得的取值范围即可. 【详解】设不等式在时的解集为，在时的解集为， 当时，由可得， 当时，由可得， 即. 作出函数的图象如下图所示： （i）当时，由可得，该不等式无解； （ii）当时，且当时，，此时，则， 当时，由可得， 由题意可知，所以，即，解得； （iii）当时，若，由可得， 若，由可得， ①若为负整数，则，此时，即，解得； ②若为正整数，则，所以，此时， 所以，则，即，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】因为. 故答案为：3 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数表达式直接求定义域即可. 【详解】由题意得，，所以且， 即函数的定义域为. 故答案为： 13. 能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由不等式的性质，若，则，可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可 【详解】由不等式的性质，若，则， 故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可， 比如：或者. 故答案为：①；②（不唯一）. 14. 已知．若的最小值为0，则实数的值是______；若存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于空1：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，有最小值为0，然后按照和分类讨论求解即可； 对于空2：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，存在最小值，且最小值要小于等于，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】对于空1：当时，单调递增，有，无最小值， 若的最小值为0，则当时，有最小值为0， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得，与矛盾，不符合题意； 当即时，在上单调递减， 所以，则，解得，满足，符合题意； 综上. 对于空2：当时，单调递增，有，无最小值， 若存在最小值，则当时，存在最小值，且最小值要小于等于， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 当即时，在上单调递减， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 综上或，即实数的取值范围是. 故答案为：0； 15. 已知函数，则 ①函数没有零点； ②函数有最小值； ③对于任意，且，恒成立； ④对于任意，存在，对于任意，有． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，令，求解即可；对于②，画出的图象即可； 对于③，将，代入，求解即可；对于④，根据当，增长远快于，进行判断即可. 【详解】对于①，令，即，解得，所以，函数有零点，故①错误； 对于②，，求导得到，令，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在处取得最小值，故②正确；； 对于③，取，，，计算得，，此时，则，故③错误； 对于④，当，增长远快于，故，所以对任意，存在，对于任意，有，故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 求下列关于的不等式的解集： （1）： （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）因式分解，结合一元二次不等式解集的形式求解. （2）把分式不等式转化成整式不等式求解. （3）分情况讨论，求一元二次不等式的解集. 【小问1详解】 由或. 所以所求不等式的解集为. 【小问2详解】 由. 所以所求不等式的解集为. 【小问3详解】 由. 若，则； 若，则，不等式无解； 若，则. 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知． （1）求的最大值： （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可求得结果； （2）利用基本不等式中巧用“1”即可求得结果； （3）由等式得到的关系式，然后代入，利用配方法即可求得最小值. 【小问1详解】 ∵，∴，∴， 当且仅当时取等号， ∴的最大值为1. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为. 【小问3详解】 ∵， ∴， 当且仅当时取等号， ∴的最小值为. 18. 已知集合． （1）若，且，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设是的两个根，利用韦达定理及已知条件求参数值，注意验证，即可得； （2）由题设求出集合且，结合集合中的不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设是的两个根，则， 由， 则，可得或， 又，则，显然或均满足， 综上，或； 【小问2详解】 由题设，， 又，即，故. 19. 已知二次函数的一个零点为1，且满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，，求解可得的解析式； （2）由（1）求得函数的对称轴，从而得到函数的单调性，分类讨论，所给区间与对称轴的位置关系，可得函数在上的单调性，从而求得其最小值； （3）将“线段的长度恒大于2”转化为一元二次不等式恒成立问题，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题可知，，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当 时，的最小值为. 【小问3详解】 由题可得，则 则得①或②， 由①得恒成立，故，解得； 由②得，因，故此式不能恒成立. 综上，可得实数的取值范围是. 20. 已知定义在上的奇函数，当时，， （1）求函数的解析式： （2）若，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，求解即可. （2）由（1）求得解析式，判断函数的单调性，再由，转化为，求解即可. （3）根据题意，求出的取值范围，再由为一元二次方程分类讨论即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 令，所以，所以， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 在时，函数连续， 所以函数在上单调递增， 由可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意的，函数在上单调递增， 所以，所以， 设函数在上的值域为， 当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得； 当时，最小值为，需满足，此时无解； 当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得. 综上，的取值范围为. 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足：“对中任意三个不同的元素，均有或．则称具有性质． （1）分别判断和是否具有性质，并说明理由： （2）设，集合具有性质，记中不小于1的元素个数为，求的取值范围； （3）若集合具有性质，求的最大值． 【答案】（1） 具有性质，不具有性质. 对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于， 当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含， 则，，， ，可知具有性质 对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于， ，，因此不具有性质. （2）； （3）9. 【解析】 【分析】（1）根据集合具有性质的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质. （2）根据条件对的取值进行分类讨论，根据集合具有性质的定义进行判断. （3）根据集合具有性质，对于的范围进行分类讨论即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，集合具有性质， 记中不小于1的元素个数为， 当时，，且，不具有性质， 当时，，例如具有性质， 当时，，例如具有性质， 当时，，且不具有性质， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 显然取最大时，，因为. 设集合有个正实数，且不妨设. 现取三元集，其中 由于，故，只能是. 注意到是两两不等的实数. ①当时，有 又因为这个元素都在中， 所以只能是，则为等比数列， 取，则有(*) 显然有，否则若. 再取三元集，其中，又因为， 同理可得， 取，则有与式矛盾. ②当时，有，由①同理可得. ③当时，有 则，则为等比数列， 取，则有， 则，有 由①同理可得，， 当时，由前面分析可知 且， 对于三元集和，， 显然，否则推出矛盾. 则，即 即，方程无解，故. 同理可得A集合中负数的个数小于等于4. 构造满足题意. 综上所述，的最大值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期期中试卷数学（一） 第一部分 一、选择题共10小藤，每小藤4分，共40分．在每小腿列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. 550m3 B. 531.8m3 C. 505m3 D. 366.3m3 8. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数的定义域，满足：、，都有成立，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. ___________． 12. 函数的定义域为______． 13. 能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为___________，___________． 14. 已知．若的最小值为0，则实数的值是______；若存在最小值，则实数的取值范围是______． 15. 已知函数，则 ①函数没有零点； ②函数有最小值； ③对于任意，且，恒成立； ④对于任意，存在，对于任意，有． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 求下列关于的不等式的解集： （1）： （2）； （3）． 17. 已知． （1）求的最大值： （2）求的最小值； （3）求的最小值． 18. 已知集合． （1）若，且，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数的一个零点为1，且满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围． 20. 已知定义在上的奇函数，当时，， （1）求函数的解析式： （2）若，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足：“对中任意三个不同的元素，均有或．则称具有性质． （1）分别判断和是否具有性质，并说明理由： （2）设，集合具有性质，记中不小于1的元素个数为，求的取值范围； （3）若集合具有性质，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $