精品解析：内蒙古自治区包头稀土高新区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

包头稀土高新区2025-2026学年度第一学期 初三数学阶段检测 注意事项： 1．本试题满分为100分，考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的准考证号、姓名、班级等基本信息填写在答题卡的指定位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色字迹签字笔描清楚，要求字体工整，笔迹清晰，严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、破损，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以通过树状图写出所有的可能性，从而可以得到两个都是正面向上的概率． 【详解】解：由题意可得， ∴总可能发生的情况有4种，两个都朝上是1种，故两个都是正面向上的概率为：， 故选：B； 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，可以写出所有的可能性． 2. 已知是成比例线段，其中，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键，解题时需注意比例的顺序．根据比例线段的定义，是成比例即，由此可求． 【详解】是成比例线段， ，即， ， 代入， 得 ， 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：一元二次方程是， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形是平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是矩形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，故D不符合题意； 故选：C． 5. 在一个不透明的口袋里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球次，其中次摸到黑球，则估计口袋中白球大约有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，分式方程的应用，熟练掌握频率估计概率，解分式方程是解题的关键．利用频率估计概率，摸到黑球的频率为，设白球有个，则摸到黑球的概率为，建立方程求解． 【详解】小明共摸球次，其中次摸到黑球， 摸到黑球的频率为， 设白球有个，则总球数为个， 摸到黑球的概率为， 根据频率估计概率，有：， 解得， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 7. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 8. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由比例关系设参数，代入表达式求值． 【详解】由 ，设 （），则，． 代入 ，得： 分子：， 分母：， 所以 ． 10. 若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 11. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，正方形空地原来的边长为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形的应用，设原正方形空地的边长为，分别用含的式子表示出剩余部分的边长，根据矩形面积公式列方程求解． 【详解】解：设原正方形空地的边长为． 根据题意得，， 解得，，舍去 答：原正方形空地的边长为． 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解； （2）通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 由得，， 或， ，； 【小问2详解】 由得，， 或， ，． 14. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果， 所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 15. 小玉和小武学习完“图形的相似”以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量学校附近一幢建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米．若此时小武的影长为米，其中五点在同一条直线上，三点在同一条直线上，且．已知小武的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 答：旗杆的高是米． 16. 已知：如图，平行四边形中，、相交于点，点、在所在的直线上，且，连接． （1）猜想四边形的形状并证明； （2）若，平分． ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形，理由如下： 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2） ①四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形为菱形； ② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等角对等边、菱形的面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形； （2）①由平分及是平行四边形，易证，得，即可证明四边形为菱形； ②根据已知条件，求出，利用菱形的面积为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②四边形为菱形， ， ， ， ， ， 四边形的面积是． 17. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 18. 已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF； （2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：； （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC， ∴∠ADE+∠AED=90°， ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD=90°， ∴∠AED=∠CFD， ∴△ADE≌△DCF， ∴DE=CF （2） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°， ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°， ∴∠ADE=∠DCF， ∴△ADE∽△DCF， ∴ （3） 当∠B=∠EGF时，成立， 证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF， 则∠CMF=∠CFM， ∵ABCD， ∴∠A=∠CDM， ∵ADBC， ∴∠B+∠A=180°， ∵∠B=∠EGF， ∴∠EGF+∠A=180°， ∴∠AED=∠CFM=∠CMF， ∴△ADE∽△DCM， ∴ ，即 . 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）当∠B=∠EGF时，成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头稀土高新区2025-2026学年度第一学期 初三数学阶段检测 注意事项： 1．本试题满分为100分，考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的准考证号、姓名、班级等基本信息填写在答题卡的指定位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色字迹签字笔描清楚，要求字体工整，笔迹清晰，严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、破损，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是成比例线段，其中，则的长是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的口袋里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球次，其中次摸到黑球，则估计口袋中白球大约有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A. B. C. D. 2 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 若，则______． 10. 若一元二次方程的两根为，则的值是______． 11. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，正方形空地原来的边长为__________m． 12. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 15. 小玉和小武学习完“图形的相似”以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量学校附近一幢建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米．若此时小武的影长为米，其中五点在同一条直线上，三点在同一条直线上，且．已知小武的身高为米，求旗杆的高． 16. 已知：如图，平行四边形中，、相交于点，点、在所在的直线上，且，连接． （1）猜想四边形的形状并证明； （2）若，平分． ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的面积． 17. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 18. 已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF； （2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：； （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $