精品解析：山东省青岛市2025--2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年青岛市初中毕业年级学业质量监测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题和解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）在每个胚给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形一定相似的是（　　） A 两个三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个边数相等的正多边形 3. 已知，则值为（　　） A. B. C. D. 4. 体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40个的概率约为（　　） A. B. C. D. 5. 2022年以来，我国快递市场规模持续增长，快递业着力提升服务水平，加快推动智能化、绿色化、国际化发展，高效支撑线上消费活力释放．我国2022年的快递业务量约为1106亿件，经过两年发展，2024年的快递业务量约为1751亿件．设我国这两年快递业务量的年均增长率为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点是延长线上一点，且，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 7. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点，为边上一点，连接，交于点是的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分） 9. 已知线段的长度是线段长度的3倍，则的值是______． 10. 若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是_______． 11. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：转动两个转盘各一次，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，两种颜色在一起即可配成紫色，那么配得紫色的概率是______． 12. 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是_______s． 13. 如图，某湿地公园生态观光区是一个长、宽的矩形，内部开辟了一条“H”形的景观步道栈桥（步道找桥的宽都相等），剩余2块区域的面积共．设步道找桥的宽为，则可列方程为________． 14. 如图，在中，，，为上一点（D不与，重合），过点分别作和的平行线，交于点，交于点，过点作的平行线，交于点，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③当时，四边形矩形； ④当时，平分． 正确是______（填写序号）． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：正方形，使点在直线上，且． 四、解答题（本大题共9道小题，共74分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 青岛-崂山是首批国家重点风景名胜区，有着海上“第一名山”之称．小明和小华所在的兴趣小组以“循历史纵深，探山海之魂”为主题开展综合实践活动，拟定了“A：水资源”“B：动植物种类”“C：矿产资源”三个研究主题，并将A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀，小组成员通过抽取卡片确定其各自的研究主题． （1）小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片的概率是______； （2）小明先随机抽取一张卡片，记下字母后背面朝上放回并洗匀，小华再随机抽取一张，请用画树状图或列表方法求两人抽到的卡片中有C卡片的概率． 18. 如图，由点确定的的面积为4，求的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值． 20. 如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和，两线相交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 21. “秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？ 22. 如图，在中，，，，为边上一点（点与点不重合），，且，连接，． （1）EC与之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若，则四边形的面积为_______． 23. 【问题提出】如图①，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，求的值． 【方法探究】解：如图②，连接，交于点， ， ． ， ∴△ADE∽△ABC． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：，即的值是_______． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：，即的值是_______，所以的值是_______． 【自主探究】如图③，在中，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 【结论归纳】如图④，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 24. 如图①，在菱形中，对角线与相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）如图②，PO的延长线与相交于点，连接．当时，求的值； （3）如图②，当时，是否存在某一时刻，使得的面积是菱形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）如图③，为的中点，与相交于点，当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青岛市初中毕业年级学业质量监测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题和解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）在每个胚给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵菱形 ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 2. 下列图形一定相似的是（　　） A. 两个三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个边数相等的正多边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，掌握相似图形大小不同是解题的关键． 相似图形需对应角相等且对应边成比例．两个三角形、矩形或菱形不一定同时满足这两个条件，而两个边数相等的正多边形一定满足，因此一定相似，据此即可解答． 【详解】解：A．两个三角形的对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； B．两个矩形的对应角相等（均为直角），但对应边不一定成比例，故不一定相似，即不符合题意； C．两个菱形的对应边成比例（因各边相等），但对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； D．两个边数相等的正多边形的对应角相等（因内角相同）且对应边成比例（因边长可缩放），故一定相似，即符合题意． 故选D． 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 4. 体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40个的概率约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体概率，灵活运用样本估计总体概率的方法解决实际问题是解题的关键． 先用样本频率估计总体概率，样本中垫球超过40个的频率即为概率的估计值． 【详解】解：∵ 样本容量为50，其中垫球超过40个的人数为35， ∴ 样本频率为， ∴ 估计从总体中任意抽取一名学生垫球超过40个的概率约为． 故选C． 5. 2022年以来，我国快递市场规模持续增长，快递业着力提升服务水平，加快推动智能化、绿色化、国际化发展，高效支撑线上消费活力释放．我国2022年的快递业务量约为1106亿件，经过两年发展，2024年的快递业务量约为1751亿件．设我国这两年快递业务量的年均增长率为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 根据年均增长率的定义，从2022年到2024年经过两年增长，2024年业务量等于2022年业务量乘以的平方，据此列出方程即可． 【详解】解：设年均增长率为x， ∵ 2022年业务量为1106亿件， ∴经过一年增长，2023年业务量，再经过一年增长，2024年业务量为1106． 又∵ 2024年业务量约为1751亿件， ∴． 故选A． 6. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点是延长线上一点，且，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．先根据矩形性质求出，，进而求出，得到，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴相等且互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 8. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点，为边上一点，连接，交于点是的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 作的中点P，连接，得到，推导出，，， 则，，推导出，得到，，则，推导出，即可解答． 【详解】解：作的中点P，连接，如图 ∴， 在正方形中， ，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴． 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分） 9. 已知线段的长度是线段长度的3倍，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的定义，理解题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 设线段的长度为x，则线段的长度为，然后根据比例的定义求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x，则线段的长度为， ， 即的值是3． 故答案为：． 10. 若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是_______． 【答案】0或4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个数为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个数为，则根据题意得． 移项得， 提取公因式得， 所以或． 故答案为：0或4． 11. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：转动两个转盘各一次，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，两种颜色在一起即可配成紫色，那么配得紫色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后确定所有等可能结果数和配成紫色的结果数，最后运用概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，第二个转盘中蓝色部分面积是红色部分面积的4倍． 由题意画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中配成紫色的结果有5种，则配得紫色的概率是． 故答案为：． 12. 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是_______s． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，解一元二次方程．把代入关系式，得到关于的一元二次方程，解方程并取正值解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故这辆汽车行驶需要的时间是． 故答案为：10． 13. 如图，某湿地公园生态观光区是一个长、宽的矩形，内部开辟了一条“H”形的景观步道栈桥（步道找桥的宽都相等），剩余2块区域的面积共．设步道找桥的宽为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽度为，可得出剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，再根据剩余田地的面积为，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设步道找桥的宽为，则剩余区域部分可合成长为，宽为的矩形， 由剩余2块区域的面积共，则可列方程为：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，为上一点（D不与，重合），过点分别作和的平行线，交于点，交于点，过点作的平行线，交于点，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当时，平分． 正确的是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查平行线间线段成比例，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，角平分线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线间线段成比例，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，角平分线的判定等知识，逐个分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故①正确， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故②正确； ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形不是矩形， 故③错误； 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：①②④． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：正方形，使点在直线上，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图--垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，作线段等于已知线段，掌握知识点是解题的关键． 先作出交于点C，再作出垂直平分线段，以O为圆心，线段为半径作圆，与的交点即为B，D． 【详解】解：作图，如图 ∴正方形，使点在直线上，且． 理由如下： ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ 四、解答题（本大题共9道小题，共74分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、直接开平方法是解题的关键． （1）对于方程，采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解； （2）对于方程，利用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴，． 17. 青岛-崂山是首批国家重点风景名胜区，有着海上“第一名山”之称．小明和小华所在的兴趣小组以“循历史纵深，探山海之魂”为主题开展综合实践活动，拟定了“A：水资源”“B：动植物种类”“C：矿产资源”三个研究主题，并将A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀，小组成员通过抽取卡片确定其各自的研究主题． （1）小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片的概率是______； （2）小明先随机抽取一张卡片，记下字母后背面朝上放回并洗匀，小华再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人抽到的卡片中有C卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同， ∴小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人抽到的卡片中有C卡片的结果数有5种， ∴两人抽到的卡片中有C卡片的概率是． 18. 如图，由点确定的的面积为4，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中求三角形的面积，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由的面积为4，得到，代入求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， 即， ， 解得 或（不符合题意，舍去） 答：的值为4． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2）方程的另一个根为， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握基本知识点是解题的关键． （1）根据方程有两个相等的实数根，得到，即可求解； （2）设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求出，再由两根之积等于求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程根与系数的关系得到， 解得， 由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴． 20. 如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和，两线相交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，，求长． 【答案】（1）四边形是矩形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，易得四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质、矩形的性质证明是等边三角形，再说明，最后运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∴ ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. “秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？ 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，申请题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应多种x棵梨树，，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应多种x棵梨树，， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或40（不符合题意舍弃）． 答：应多种20棵梨树． 22. 如图，在中，，，，为边上一点（点与点不重合），，且，连接，． （1）EC与之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若，则四边形的面积为_______． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，推导出，可得到，则，即可解答． （2）先求出，得到，则，求出，，则，证明四边形是矩形，则，即可解答． 【小问1详解】 解：．理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 23. 【问题提出】如图①，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，求的值． 【方法探究】解：如图②，连接，交于点， ， ． ， ∴△ADE∽△ABC． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：，即的值是_______． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：，即的值是_______，所以的值是_______． 【自主探究】如图③，在中，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 【结论归纳】如图④，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 【答案】（方法探究），，1；（自主探究）4；（结论归纳）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （方法探究）如图②，连接，交于点，先证明可得，易得，再按照平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质以及线段的和差求解即可； （自主探究）方法同方法探究； （结论归纳）方法同方法探究． 【详解】解：（方法探究） 如图②，连接，交于点， ， ． ， ∴． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：，即的值是． ∴， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：，即的值是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的值是1． 故答案为：，，1． （自主探究） 如图③，连接，交于点， ∵， ． ， ∴． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：． ∴， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：4． (结论归纳) 如图④，连接，交于点， ∵， ． ， ∴． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：． ∴， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图①，在菱形中，对角线与相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）如图②，PO的延长线与相交于点，连接．当时，求的值； （3）如图②，当时，是否存在某一时刻，使得的面积是菱形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）如图③，为的中点，与相交于点，当与相似时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）由题意可得：，再根据等角对等边可得，据此列方程求解即可； （2）先运用菱形的性质证明可得、， 如图：过E作，再证明，由相似三角形的性质可得，进而得到再证明是等腰直角三角形可得，据此列方程求解即可； （3）由题意可得：，，再说明，进而得到方程求解即可； （4）由三角形中位线可得进而得到．再分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵菱形，对角线与相交于点，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 如图：过E作， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵在菱形中，对角线与相交于点，，， ∴， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴，解得：，解得：或， ∵， ∴． 【小问4详解】 解：∵， ∴是的中位线，是的中位线，， ∴， ∴． ①当时，， ∴，解得：； ②当时，， ∴，解得：或(不合题意舍去)． 综上，当或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $