精品解析：四川省成都市石室联合中学教育集团2025-2026学年上册八年级数学半期试卷

石室联合中学教育集团2025-2026学年度上期八年级半期抽样监测 数学 试卷说明1．试题分为A卷（满分100分）和B卷（满分50分）； 2．考试时间为120分钟； 3．答案请作在答题卡上． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. 0.3456 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. 7，15，17 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. ，， 4. 一次函数y=-2x-4的图象不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 4 6. 如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 10. 已知是关于，的二元一次方程，则_____． 11. 已知点是平面直角坐标系中第四象限的点，且到轴的距离为2，则_____． 12. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是_____． 13. 如图，在中，，现分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交线段于点，连接．已知，若的面积为6，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算． （1）； （2）； （3）解方程组：． 15. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为，是小于的最大整数． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 16. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）连接，，则的面积为_____． （3）在轴上求作一点，使得的值最小，此时点的坐标为_____． 17. 石室联合中学以“差异教育，扬长发展”为理念，构建了涵盖品德与人文、信息与科学、体育与健康、艺术与审美、劳动与实践五大板块的博雅课程体系．如图，学校准备开垦一块荒地用于劳动与实践课程的教学，测得，．为了方便师生进行使用，学校计划在荒地上铺设石板路，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种铺设方案： 八（1）班方案：如图1，过点作于点；沿线段铺设一段石板路． 八（2）班方案：如图2，先过点作于点，再过点作于点，于点；沿线段，铺设两段石板路． （1）求的长； （2）若铺设石板路的造价为120元/米，请求出各个方案所花费用，并说明哪个班的方案更划算？ 18. 如图，是等边三角形，点为射线上一点． （1）当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； （2）如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 如果，那么的值是_____． 20. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为_____． 21. 某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是_____．（π取3） 22. 如图，已知，，分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．例如：，，，则是关于的勾股一次函数．若关于的形如的一次函数是勾股一次函数，则_____．若点在勾股一次函数的图象上，且的面积是5，则这个勾股一次函数的表达式是_____． 23. 如图1，在中，，，，，垂足为，点是点关于的对称点，连接，．现将绕着点按顺时针方向旋转．如图2，记旋转后的为，在旋转过程中设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，当为等腰三角形时，_____． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； （3）线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，点 为线段上一动点，连接． （1）如图，为外一点，连接，，且，过点作交于点，若，，求线段的长； （2）如图，过点作于点，平分交于点，连接，，若，求证：； （3）如图，若，为边上一点且，为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，过作的垂线，为垂线上一动点，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接，在，运动过程中，当线段和均取得最小值时，求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石室联合中学教育集团2025-2026学年度上期八年级半期抽样监测 数学 试卷说明1．试题分为A卷（满分100分）和B卷（满分50分）； 2．考试时间为120分钟； 3．答案请作在答题卡上． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. 0.3456 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、 0.3456是有限小数，是有理数； B、 是分数，是有理数； C、 ，是整数，是有理数； D、开方开不尽，是无理数． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的计算，根据算术平方根和立方根的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. 7，15，17 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数，只需验证各选项是否满足条件且均为正整数即可 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、、不是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4. 一次函数y=-2x-4的图象不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】因为，，根据一次函数的性质得到图象经过第二、四象限，图象与轴的交点在轴下方，于是可判断一次函数的图象不经过第一象限． 【详解】解：对于一次函数， ， 图象经过第二、四象限； 又， 一次函数的图象与轴的交点在轴下方，即函数图象还经过第三象限， 一次函数的图象不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；当，经图象第一、三象限，随的增大而增大；当，一次函数的图象与轴的交点在轴上方；当，一次函数的图象与轴的交点在轴下方． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于y轴对称的点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴点A与点B的纵坐标相同（均为3），横坐标互为相反数． ∴点B的横坐标应等于点A横坐标的相反数，即， ∴． 故选：B． 6. 如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，因此只需确定两直线交点的坐标即可． 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为， 故选：D． 7. 如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 由题意得是直角三角形，，可知，在中，，代入求值即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴即 ∴是直角三角形， ∵为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处， ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴，解得 故选：C. 8. 某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据根据得到电压表数量和电流表数量的等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表， 根据题意有：， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程中未知数的次数均为是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，确定、的次数均为，从而列出关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：由于方程是关于的二元一次方程， 因此的指数，解得； 的指数，解得． 所以， 故答案为：． 11. 已知点是平面直角坐标系中第四象限的点，且到轴的距离为2，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握点到轴的距离与纵坐标的关系以及第四象限点的坐标符号特点是解题的关键．根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，结合第四象限点的纵坐标为负，求出的值． 【详解】解：点到轴的距离为， ， ， 点在第四象限， ， ， 故答案为：． 12. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，求不等式的解集从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集． 所对应自变量的取值范围即为直线在轴下方的点的横坐标的取值范围，据此求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， 故答案为：． 13. 如图，在中，，现分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交线段于点，连接．已知，若的面积为6，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，根据三角形的面积公式，求出的长，中垂线的性质，得到，勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴的面积为， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算． （1）； （2）； （3）解方程组：． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，二次根式的混合运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简零指数幂、绝对值、立方根和负整数指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算乘方，再计算除法，最后进行合并即可； （3）可求出，把代入②可求出，从而可得方程组的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， 所以，方程组的解为． 15. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为，是小于的最大整数． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）的算术平方根为6 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根与立方根的定义求得a，b的值； （2）根据无理数的估算求得c的值，进而求得代数式的值，根据算术平方根的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴， 整理得，， 解得； ∵的立方根为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴， ∴小于的最大整数为； ∴， ∵， ∴的算术平方根为6． 16. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）连接，，则的面积为_____． （3）在轴上求作一点，使得的值最小，此时点的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据对称轴的性质得到轴，再由三角形面积公式求解即可； （3）过点作轴的对称点，连接与轴的交点即为点，那么，根据两点之间线段最短即可说理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由对称可得轴， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求，， 故答案为：． 17. 石室联合中学以“差异教育，扬长发展”为理念，构建了涵盖品德与人文、信息与科学、体育与健康、艺术与审美、劳动与实践五大板块的博雅课程体系．如图，学校准备开垦一块荒地用于劳动与实践课程的教学，测得，．为了方便师生进行使用，学校计划在荒地上铺设石板路，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种铺设方案： 八（1）班方案：如图1，过点作于点；沿线段铺设一段石板路． 八（2）班方案：如图2，先过点作于点，再过点作于点，于点；沿线段，铺设两段石板路． （1）求的长； （2）若铺设石板路的造价为120元/米，请求出各个方案所花费用，并说明哪个班的方案更划算？ 【答案】（1） （2）八（1）班方案所需费用为1440元，八（2）班方案所需费用为1728元；八（1）班方案更划算 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三线合一是解题的关键： （1）三线合一，结合勾股定理进行求解即可； （2）等积法求出，的长，再根据总价等于单价乘以长度，进行求解判断即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 答：的长为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由题意，八（1）班方案所需费用为（元）； 八（2）班方案所需费用为（元）； 故八（1）班方案更划算． 18. 如图，是等边三角形，点为射线上一点． （1）当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； （2）如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． 【答案】（1） ①∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再结合已知的线段相等，通过判定三角形全等．②先通过平行和等边三角形的判定及性质得到等边三角形，再结合线段相等证明三角形全等，进而得出角的关系，求出的度数． （2）过作交于，过作交于，连接，，过作于，证明（），（），利用等腰三角形的性质及勾股定理求解的长度． 【小问1详解】 解：①略 ②过点作交于， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作交于，过作交于，连接，，过作于， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握这些图形的性质和判定定理是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 如果，那么的值是_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件推出，进而得到，再进行乘方运算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2025 20. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，通过将方程组中的两个方程相加，得到，再根据条件解出即可． 【详解】解：解方程组：， 将两个方程相加，得： ∴， ∴， ∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：4． 21. 某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是_____．（π取3） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图以及勾股定理的应用，熟练掌握将圆柱侧面展开为矩形并利用勾股定理求解是解题的关键． 将圆柱侧面展开成矩形，把曲面问题转化为平面问题，利用勾股定理计算矩形中两点间的线段长度，此长度即为电缆线的最短长度． 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵ 圆柱底面半径为米，取， ∴ 底面圆的周长的一半米． ∵ 圆柱的高为米， ∴ 米． 在中，由勾股定理得米． 故答案为： 22. 如图，已知，，分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．例如：，，，则是关于的勾股一次函数．若关于的形如的一次函数是勾股一次函数，则_____．若点在勾股一次函数的图象上，且的面积是5，则这个勾股一次函数的表达式是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数的新定义，正确理解新定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ①根据定义即可求解； ②根据定义，得，得，结合，，再利用代入解答即可． 【详解】解：①根据定义关于的形如的一次函数是勾股一次函数 ∴，解得： 故答案为：； ②∵点在勾股一次函数的图象上， ∴，则； ∵的面积是5， ∴， ∴ ∴，解得：（负值舍去） 故 ∴ 则，则 解得： 则或 ∴或 ∵ ∴， 故答案为：. 23. 如图1，在中，，，，，垂足为，点是点关于的对称点，连接，．现将绕着点按顺时针方向旋转．如图2，记旋转后的为，在旋转过程中设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，当为等腰三角形时，_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长；根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 点是点关于的对称点， ∴，， ①旋转的过程中，和线段、线段的延长线相交时，此时， 如图2， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， ， ， 在中，，， ； ②如图3，当时， 为等腰三角形，， ， ，，， ， 由旋转得，，，，， ， ∴， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； 即满足条件的的长为或, 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，化为最简二次根式，旋转的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求，根据题意画出图形是本题的难点． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） （2）当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式以及根据函数关系式列方程求解是解题的关键． （1）对于“蜀韵”，其函数图象是过原点的直线，故设为正比例函数，代入已知点坐标求解；对于“锦风”，其函数图象是一次函数，设为，代入已知点坐标求解． （2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解． 【小问1详解】 解：设， ∵ 过点， ∴ ， 解得 ， ∴， 设， ∵ 过点， ∴ 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，分两种情况： 情况一： 即， 解得， 情况二：即， 解得， 答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； （3）线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，则，，即点A、的坐标分别为、，即可求解； （2）根据，可得点在过点和与点B关于x轴对称点且平行于的直线上，即可求解； （3）作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E，证是等腰直角三角形，得到，推出，由旋转的性质得：，证，求出，进而求得，，从而得到，求出，得，求直线解析式为，联立直线与直线，求出，由对称可求，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ，， ∴、， 设直线的解析式为，将点、，代入得 ， 解得，， 即直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当点在上方时， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， 故点； ②当点在下方时，设B关于x轴对称点， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， ∴点； 故点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，的坐标为，理由如下： 作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E， 由题意得：， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理，得， 点在直线上， ， ， 由旋转的性质得：，， 即此时点符合条件， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立， 解得：， ， 关于y轴对称， ． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，旋转的性质，对称的性质，矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 26. 在中，，点 为线段上一动点，连接． （1）如图，为外一点，连接，，且，过点作交于点，若，，求线段的长； （2）如图，过点作于点，平分交于点，连接，，若，求证：； （3）如图，若，为边上一点且，为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，过作的垂线，为垂线上一动点，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接，在，运动过程中，当线段和均取得最小值时，求出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵平分，， ∴， ∵，设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出，然后证明得即可； （2）如图，延长至点，使得，连接，证明得，证明得，，，推出，即可得证； （3）如图，过点作于点，由勾股定理得，根据翻折的性质得，，当点、、共线，且在上时，取得最小值为，再以为边在左侧作等边，连接，，证明得到点的运动路径为直线，故当时，取得最小值，然后利用角直角三角形的性质并结合三角形面积公式得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 即线段的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（如下图） ∵将沿翻折至所在的平面内，得到， ∴， ∵为边上一动点， ∴， ∴， ∴当点、、共线，且在上时，取得最小值为，如图， 如图，以为边在左侧作等边，连接，， ∴，， ∵过作的垂线，为垂线上一动点，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点在垂直的直线上运动， ∴当时，取得最小值，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴当线段和均取得最小值时，的面积为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，垂线段最短，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是正确找出动点的运动路径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $