4.2.2 指数函数的图象和性质 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图象与性质 课标要求 核心素养 重难分析 1 、理解指数函数的图象 2 、掌握指数函数的基本性质 体会数学抽象和逻辑推 理的思想方法 重点 指数函数的图象和性质 难点 指数函数的图象和性质 新知导入 下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数． 首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 先从简单的函数y = 2x 开始． 请完成 的对应值表，并用描点法画出函数y = 2x 的图象（如图）． 画出函数y = (|( ), x 的图象，并与函数y = 2x 的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数 y = 2x 的图象，画出函数y = (|( ), x 的图象？ 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数 的图象，比如利用函数y = 2x 的图象，画出y = (|( ), x 的图象（如图）．且 画出y = 3x 、y = (|( ), x 、y = 4x 、y = (|( ), x 观察底数的大小规律 知识清单 知识点一：指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象和性质 0 < a < 1 a > 1 图象 性 质 定义域 R 值域 过定点 单调性 增函数 奇偶性 例题讲解 类型一：指数函数的定点问题 [例1]y = ax+5 + 1(a > 0, 且a ≠ 1)的图象恒过定点______ . [变式3]y = ax-a + 2b(a > 0, 且a ≠ 1)的图象恒过点(2,3), 则a + b = ____ . 类型二：比较大小 [例2]比较下列各组数的大小: ( (2)2.1 - 2.8 与 2.1 4 (3)0.8 - s 3 与 0.8 - 2 )(1)1.72.6 与1.7π [例2]比较下列各组数的大小: (4)0.43 与30.4 (5)0.60.6 ,0.61.5 ,1.50.6 (6)ab 与ba(0 < a < b < 1) 1 [思考]已知a = A.b < a < c B.a < b < c C.b < c < a D.c < a < b 【变式训练】设a = 0.80.4 ，b = 0.2-0.9 ， c = 0.90.4 ，则a, b, c 的大小关系为 A ． a < b < c B ．b < a < c C ． c < a < b D ． a < c < b 类型三：图像问题 [例 3]指数函数①f(x)=px,②g(x)=qx 满足 0<p<q<1,则它们的图像是 [变式]如图是指数函数(1) y = ax ,(2) y = bx ,(3) y = cx ,(4) y = dx 的图像，则 a,b,c,d 的大小关系 A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<a<b<1<d<c 【变式训练】要使f (x ) = (|( ), x+1 + t 的图象不经过第一象限，则t 的取值范围是 A ． [-1, +∞) B ． (|(-∞ , - 7」| C ．「|L- , +∞,) D ． (-∞ , -1] [例 4]函数y=2-|x|的图像大致是 [变式]若函数f(x) = 2x , 则f(1 - x)的图象是( ) [例5]若曲线y =| 2x -1 | 与直线y = b的图象有2个公共点, 则b的取值范围是_______ . 【变式训练】已知实数 a，b 满足等式2a = 6b ，则下列关系式：①0 < a < b ；② b < a < 0 ；③ a = b ；④0 < b < a ； ⑤ a <b < 0 中可以成立的关系式有 A ． ①②③ B ． ②③④ C ． ③④⑤ D ． ①②④ 【变式训练】如图，已知直线x = a ，x = b (a <b < 0) 与函数y = 2x ，y = 4x 的图象分别交于A ，B ，D ， C 四点， 且 ABCD 为平行四边形，则 A ． 2a + 2b = 1 B ． 2a +1 + 2b +1 = 1 C ． a + b < -4 D ． a + b < -2 【变式训练】 已知函数f (x) = 的图象关于点P 对称，则点P 的坐标为 类型四：求定义域 [例6]求下列函数的定义域. (1)y = 22x-3 (2)y = ( [ 变 2] y = )1 ( [ 变 1] y = ) ( \ 2 ) 4 - ( )x ( ( 3 , [ 变 ] 求不等式 2 < 0.5 的解集 . )[例7]求不等式|( 1 ) 1-2x < 27的解集. 3-2x 3x-4 (5)若a x 2 -3x +1 < a x 2 +6 (a > 0且a ≠ 1), 求x的取值范围. 类型五：求值域 [例8]求下列函数的值域. (1)y = 3x -1, x ∈ [-1,2] (2)y = 22 x-3 [变1]y = ()x2 -2 [变2]y = 4-|x| (3)y = 3 - 1 (4)f(x) = s1 - 2x [例9]求函数f(x) = 3 + 2 .3x+1 +9x 的值域. [变式]若x ∈∈[-3,2], 求函数f(x) = - +1的最值. 变式训练】若函数f(x) = ·4x- 2 (1) - 2x + a 的值域为[0, +∞) ，则实数a 的取值范围是 A ． { B ． , +∞), C ． (|(-∞ , 7」| D ． [0, +∞) 【变式训练】若2x - 4y = ·、 ，x ， y ∈ R ，则x -y 的最小值为 ． 【变式训练】 在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数( 也称高斯函数) ，表示不超过 x 的最大整数， 例如[2] = 2 ，[3.3] = 3 ，[-2.4] = -3 ，设函数f (x) = - ，则函数y = f (x ) + f (-x ) 的值域为 ． 【变式训练】 已知函数f (x) = 4x - (a -1)2x + 2(0 ≤ x ≤ 2) .(1)若f (x)在[0, 2] 上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若f (x)在[0, 2] 上最小值为 4 ，求实数a 的值； 类型六：复合函数的单调性 [例10]求y = 2x-1的单调区间. [变1]y = 2x2 -2x+3的单调递增区间是_________ . [变2]求y = |((,) 1-x 的单调区间. [思考]f(x) = ()|1-x|的单调递减区间是________ . [变1]y = 2-x2 +2x+3的单调递增区间是_________ . 类型七：奇偶性与单调性 [例11]判断f(x) = 的奇偶性. [变]判断f(x) = 的奇偶性. 【变式训练】若2m + 3-n ≥ 2n + 3-m ，其中 m ，n 均为实数，则 A ． m + n ≤ 0 B ． m - n ≤ 0 C ． m - n ≥ 0 D ． m + n ≥ 0 【变式训练】 已知函数f(x) = ．(1)设g (x) = f (|(x + ), - ，判断并证明函数g (x) 的奇偶性；(2)判断 f(x) + f(1- x) 是否为定值，并求关于 x 的不等式2[f(x)]2 < f(1- x) 的解集． 【变式训练】已知函数f (x)是定义域为 R 的偶函数，g (x ) 是定义域为 R 的奇函数，且f (x)+ g(x) = 2ex （其中 e 为常数， e ≈ 2.718 ）．函数F(x) = f (2x)- 2mf (x)在[0, +∞) 上 的最小值为-11 ，则下列结论正确的是 A ． f (x) = ex + e-x B ． g (x ) 在 R 上单调递减 C ． m = 3 D ． m = -3 或 类型八：与指数有关的恒成立问题 【变式训练】 已知函数f(x) = .(1)判断f(x) 奇偶性并证明；(2)利用定义证明y = f(x) 在 R 上单调递增；(3) 若存在实数x ∈[1, 3] ，使得f(k. 4x - 3)+ f (2x) > 0 成立，求实数 k 的取值范围. 【变式训练】已知函数f(x) = （0 ≤ x ≤ 1 ），函数g (x) = (m -1)x（1 ≤ x ≤ 2 ）.若任意的x1 ∈ [0, 1] ，存在x2 ∈ [1, 2]， 使得f (x1 ) = g (x2 ) ，则实数m 的取值范围为 A ． (|(1, | B ． [2, 3] C ．「|L2, D ． , 【变式训练】函数f(x) = x2 - x ，g (x) = 4x - 2x +1 + m ，若对x1 ∈ [1, 2] ，都存在x2 ∈ [-1, 1] ，使f (x1 ) > g (x2 ) 成立， 则 m 的取值范围是 A ． m < 0 B ． m < 1 C ． m < 2 D ． m < 3 【变式训练】 已知定义在R 上的函数y = f(x) ，对一切实数 a 、b 都有f(a +b) -f(b)= a(a + 2b-1) 成立，且 f(1) = 0 .(1)求函数y = f(x) 的表达式； (2)若任意实数x ∈[0, 2], mf (2x) ≥ 4x+1 - m ，求实数m 的取值范围. 课堂练习 1.若 a = 1.010.8 ， b = 1.010.7 ， c = 0.60.8 ，则 A. c > a > b B. c > b > a C. a > b > c D. b > a > c 2. 已知命题 p : > 命题 q : 2a > 2b，则命题p 是命题 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知指数函数 f (x ) = (2a2 - 5a + 3)ax 在(0, +∞) 上单调递增，则实数 a 的值为 1 3 A. B. 1 C. D.2 2 2 5.若 a = 0.40.5 ， b = 0.40.6 ， c = 0.50.5 ，则 A. c > a > b B. c > b > a C. a > b > c D. b > a > c 6. 已知函数 f(x) = 2ax-1 + 4 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 A. (1, 4) B. (1, 6) C. (0, 4) D. (0, 6) 7.设函数f(x) = 2x (x-a ) 在区间 (0, 1) 单调递减，则 a 的取值范围是 A. (-∞, -2] B. [-2, 0) C. (0, 2] D. [2, +∞) 8. 函数 f(x) = 2x2 -2x ， x ∈ [-1, 2] 的值域是 ( 「 1 7 「 1 ) )A. (-∞, 8] B.|L2 , 8」| C.|L 2 , +∞, D. (0, 8] 9. 已知 f(x) = a-x (a > 0 ，且 a ≠ 1) ，且 f(-2) > f(-3) ，则 a 的取值范围是____________. 10. 已知函数 f(x) = x3 (a . 2x - 2-x) 是偶函数，则 a =___________. 11. 已知函数 f(x) = m (|( ), |x| + n 的图象经过原点，且无限接近直线 y = 1但又 不与该直线相交.（1）求 f(x) 的解析式； （2）函数 g (x) = (|( ), x + f(x) ，x ∈ [0, 2] ，求 g (x) 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $