精品解析：山东省名校考试联盟2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

山东名校考试联盟 2025—2026学年高三年级上学期期中检测 数 学 试 题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合A，再根据补集的概念计算即可. 【详解】由可得，所以或. 故选：B 2. 已知复数 (为虚数单位)，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算公式及模长公式计算即可. 【详解】易知， 则. 故选：D 3. 已知向量不共线，，则 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 5. 若函数 的最大值为1，则常数φ的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两角和的余弦公式及辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质求出最大值，最后结合已知条件求出的值． 【详解】， 令， 则， 因为，，所以的最大值为， 从而，即，则， 因为，所以． 故选：C 6. 已知函数 ，等差数列的前n项和为，且 ，则 （ ） A. 18 B. 20 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式和前项和公式求出数列的通项公式，再分析函数的性质，最后根据函数性质计算即可． 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得：，解得． 所以． 已知，设，则， 因为， 所以的图象关于点对称， 那么的图象关于点对称， 即若，则． 因为，，则， 所以，又 所以， ， 所以 ． 故选：C． 7. 如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【详解】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 8. 已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的大致图象，令，根据一元二次方程根的分布，结合图象计算即可. 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点， 需有两个不同零点，不妨设 同时分别对应4个零点， 若， 即， 则，且， 即，解之得. 若，则仍需，此时，不符合题意，舍去； 综上：. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且 则（ ） A. B. C. 的图象关于对称 D. 在 单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，由题意可知，所以，即A错误； 对于B，易知在时取得最大值，即， 整理得， 又，则，故B正确； 对于C，易知，显然，所以C正确； 对于D，在时，，此时单调递减，故D正确. 故选：BCD 10. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在 上的投影向量为 D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由不等式恒成立结合向量模长公式得到一个一元二次不等式恒成立，解该不等式恒成立问题得到，接着由向量模公式、数量积运算律和投影向量公式逐项计算即可判断ABC；由模公式计算D选项得到代数式，利用其几何意义数形结合分析计算即可求解判断D. 【详解】由题可得恒成立， 即， 所以， 所以， 所以，故A正确； ，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图， 关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值， 此时， 所以当取最小值时，，D正确. 故选：ABD 11. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则单调递减 B. 若存在无数多个使得，则或 C. 当时，存在使 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由题意可得，则只需，即可得数列单调递减，再证明且时即可得；对B：结合A中所得，可得且时，不存在无数多个使得，从而只需证或时，数列中存在为的项即可得；对C：结合A中所得，只需证明时，；对D：由题意可得，则可得，结合计算所得时，即可得. 【详解】对A：，则恒成立， 若对任意，，则此时数列单调递减， 令，则， 则当时，若，则需或， 由且，则且， 以此类推，可知对任意都成立，故数列单调递减，故A正确； 对B：由A知，当且时，单调递减， 此时不存在，使得， 当时，，此时， 则，故， 以此类推，可知对任意，恒成立； 当时，，此时， 则，故， 以此类推，可知对任意，恒成立； 综上所述，若存在无数多个使得，则或，故B正确； 对C：， 由，则， 又由A知，数列单调递减，则当时，， 故对任意，，故不存在使，故C错误； 对D：由，则， 由A知，数列单调递减，则当时，， 又， 则， 即有， 则 ， 当时，由，则对任意，恒有， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 已知，则函数的最小值为_______． 【答案】9 【解析】 【详解】试题分析：由,而 ,当且仅当时，上式取“=”,所以. 考点：基本不等式；构造意识和发散性思维. 13. 若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程． 【详解】直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 因为直线为曲线与的公切线， 所以， 由得，两边取自然对数得， 即，即， 代入得，即，解得或， 所以或， 所以的方程为或． 故答案为：（或）． 14. 若存在，使 成立，则a 的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先同构变形化简不等式，构造函数及，利用导数研究其单调性与最值计算即可. 【详解】不等式成立等价于， 令，易知， 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则上述不等式等价于有解， 设，可知，显然在上单调递增， 即，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若函数的定义域为R，且，. （1）求的值; （2）判断的奇偶性并证明； （3）若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）偶函数；证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，从而得到，结合其定义域即可得到其奇偶性； （3）转化为，再结合其奇偶性和单调性即可列出不等式，进而求解即可. 【小问1详解】 令，则， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的定义域为，关于原点对称． 令，所以，所以． 综上，为上的偶函数． 【小问3详解】 因为， 所以求即可． 由（2）得为上的偶函数，且在上单调递减， 所以，解得． 则不等式的解集为． 16. 已知为数列的前n项和，且满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）设数列 的前n项和为 ，证明： 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的关系结合等比数列的定义计算即可； （2）利用（1）的结论计算，利用裂项相消法计算，根据指数函数的单调性，证明即可. 【小问1详解】 由可知， 作差得，整理得， 当时，，可知， 即， 所以数列为以6为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 由上可知， 则， 所以， 即 易知单调递减，且， 所以，证毕. 17. 在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 （1）求证:; （2）若，求三角形ABC 面积的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合已知等式、两角和差的正弦公式进行证明即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 因为，又由余弦定理， 则，即， 又由正弦定理可得，即， 化简得， 因为三角形ABC为锐角三角形，所以，则， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由正弦定理，则， 因为， 因为三角形ABC为锐角三角形， 所以，故， 令，则， 令，则，则函数在上单调递减， 所以，所以. 18. 已知函数 （1）若，讨论的单调性; （2）若有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当时，设函数 为的导函数.证明：对任意的，有 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； （2） （3）易知， 所以， ， 要证，即证， 不妨设，即证， 设，即证 令， 易知，即单调递增， 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性计算即可； （2）问题化为导函数有两个变号零点，分离参数构造新函数研究其单调性，最值，数形结合计算即可； （3）通过作差化简不等式，令，把问题化为证明，构造函数利用导数研究其单调性及最值即可. 【小问1详解】 当，，所以， 显然或时，，即此时单调递增； 时，，即此时单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 易知， 若有两个极值点，等价于有两个不同的变号零点， 令，即有两个不同的变号零点， 则， 易知时，，或时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 在时，取得极小值也是最小值， 在时，取得极大值， 又时，， ， 作出大致图象如下： 要使得有两个不同根，需有两个不同交点， 由题意可知， 注意到时，此时在零点的左右附近， 均有，即，不符合题意，舍去； 所以； 【小问3详解】 略 19. 设函数 （1）求函数的所有零点; （2）求函数的值域; （3）对于给定的大于1的正整数n，设集合对任意，均有 且.求集合 M 中所有非空子集的元素之和. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换展开得，从而，再求其零点即可； （2）化简，则得到，再次求导即可得到其值域； （3）求导得，求出其极大值点，再设，再次求导得其单调性得到在区间上的最大值为或，最后求和计算即可. 【小问1详解】 因为 ， 故． 因为，则由可得，解得． 故函数的所有零点为． 【小问2详解】 因为 故 ， 令，函数， 则． 由可知为奇函数， 只需考虑区间上的情形． 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 而． 于是函数的值域为． 【小问3详解】 利用 可知当时， ， 令可得． 为了求的最大值，由（2）及可知只需考虑的情形． 设，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故的极大值点为． 当和时， 令， 则 ， 故在区间上单调递减，故， 即． 因此在区间上的最大值为或． 故集合或，共100个元素． 对于集合中的每个元素，含有元素的子集有个，于是集合中的所有非空子集的元素之和为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2025—2026学年高三年级上学期期中检测 数 学 试 题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知复数 (为虚数单位)，则（ ） A. 5 B. C. D. 3. 已知向量不共线，，则 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数 的最大值为1，则常数φ的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ，等差数列的前n项和为，且 ，则 （ ） A. 18 B. 20 C. 36 D. 40 7. 如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且 则（ ） A. B. C. 的图象关于对称 D. 在 单调递减 10. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在 上的投影向量为 D. 当取最小值时， 11. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则单调递减 B. 若存在无数多个使得，则或 C. 当时，存在使 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 已知，则函数的最小值为_______． 13. 若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可） 14. 若存在，使 成立，则a 的取值范围为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若函数的定义域为R，且，. （1）求的值; （2）判断的奇偶性并证明； （3）若在上单调递减，求不等式的解集. 16. 已知为数列的前n项和，且满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）设数列 的前n项和为 ，证明： 17. 在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 （1）求证:; （2）若，求三角形ABC 面积的取值范围. 18. 已知函数 （1）若，讨论的单调性; （2）若有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当时，设函数 为的导函数.证明：对任意的，有 19. 设函数 （1）求函数的所有零点; （2）求函数的值域; （3）对于给定的大于1的正整数n，设集合对任意，均有 且.求集合 M 中所有非空子集的元素之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $