精品解析：福建省福州黎明中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

福州黎明中学2025-2026学年第一学期期中考试卷 （高二数学） 注意事项： 1.本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写班级、姓名、座号； 2.本试卷分为第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角关系结合角度的范围求解. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，则， 所以. 故选：A. 2. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程判断. 【详解】由题意圆的标准方程是， 故选：B. 3. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可知，，，求出，即可求出椭圆的离心率． 【详解】因为椭圆中，， 所以， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值． 4. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 5. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 6. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 7. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 8. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D. 当时，不经过第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，解得或，故B错误； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为： 故D正确； 故选：ACD. 10. 已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. ，，，四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D． 【详解】由题意，， ，A正确； ，B正确； ，， 所以，，所以点O到直线的距离为，C正确； ， 假设若O，A，B，C四点共面，则共面， 设， 则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错误． 故选：ABC． 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，若，则， 即，故，故，故C正确； 对D，由余弦定理 ，即，解得，故，故D正确； 故选：ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、、三点，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用两点间距离公式计算求参. 【详解】因为、、三点，且， 则 则. 故答案为：. 13. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为_____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可直接构造方程求得结果. 【详解】由题意知：，即，解得：或. 故答案为：或. 14. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求出BC边中点的坐标，再根据两点式写出直线的方程； （2）根据垂直关系求出斜率，再写出点斜式直线方程得出结果. 【小问1详解】 因为，，则BC边中点E的坐标为，， 则直线AE的方程为，即； 【小问2详解】 因为，，则， ∵BC边上的高与BC垂直，∴BC边上的高所在直线的斜率为， ∴BC边上的高所在的直线方程为，即． 16. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）;（2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长； （2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则， 所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以， 直线AB的点斜式方程为 即. 17. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3） 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标． （1）直接由两点间的距离公式可得； （2）把（1）中求得利用配方法求最值； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解． 【详解】解：如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， ，， ． （1）； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短， 则，0，，，，，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是平面与平面的夹角或其补角． ，， ． 平面与平面夹角的余弦值是． 19. 已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 （1）求圆的方程； （2）若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） 在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． （3） 设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用离心率公式，结合方程求出c即可； （2）运用斜率公式计算即可； （3）直曲联立，运用韦达定理，计算化简即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州黎明中学2025-2026学年第一学期期中考试卷 （高二数学） 注意事项： 1.本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写班级、姓名、座号； 2.本试卷分为第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D. 当时，不经过第一象限 10. 已知空间四点，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. ，，，四点共面 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为 D. 若，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、、三点，且，则的值为__________. 13. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为_____________． 14. 圆与圆的公共弦长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程． 16. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 17. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 19. 已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 （1）求圆的方程； （2）若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $