4.2.1 指数函数的概念 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.1 指数函数的概念导学案 一、学习目标 (1) 通过旅游人次增长和碳14衰减的实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念，能准确表述指数函数的定义。 (2) 明确指数函数中底数的限制条件（且），并能解释其合理性。 (3) 能根据指数函数的概念判断给定函数是否为指数函数，能求简单指数函数的解析式（已知函数过某点）。 (4) 体会指数函数在刻画实际问题中的作用，感受数学的应用价值，发展数学抽象和数学建模素养。 二、学习重难点 教学重点：指数函数的概念及特征理解底数的限制条件的合理性； 教学难点：从实际问题中抽象出指数函数的模型（识别指数增长与衰减的规律），区分指数函数与幂函数（前者指数为自变量，后者底数为自变量）。 3、 知识点自主预习 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1 图 像 性质 定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 （3）当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 四、典例详解 考点01：指数函数的判断和求值 例1：1．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 考点02：根据函数是指数函数求参数 例2：1．若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 2．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 考点03：求指数函数解析式 例3：1．若函数的图像经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 2．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 考点04：判断指数函数的单调性 例4：1．函数在上的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 2．已知函数（且），若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点05：判断指数型函数的图像 例5：1．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   2．（多选）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     考点06：指数型函数图像过定点问题 例6：1．函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 2．若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的 图象上，则 . 5、 练习提升 1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 4．已知，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是偶函数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 7．设，为实数，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 11．（多选）函数，，若，则实数的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 12．若指数函数的图象经过点，则的值为 . 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 14．已知函数是奇函数，则实数的值为 ． 15．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 16．已知函数. (1)证明：若，则. (2)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 指数函数的概念导学案 一、学习目标 (1) 通过旅游人次增长和碳14衰减的实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念，能准确表述指数函数的定义。 (2) 明确指数函数中底数的限制条件（且），并能解释其合理性。 (3) 能根据指数函数的概念判断给定函数是否为指数函数，能求简单指数函数的解析式（已知函数过某点）。 (4) 体会指数函数在刻画实际问题中的作用，感受数学的应用价值，发展数学抽象和数学建模素养。 二、学习重难点 教学重点：指数函数的概念及特征理解底数的限制条件的合理性； 教学难点：从实际问题中抽象出指数函数的模型（识别指数增长与衰减的规律），区分指数函数与幂函数（前者指数为自变量，后者底数为自变量）。 3、 知识点自主预习 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1 图 像 性质 定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 （3）当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 四、典例详解 考点01：指数函数的判断和求值 例1：1．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可. 【详解】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 2．（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，为指数函数； 对于B选项，不是指数函数； 对于C选项，不是指数函数； 对于D选项，当且时，且， 则（且）为指数函数. 故选：AD. 考点02：根据函数是指数函数求参数 例2：1．若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 2．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 考点03：求指数函数解析式 例3：1．若函数的图像经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由求得函数解析式求解. 【详解】解：因为函数的图像经过， 所以，解得 ， 所以， 则， 故选：B 2．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再逐项判断作答. 【详解】设指数函数（且），于是，即，因此， 函数，A正确，B错误； 显然，C正确； 又，因此D正确. 故选：ACD 考点04：判断指数函数的单调性 例4：1．函数在上的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，求出函数最大值作答. 【详解】函数在上单调递减， 所以当时，. 故选：D 2．已知函数（且），若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 则， 因为，则，即， 所以， 所以可以转化为， 则， 所以， 故选：B. 考点05：判断指数型函数的图像 例5：1．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案. 【详解】因为，所以，定义域为； 因为，所以， 故，所以为奇函数，排除B， 当逼近于，逼近于，排除D， 由，，则，排除C， 故选：A. 2．（多选）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】AD 【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可. 【详解】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D. 故选：AD. 考点06：指数型函数图像过定点问题 例6：1．函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】由指数函数定点求解即可. 【详解】则定点坐标为. 故答案为: . 2．若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的 图象上，则 . 【答案】16 【分析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幂函数中，求出幂函数解析式，得到答案. 【详解】恒过点，故， 将其代入中，，解得， 故，所以. 故答案为：16 5、 练习提升 1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 2．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【详解】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 3．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 4．已知，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用换元法求解出的解析式. 【详解】令，则，所以， 所以， 故选：A. 5．已知函数是偶函数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由偶函数的定义列出等式并化简即可求出. 【详解】的定义域为关于原点对称, 是偶函数 ， 即 化简得 解得， 故选：B 6．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 【答案】A 【分析】利用偶函数性质可得，即可求得，从而可求解. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，则，故A正确. 故选：A． 7．设，为实数，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有，结合题意，代入可得答案． 【详解】因为，， 根据基本不等式的性质有， 又由， 则，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：B． 8．函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，排除B项，再通过赋值法，结合图象的位置和单调性即可排除C,D两项，即得A项正确. 【详解】由可知函数的定义域为，因， 则函数是奇函数，故排除B项； 又由可排除C项； 又，即，故可排除D项. 故选：A. 9．（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 10．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【答案】ACD 【分析】利用幂函数与指数函数的概念一一判定选项即可. 【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确； 因为， 所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确． 故选：ACD 11．（多选）函数，，若，则实数的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】BD 【分析】首先求出，再代入中，解指数方程即可. 【详解】依题意得，，则，即，解得或者. 故选：BD 12．若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【答案】3 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【详解】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】结合指数幂的运算，根据奇函数的性质求解即可. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以， 所以. 故答案为： 14．已知函数是奇函数，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 由是奇函数，得，解得，即， 由于，即函数是奇函数，所以． 故答案为：. 15．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 16．已知函数. (1)证明：若，则. (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）将代入函数解析式，化简整理即可证明； （2）利用（1）中的结论即可求解. 【详解】（1）证明： . 若，则. 故. （2）由（1）可知. 又因为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $