整式的乘法专题复习01乘法公式压轴题培优（知识点总结+8大题型举一反三）变形求值+几何背景2025-2026学年八年级上册数学（新教材人教版）

乘法公式压轴题 【题型1】完全平方公式变形求值（核心三量关系） 1.题型考点总结 核心考查完全平方公式的变形推导，聚焦、、三量转化。 高频考点：已知两量求第三量，整体代入求值，符号辨析。 2.解题攻略 牢记核心变形公式：，。 找准已知条件与待求式的关联，整体代入避免单独求字母值，简化运算。 【例题1】．1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】 借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：___________； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：___________． 因此，可以得出等式___________．（填序号） ①            ② 【数学应用】 根据图1所得的等式，若，求的值． 【拓展应用】 如图2，某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，请求出种草区域的面积和． 【答案】问题呈现：，，②；数学应用：134；拓展应用： 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 问题呈现：根据计算阴影部分面积的两种方法即可得； 数学应用：根据（1）所得的等式，代入计算即可得； 拓展应用：设，，则，，再根据种草区域的面积和等于，代入计算即可得． 【详解】解：问题呈现：方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：， 用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：， 因此，可以得出等式：， 故答案为：，，②． 数学应用：∵，， ∴ ． 拓展应用：设，， 由题意得：，， ∴， ∴种草区域的面积和为 ， 答：种草区域的面积和为． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·北京·期中）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 如由图可以得到，由图可以得到． 现有四个长与宽分别为、的小长方形，按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题， (1)观察图，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式：_________； (2)利用图，图，图的等式解决下列问题． ①已知，，则________； ②已知，，则________； ③已知，则________； (3)如图4，在正方形中，，，其中四边形、、均为正方形，四边形、是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为30，求长方形的面积． 【答案】(1)； (2)①；②；③； (3)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义及公式变形（如、），熟练掌握“通过图形面积建立公式关系”和“完全平方公式的灵活变形代入计算”是解题的关键． （1）通过观察图形，从“阴影部分面积可直接表示”和“阴影部分面积大正方形面积个小长方形面积”两种计算角度，推导完全平方公式变形等式； （2）利用完全平方公式的变形（如、），代入已知条件计算； （3）设正方形的边长为，则，，根据阴影部分面积的和为，得出，令，，则，，根据完全平方公式可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵阴影部分面积可表示为，阴影部分面积大正方形面积个小长方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，，， ∴， （3）故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． ③设，，则，， ∵， ∴， 故答案为：； 解：设正方形的边长为，则，， ∴， 令，， ∴，， ∵， ∴， ∴长方形的面积为． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）现有边长为a的正方形，边长为b的正方形，长与宽分别为a、b的小长方形各若干个，用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形以及两个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形围成图2的图形，请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：____________；图2表示：____________； (2)若，求的值． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至T，使．延长至O，点O落在长方形内部，使，过点O、T作、的垂线，两垂线相交于点，记四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)14 (3)1856 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为；图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为；由此即可得； （2）利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得； （3）先求出，则，，再求出四边形是正方形，利用正方形的面积公式和完全平方公式变形求值即可得． 【详解】（1）解：图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为， 所以图1所验证的关系式是． 图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为， 所以图2所验证的关系式是． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：∵长方形中，， ∴， ∵，， ∴，， 由长方形的性质得：， ∵， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵过点、作、的垂线，两垂线相交于点，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积 ， 答：的值为1856． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形和正方形的边长分别是、；、分别是边、上的点，，． (1)若，请用、表示出三角形的面积； (2)若四边形CMFN面积是阴影部分的一半，以、为边长向外作正方形，面积分别为、．已知，，求三角形面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、列代数式、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由题意可得：，再由列代数式，然后整理即可解答； （2）由题意可得，，再根据四边形面积是阴影部分的一半可得；由可得，再结合完全平方公式可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： ∵， ∴ ． （2）解：， ， ∵四边形CMFN面积是阴影部分的一半， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴三角形面积． 【题型2】平方差公式连续相乘(多层嵌套化简) 1.题型考点总结 考查平方差公式的正向连续应用，含多层嵌套(如)。 关键考点：逐步套用公式，约分化简，指数规律识别。 2.解题攻略 遵循“从外到内、逐步化简”原则，前两项套用公式后，结果与下一项继续构成平方差形式。 拆分特殊形式：如，再连续约分化简。 【例题2】．5．（24-25八年级上·辽宁·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 【变式题2-1】．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； [归纳]由此可得：______． [应用] （1）______． （2）计算：． 【答案】[归纳] [应用]（1）；（2） 【分析】本题考查整式乘法的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式总结规律即可； （2）根据规律将原式变形为，再计算即可； （3）根据规律将原式变形为，再计算即可． 【详解】解：[归纳]由题意得： ， 故答案为：； [应用]（1） ； 故答案为：； （2） ． 【变式题2-3】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________ (2)计算的值的末位数字是_______； (3)计算：的值的末位数字是 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类规律探究，应用新解法是解题关键． （1）原式变形后，利用小明方法计算即可； （2）由，则，则的末位数字是0，进而完成解答； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，均为奇数， ∴几个奇数与5相乘，末位数字是5， ∴原式的末位数字是6． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是 故答案为：． 【题型3】乘法公式与整体代换(换元法应用) 1.题型考点总结 考查换元思想，将复杂多项式(如、)视为整体，转化为乘法公式形式。 核心考点：整体代换简化运算，公式逆向匹配。 2.解题攻略 设复杂多项式为新字母(如设、)，转化为、或的形式。 套用乘法公式计算后，回代还原得最终结果，注意整体的符号一致性。 【例题3】．9．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整体思想结合平方差公式运算求解即可； （2）利用整体思想结合完全平方公式运算求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）， ， ， ， ， ． 【变式题3-1】．（24-25六年级下·山东烟台·期末）【知识生成】 （1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：______，______； 【直接应用】 （2）已知：，，求和的值： 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形是长方形，分别以为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为57，求长方形的面积： 【拓展应用】 （4）若，求的值． 【答案】（1），（2），（3）12（4）13 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式以及分割法求面积两种方法即可得出结论； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）设，进而得到，利用完全平方公式求出的值即可得出结果； （4）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由第1个图可知，大正方形的面积； 由第2个图可知：大的阴影正方形的面积； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴； ∴， ∴； （3）设，由题意，得：，， ∴， ∴； ∴长方形的面积为12； （4）∵，， ∴． 【变式题3-2】．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）材料1：把完全平方公式和适当变形后，可以得到很多等式，例如：，．利用这些等式可以帮助我们解决许多数学问题． 材料2：换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若，求的值． 解：令，，则，． 因为， 所以． 结合材料1和材料2可以有效地解决许多整式相关的问题． (1)若，，则的值为______； (2)若，求的值； (3)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积和为 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与图形面积； （1）根据计算即可； （2）设，，可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案； （3）由可得，，，，，可得，结合，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴； （3）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∵长方形的面积为200， ∴， ∴ ； ∴阴影部分的面积和为． 【变式题3-3】．（24-25七年级下·广东佛山·期中）我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． （1）若，，则的值为______． 【阅读材料】若，求的值． 解：设，，则，， ，即． 【归纳方法】首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）若，则的值是为______； （4）如图所示，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）7；（2）；（3）17；（4）28 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据计算即可； （2），则，然后根据完全平方公式，变形求值即可； （3）设，，则，，然后根据完全平方公式变形求值即可； （4）由题意可知：；，根据长方形的面积是48，得出，设，则，根据完全平方公式变形求出． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）设，则， ， 即； （3）设，，则，， ∴， 即； （4）由题意可知：；， 长方形的面积是48， ， 设，则， ，且， ， ． 【题型4】乘法公式项数变换 1.题型考点总结 考查通过增减项、分组重组，将多项式凑成乘法公式形式。 核心考点：添项配方(如)、分组凑公式(如分组)。 2.解题攻略 增减项配方：遵循“加多少减多少”原则，确保代数式值不变，凑成完全平方形式。 分组重组：将多项式按“平方项+交叉项”分组，优先凑平方差或完全平方公式，再提公因式。 【例题4】．13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握公式的应用． 根据完全平方公式的特点即可求解， 【详解】解：∵完全平方式的形式为 当为，看作，看作时 ； 当为，看作，看作时 ， ∴， 当为，看作，看作时； ， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式转化为，然后利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式，熟知运算法则及乘法公式是正确解决本题的关键． 先将两个多项式添括号变形成，再用平方差公式及完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式，完全平方公式计算，先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【题型5】杨辉三角与乘法公式关系 1.题型考点总结 -核心考查杨辉三角的结构规律：两腰系数为1，中间任意项系数等于上方两相邻系数之和。杨辉三角的结构规律及其在二项式展开中的应用，核心是通过杨辉三角快速确定（为非负整数）的展开式系数，是公式拓展类压轴题的常见形式。 -关键关联：杨辉三角第行系数对应展开式的各项系数，衔接完全平方公式(时)的拓展。 -高频考点：根据杨辉三角写低次幂二项式展开式、求特定项(如项、常数项)的系数。 2.解题攻略 -牢记基础规律：展开式的项数为，各项次数和为，字母的次数从递减到0，的次数从0递增到。 -求特定项系数步骤： 先根据杨辉三角写出的系数结构； 替换、题目中的代数式(如、）； ③聚焦目标项，计算字母系数与杨辉三角系数的乘积，得到特定项系数。 【例题5】．17．（22-23七年级下·陕西西安·自主招生）如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：1； （2）解： ， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【阅读理解】 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式．我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中局部出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．因为平方具备非负性，所以配方法能解决一些代数式的最值问题． 例如：． 因为，即． 所以，当．即时，有最小值，最小值是 【探究应用】 完成下列多项式的配方（先在括号内配方、再去括号）、并仿照上面例子：说明多项式有最大值还是最小值的理由．以及当为何值时．多项式有最值、最值是多少？ （1）… （2）… 【拓展实践】 （3）华师版《数学》七下第19页《5.3实践与探索》问题1：用一根长的铁丝围成一个长方形，怎么围才能使长方形的面积最大． ①设长方形的一边长，则长方形的面积为______； ②证明：当长和宽相等，即成为正方形时，长方形的面积最大． 【答案】（1）当时，有最小值，最小值是2；（2）当时，有最大值，最大值是10；（3）①；②见解析 【分析】此题考查配方法求多项式的最值，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照例题利用配方法求最值即可； （2）仿照例题利用配方法求最值即可； （3）①设长方形的一边长，则邻边为，根据面积公式计算；②将表示面积的多项式配方，利用平方的非负性解答即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值是2； （2） ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值是10； （3）①设长方形的一边长，则邻边为， 长方形的面积 故答案为： ② ∵， ∴当时，长方形的面积最大， 此时长方形的一边长为，邻边长为，即成为正方形时，长方形的面积最大． 【变式题5-3】．（24-25七年级下·广东深圳·期末）“用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究． 小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m） 1 2 3 4 4.5 5 6 宽（单位：m） 7 6 5 4 a 3 2 面积（单位：m2） 7 12 15 16 b 15 12 我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16； 请根据以上的研究完成下面的问题： (1)小云同学的数据表中 ______、 ______； (2)小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； (3)补全小锦同学的做法． ______、______；请画出当时的三个图示说明． 【答案】(1)3.5，15.75 (2)16，4，16 (3) ，；图见解析 【分析】本题考查阅读理解，主要涉及配方法的运用，读懂题中材料，仿照材料中方法求解是解决问题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求得边长a，结合面积公式即可求得b； （2）根据材料中小鲲同学的解答过程，按照配方法直接作答即可得到答案； （3）根据周长公式求得阴影部分与A相邻的长，进一步求得阴影部分是一个边长为的正方形，结合小锦同学的解答过程仿照方法即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的周长为16，长为4.5， ∴宽为， ∵长为4.5，宽为3.5， ∴面积， 故答案为3.5，15.75； （2）解： ， ▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为； （3）解：设相邻的边长为y，则，解得， 由于阴影部分与A相邻的长为， 则阴影部分是一个边长为的正方形； ②当时， 图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为， 图3中，阴影部分是一个边长为的正方形， 图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， 所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 【题型6】乘法公式与最值问题(和定积最大/积定和最小) 1.题型考点总结 考查完全平方公式的非负性，推导“和定积最大、积定和最小”结论。 高频考点：长方形周长定求最大面积、代数式最值求解。 2.解题攻略 核心结论：若(定值)，则当时，最大值为(和定积最大)。 构造完全平方形式：利用推导最值，注意等号成立条件()。 【例题6】．21．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，由“杨辉三角”得到：应该是（n为非负整数）展开式的项系数和为，再代入计算即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ， 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 【变式题6-1】．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，则再过天是星期几（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据可知除以7的余数为1，从而可得答案． 【详解】∵， ∴除以7的余数为1， ∴假如今天是星期四，那么再过天是星期五， 故选：C 【变式题6-2】．（20-21八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． (1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）； (2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值． 【答案】(1)(a+b)(a2﹣ab+b2) (2)3； 【分析】（1）仿照材料给出的推导过程，将分成，即可求解； （2）根据a+b=1，ab=-1，利用完全平方公式即可求出，进而可求出，依据a＞b，可得，则依据材料中即可求解． 【详解】（1） ； （2）∵，a+b=1，ab=-1， ∴； ∵， ∴， ∵a＞b， ∴， ∴ ． 即，． 【点睛】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识，灵活运用材料给出的推理过程是解答本题的关键． 【变式题6-3】．（2025·安徽蚌埠·三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 行数              系数              展开式                 1                                1  1                         1  2  1                      1   3  3  1         …… 上图呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题： (1)在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ； (2)当时，在系数中，从左边数第 n行第3个数是 （用含 n的式子表示）； (3)展开后各项的系数和为 （用含 n 的式子表示） 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键． （1）利用杨辉三角每行数字左右对称、由1开始先变大后变小、除两端1外每个数等于肩上两数之和等规律，依次写出前7行数字，从而得出第7行第3个数． （2）通过列举第4、5、6、7行第3个数的计算过程，发现规律为从1加到，进而得出第n行第3个数的表达式,得出展开式各项系数和的表达式 （3）分别计算，等展开式各项系数和，发现各项系数的规律可得结论； 【详解】（1）杨辉三角有这样的规律：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1 ；第n行的数字个数为n个；除了每行两端的1，每个数都等于它肩上两数之和． 第1行：1 第2行：1，1 第3行：1，2，1 第4行：1，3，3，1 第5行：1，4，6，4，1 第6行：1，5，10，10，5，1 第7行：1，6，15，20，15，6，1 所以从左边数第7行第3个数是15． 故答案为：15； （2）第4行第3个数是． 第5行第3个数是． 第6行第3个数是． 第7行第3个数是． …… 第n行第3个数是 故答案为：； （3）第二行：，，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； 【题型7】乘法公式拓展应用(含指数的连续相乘) 1.题型考点总结 考查平方差公式的拓展延伸，含字母指数的多层嵌套(如)。 核心考点：展开规律，指数递推化简。 2.解题攻略 牢记拓展公式：(为正整数)。 按“逐层套用、指数递增”原则化简，注意最终结果的指数合并。 【例题7】．25．（22-23八年级上·全国·单元测试）有下列等式： ； ； ； ； … (1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________； (2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题是一个规律型题目，考查因式分解的应用，根据题干中的信息找出规律是解题的关键． （1）根据规律，写出等式即可； （2）将原式重新分组转化为，然后进行多项式乘法转化为，将看作一个整体，利用完全平方公式即可证明． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：；； （2）解：猜想：． 证明如下： ， 即． 【变式题7-1】．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学操作性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1＋2×1＋1＝4；     第二个等式：4＋2×2＋1＝9； 第三个等式：9＋2×3＋1＝16；     第四个等式：16＋2×4＋1＝25. 第个等式可写为：．老师引导同学们将这个等式相加，做了如下推理： 整理得： ， ； 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 【问题解决】 (1)你能写出【类比推广】中的第5个等式：______；猜想第n个等式：______，请你证明这个猜想． (2)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （2）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【详解】（1）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （2）解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 【变式题7-2】．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学的奇妙世界里，等式就像一座桥梁，连接着不同的数学量．如果一个等式，在所讨论的范围里不是对字母的所有允许值都成立，而是仅当字母满足某些条件时才能使等式成立，这样的等式叫做条件等式．例如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，实际上我们学过的很多方程都属于条件等式．现在让我们研究一个有趣的等式，其中，那么，这个等式成立的条件是什么呢？ 【探究之旅】假设该等式成立，先对它进行移项，得到．然后，我们在等式两边同时加上4，这时左边就变成了，根据完全平方公式可以写成；右边写成．将右边的式子移到左边，再利用平方差公式进一步分解因式，可得①___________．因为，所以等式成立的条件应为②___________． 请将两处空缺①②补充完整； 【实践运用】根据我们刚刚探究得到的结果，我们来玩一个有趣的“等式创造”游戏．大家观察这两个等式：，，仿照这样的思路，补全等式：______________________； 【拓展创新】经过前面的探究和运用，相信大家对这类条件等式有了更深入的理解．现在，我们进入拓展阶段．豆包同学经过思考，推广得到了这样一个等式： （其中）．请你证明这个等式是否成立． 【答案】【探究之旅】；；【实践运用】，；【拓展创新】见解析 【分析】本题考查了因式分解和分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （探究之旅）利用因式分解即可求解； （实践运用）根据（）中的即可求解； （拓展创新）将等式左边和等式右边分别计算即可. 【详解】解：探究之旅： 根据题意可知， ， 即 ∵， ∴， 故答案为：，； 实践运用： 由（）得：， 则，解得：， 故答案为：，； 拓展创新： 证明：等式左边， 等式右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）探索：    … … 根据前面的规律，回答下列问题： (1) (2)当时， ； (3)求：的值；(请写出解题过程) (4)若，先求s的值(写出解题过程)，并直接写出的值的个位数字． 【答案】(1) (2) (3) (4)，的个位数字为 【分析】本题考查的知识点是多项式乘法的规律探究及应用、幂的运算和个位数字规律，解题关键是发现的规律并灵活运用． （1）观察规律直接得出多项式乘法的一般形式； （2）将，代入规律公式计算； （3）令、，利用规律变形求解； （4）令、，先求，再分析的幂次个位规律得的个位数字． 【详解】（1）解： ， ， （2）解： （3）解：令，， 则， ， （4）解：令，， 则， ， 即， ， ，周期为， ， 的个位数字是， 则的个位数字是， 的个位数字是 【题型8】乘法公式恒等式推导 1.题型考点总结 核心考查：从特殊到一般的归纳推理，乘法公式的正向展开与逆向因式分解在恒等式证明中的应用。 关键考点：恒等式结构猜想（系数、指数、符号规律），公式证明的严谨性，多因式乘积的恒等变形。 2.解题攻略 推导三步法： ①观察特例：分析已知等式的左边结构（如单项式×多项式、多项式×多项式）、右边结构（如平方差、完全平方、高次幂），找出系数、指数的变化规律； ②猜想公式：根据规律写出第个恒等式，确保左右两边的结构一致性； ③严格证明：优先选择“右边展开化简”或“左边因式分解”，利用乘法公式逐步推导，最终验证左右两边相等。 常用技巧：证明时若遇到多项式乘积，可通过“整体代换”“分组因式分解”转化为乘法公式形式，简化推导过程。 【例题8】．29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：已知：，求证：． (1)从“数”的角度证明； (2)从“形”的角度说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平方差公式，有理数与数轴． （1）由可得，进而可证； （2）利用数轴作正方形的边长为y， 正方形的边长为x，根据可得． 【详解】（1）解：∵ ∴且 ∴ ∴ ∴ （2）解：如图，正方形的边长为y， 正方形的边长为x， 则， ∵ ∴． 【变式题8-1】．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如： (1)计算； (2)若，求证始终能被4整除． 【答案】(1)884 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把代入到中，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解： （2）证明：∵， ， 始终能被4整除， 始终能被4整除． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·北京平谷·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是___________；（填序号） (2)若为正整数，且，若是“双奇差数”，求的值； (3)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)② (2) (3)①见解析；②验证见解析，差恒为 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解新定义，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）将式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可； （3）①利用平方差公式计算即可得解；②设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【详解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； 故在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是②； （2）解：， ∵为正整数，且，是“双奇差数”， ∴； （3）①证明： ， ∵为正整数， ∴“双奇差数”都能被8整除； ②设任意两个连续的“双奇差数”为和， 则差为， ∴任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·北京·期中）已知实数，，，，设，．定义如下运算： ①② ③④ 请尝试解决如下问题： (1)如果，，那么________，________； (2)求证： (3)已知，，，则的值为________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，整式的混合运算，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）由，，可得，根据得到，将该式子整理化简即可判定； （3）由，，，可得，，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：，； （2）证明： ，， ， 又 ， ， ； （3） ，， ，， ， ， ， ， ， 的值为， 故答案为：． 同步练习 一、解答题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是将式子变形为平方差公式的形式，再展开计算． 把式子变形为平方差公式的形式，然后利用平方差公式和完全平方公式展开计算． 【详解】解： 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，掌握平方差公式，正确计算是本题的解题关键； 用平方差公式和单项式乘多项式的法则进行计算，然后合并同类项. 【详解】解：原式 . 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，注意整体思想的应用． 先根据整式混合运算法则进行化简得出原式等于，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． (1)根据图1和图2，写出，之间的一个等量关系____； (2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）利用（1）的结论进行解答即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）；（2）32；（3）80；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式时解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以利用这个图形可以验证公式． 故答案为：． （2）， ， 当，时， ． 故答案为：32． （3），， ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有＿＿＿＿＿（填序号）； ； ； ； ； (2)若关于的代数式为对称式，求的值； (3)已知． 若，求对称式的值； 若，且对称式，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)； (3) ； ． 【分析】本题主要考查了对称式的定义，整式的运算以及代数式的求值，熟练掌握对称式的定义和整式运算法则是解题的关键． （）根据对称式的定义，分别对每个代数式交换字母位置后判断值是否不变，从而确定是否为对称式； （）利用对称式的性质，将代数式中字母交换位置后等式成立，通过整理等式求出的值； （）先将，展开得，结合已知条件求出，，再将展开并代入求值； 根据题意可得，则有，然后代入对称式等式求出关于的方程，再将所求代数式进行变形，然后通过整体代入即可求解． 【详解】（1）解： ，故是对称式； ，故是对称式； ，故不是对称式； ，故不是对称式； ，故是对称式； 故答案为：； （2）解：∵关于的代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图）． (1)图1中的阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）； (2)将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图），那么这个长方形的面积为 （用含的代数式表示）； (3)综合图1、图2，从中可以归纳出一个结论： ； (4)根据（3）的结论计算：； (5)【灵活应用】图3表格中画出了两组分别用7个数字组成的形图案（阴影部分），现在在图3中任意找一个形图案（图4），设这个形图案的其中五个数的中心数为所对应的数分别设为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据图形列出正确的平方差公式是解此题的关键． （1）数形结合，由正方形面积公式列代数式即可得到答案； （2）根据长方形面积公式列代数式即可得到答案； （3）由（1）（2）中阴影部分面积的关系即可得到答案； （4）由（3）中公式，直接应用即可得到答案； （5）设中心数为，得到，由（3）中公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得，阴影部分的面积 ， 故答案为：； （2）解：根据题意得，长方形的面积， 故答案为：； （3）解：∵图1中的阴影部分面积图2中的阴影部分面积， ， 故答案为：； （4）解：由（3）中公式，可得， ； （5）解：设中心数为， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图1所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； (2)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图2是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (3)已知，，利用以上恒等式求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （3）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ， ； （2）解：由图2得，正方体体积表示为， 也可以表示为， ， 即； （3）解：，， 由（2）得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 乘法公式压轴题 【题型1】完全平方公式变形求值（核心三量关系） 1.题型考点总结 核心考查完全平方公式的变形推导，聚焦、、三量转化。 高频考点：已知两量求第三量，整体代入求值，符号辨析。 2.解题攻略 牢记核心变形公式：，。 找准已知条件与待求式的关联，整体代入避免单独求字母值，简化运算。 【例题1】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】 借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：___________； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：___________． 因此，可以得出等式___________．（填序号） ①            ② 【数学应用】 根据图1所得的等式，若，求的值． 【拓展应用】 如图2，某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，请求出种草区域的面积和． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·北京·期中）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 如由图可以得到，由图可以得到． 现有四个长与宽分别为、的小长方形，按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题， (1)观察图，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式：_________； (2)利用图，图，图的等式解决下列问题． ①已知，，则________； ②已知，，则________； ③已知，则________； (3)如图4，在正方形中，，，其中四边形、、均为正方形，四边形、是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为30，求长方形的面积． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）现有边长为a的正方形，边长为b的正方形，长与宽分别为a、b的小长方形各若干个，用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形以及两个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形围成图2的图形，请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：____________；图2表示：____________； (2)若，求的值． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至T，使．延长至O，点O落在长方形内部，使，过点O、T作、的垂线，两垂线相交于点，记四边形的面积为，求的值． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形和正方形的边长分别是、；、分别是边、上的点，，． (1)若，请用、表示出三角形的面积； (2)若四边形CMFN面积是阴影部分的一半，以、为边长向外作正方形，面积分别为、．已知，，求三角形面积． 【题型2】平方差公式连续相乘(多层嵌套化简) 1.题型考点总结 考查平方差公式的正向连续应用，含多层嵌套(如)。 关键考点：逐步套用公式，约分化简，指数规律识别。 2.解题攻略 遵循“从外到内、逐步化简”原则，前两项套用公式后，结果与下一项继续构成平方差形式。 拆分特殊形式：如，再连续约分化简。 【例题2】．（24-25八年级上·辽宁·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式题2-1】．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； [归纳]由此可得：______． [应用] （1）______． （2）计算：． 【变式题2-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________ (2)计算的值的末位数字是_______； (3)计算：的值的末位数字是 【题型3】乘法公式与整体代换(换元法应用) 1.题型考点总结 考查换元思想，将复杂多项式(如、)视为整体，转化为乘法公式形式。 核心考点：整体代换简化运算，公式逆向匹配。 2.解题攻略 设复杂多项式为新字母(如设、)，转化为、或的形式。 套用乘法公式计算后，回代还原得最终结果，注意整体的符号一致性。 【例题3】．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 【变式题3-1】．（24-25六年级下·山东烟台·期末）【知识生成】 （1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：______，______； 【直接应用】 （2）已知：，，求和的值： 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形是长方形，分别以为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为57，求长方形的面积： 【拓展应用】 （4）若，求的值． 【变式题3-2】．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）材料1：把完全平方公式和适当变形后，可以得到很多等式，例如：，．利用这些等式可以帮助我们解决许多数学问题． 材料2：换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若，求的值． 解：令，，则，． 因为， 所以． 结合材料1和材料2可以有效地解决许多整式相关的问题． (1)若，，则的值为______； (2)若，求的值； (3)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，求图中阴影部分的面积和． 【变式题3-3】．（24-25七年级下·广东佛山·期中）我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． （1）若，，则的值为______． 【阅读材料】若，求的值． 解：设，，则，， ，即． 【归纳方法】首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）若，则的值是为______； （4）如图所示，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求图中阴影部分的面积． 【题型4】乘法公式项数变换 1.题型考点总结 考查通过增减项、分组重组，将多项式凑成乘法公式形式。 核心考点：添项配方(如)、分组凑公式(如分组)。 2.解题攻略 增减项配方：遵循“加多少减多少”原则，确保代数式值不变，凑成完全平方形式。 分组重组：将多项式按“平方项+交叉项”分组，优先凑平方差或完全平方公式，再提公因式。 【例题4】．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【题型5】杨辉三角与乘法公式关系 1.题型考点总结 -核心考查杨辉三角的结构规律：两腰系数为1，中间任意项系数等于上方两相邻系数之和。杨辉三角的结构规律及其在二项式展开中的应用，核心是通过杨辉三角快速确定（为非负整数）的展开式系数，是公式拓展类压轴题的常见形式。 -关键关联：杨辉三角第行系数对应展开式的各项系数，衔接完全平方公式(时)的拓展。 -高频考点：根据杨辉三角写低次幂二项式展开式、求特定项(如项、常数项)的系数。 2.解题攻略 -牢记基础规律：展开式的项数为，各项次数和为，字母的次数从递减到0，的次数从0递增到。 -求特定项系数步骤： 先根据杨辉三角写出的系数结构； 替换、题目中的代数式(如、）； ③聚焦目标项，计算字母系数与杨辉三角系数的乘积，得到特定项系数。 【例题5】．（22-23七年级下·陕西西安·自主招生）如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 【变式题5-2】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【阅读理解】 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式．我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中局部出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．因为平方具备非负性，所以配方法能解决一些代数式的最值问题． 例如：． 因为，即． 所以，当．即时，有最小值，最小值是 【探究应用】 完成下列多项式的配方（先在括号内配方、再去括号）、并仿照上面例子：说明多项式有最大值还是最小值的理由．以及当为何值时．多项式有最值、最值是多少？ （1）… （2）… 【拓展实践】 （3）华师版《数学》七下第19页《5.3实践与探索》问题1：用一根长的铁丝围成一个长方形，怎么围才能使长方形的面积最大． ①设长方形的一边长，则长方形的面积为______； ②证明：当长和宽相等，即成为正方形时，长方形的面积最大． 【变式题5-3】．（24-25七年级下·广东深圳·期末）“用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究． 小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m） 1 2 3 4 4.5 5 6 宽（单位：m） 7 6 5 4 a 3 2 面积（单位：m2） 7 12 15 16 b 15 12 我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16； 请根据以上的研究完成下面的问题： (1)小云同学的数据表中 ______、 ______； (2)小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； (3)补全小锦同学的做法． ______、______；请画出当时的三个图示说明． 【题型6】乘法公式与最值问题(和定积最大/积定和最小) 1.题型考点总结 考查完全平方公式的非负性，推导“和定积最大、积定和最小”结论。 高频考点：长方形周长定求最大面积、代数式最值求解。 2.解题攻略 核心结论：若(定值)，则当时，最大值为(和定积最大)。 构造完全平方形式：利用推导最值，注意等号成立条件()。 【例题6】．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【变式题6-1】．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，则再过天是星期几（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 【变式题6-2】．（20-21八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． (1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）； (2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值． 【变式题6-3】．（2025·安徽蚌埠·三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 行数              系数              展开式                 1                                1  1                         1  2  1                      1   3  3  1         …… 上图呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题： (1)在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ； (2)当时，在系数中，从左边数第 n行第3个数是 （用含 n的式子表示）； (3)展开后各项的系数和为 （用含 n 的式子表示） 【题型7】乘法公式拓展应用(含指数的连续相乘) 1.题型考点总结 考查平方差公式的拓展延伸，含字母指数的多层嵌套(如)。 核心考点：展开规律，指数递推化简。 2.解题攻略 牢记拓展公式：(为正整数)。 按“逐层套用、指数递增”原则化简，注意最终结果的指数合并。 【例题7】．（22-23八年级上·全国·单元测试）有下列等式： ； ； ； ； … (1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________； (2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明． 【变式题7-1】．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学操作性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1＋2×1＋1＝4；     第二个等式：4＋2×2＋1＝9； 第三个等式：9＋2×3＋1＝16；     第四个等式：16＋2×4＋1＝25. 第个等式可写为：．老师引导同学们将这个等式相加，做了如下推理： 整理得： ， ； 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 【问题解决】 (1)你能写出【类比推广】中的第5个等式：______；猜想第n个等式：______，请你证明这个猜想． (2)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【变式题7-2】．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学的奇妙世界里，等式就像一座桥梁，连接着不同的数学量．如果一个等式，在所讨论的范围里不是对字母的所有允许值都成立，而是仅当字母满足某些条件时才能使等式成立，这样的等式叫做条件等式．例如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，实际上我们学过的很多方程都属于条件等式．现在让我们研究一个有趣的等式，其中，那么，这个等式成立的条件是什么呢？ 【探究之旅】假设该等式成立，先对它进行移项，得到．然后，我们在等式两边同时加上4，这时左边就变成了，根据完全平方公式可以写成；右边写成．将右边的式子移到左边，再利用平方差公式进一步分解因式，可得①___________．因为，所以等式成立的条件应为②___________． 请将两处空缺①②补充完整； 【实践运用】根据我们刚刚探究得到的结果，我们来玩一个有趣的“等式创造”游戏．大家观察这两个等式：，，仿照这样的思路，补全等式：______________________； 【拓展创新】经过前面的探究和运用，相信大家对这类条件等式有了更深入的理解．现在，我们进入拓展阶段．豆包同学经过思考，推广得到了这样一个等式： （其中）．请你证明这个等式是否成立． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）探索：    … … 根据前面的规律，回答下列问题： (1) (2)当时， ； (3)求：的值；(请写出解题过程) (4)若，先求s的值(写出解题过程)，并直接写出的值的个位数字． 【题型8】乘法公式恒等式推导 1.题型考点总结 核心考查：从特殊到一般的归纳推理，乘法公式的正向展开与逆向因式分解在恒等式证明中的应用。 关键考点：恒等式结构猜想（系数、指数、符号规律），公式证明的严谨性，多因式乘积的恒等变形。 2.解题攻略 推导三步法： ①观察特例：分析已知等式的左边结构（如单项式×多项式、多项式×多项式）、右边结构（如平方差、完全平方、高次幂），找出系数、指数的变化规律； ②猜想公式：根据规律写出第个恒等式，确保左右两边的结构一致性； ③严格证明：优先选择“右边展开化简”或“左边因式分解”，利用乘法公式逐步推导，最终验证左右两边相等。 常用技巧：证明时若遇到多项式乘积，可通过“整体代换”“分组因式分解”转化为乘法公式形式，简化推导过程。 【例题8】．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：已知：，求证：． (1)从“数”的角度证明； (2)从“形”的角度说明． 【变式题8-1】．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为例如： (1)计算； (2)若，求证始终能被4整除． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·北京平谷·期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是___________；（填序号） (2)若为正整数，且，若是“双奇差数”，求的值； (3)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·北京·期中）已知实数，，，，设，．定义如下运算： ①② ③④ 请尝试解决如下问题： (1)如果，，那么________，________； (2)求证： (3)已知，，，则的值为________． 同步练习 一、解答题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． (1)根据图1和图2，写出，之间的一个等量关系____； (2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值． 5．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有＿＿＿＿＿（填序号）； ； ； ； ； (2)若关于的代数式为对称式，求的值； (3)已知． 若，求对称式的值； 若，且对称式，求代数式的值． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图）． (1)图1中的阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）； (2)将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图），那么这个长方形的面积为 （用含的代数式表示）； (3)综合图1、图2，从中可以归纳出一个结论： ； (4)根据（3）的结论计算：； (5)【灵活应用】图3表格中画出了两组分别用7个数字组成的形图案（阴影部分），现在在图3中任意找一个形图案（图4），设这个形图案的其中五个数的中心数为所对应的数分别设为，求的值． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图1所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； (2)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图2是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (3)已知，，利用以上恒等式求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $