精品解析：广东省广州市黄埔区2025-2026学年高三上学期期中教学质量监测数学试题

2025—2026学年第一学期期中教学质量监测 高三数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，则， 解得，所以， 且， 所以. 故选：D. 2. 已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以z的虚部是. 故选：A 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定即可得到答案． 【详解】命题“”的否定是“”． 故选：C． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 5. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明. 【详解】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算法则，指对互换即可得到结论. 【详解】, 所以，所以 故选：A 7. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的图象，可得，，进而可得，.将点代入，结合，即可得.令，则，所以方程在上有两个不相等的实数根等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线，数形结合即可求解. 【详解】根据函数的部分图象，可得，，∴，∴，∴. 由函数经过点，根据五点法作图可得，∴. 又，∴，. 令，则当时，， 所以方程在上有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线如下图所示： 由图可知：方程在上有两个不相等的实数根时，则实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，则可将原不等式化为，再参变量分离后构造函数并结合导数研究其单调性后计算即可得. 【详解】因为函数满足，所以， 因为对，当时都有， 所以在上单调递增， 所以等价于， 即，， 即，，即， 令，则， 则当时，，仅当时取等号，即在上单调递增， 故，即， 则实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 定义域为的函数，且，则 B. 函数的最小值为1 C. 定义域为的函数满足，当时，，则 D. 定义域为的函数，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助代入计算可得A；借助同角三角函数基本关系与基本不等式计算可得B；借助赋值法计算可得C、D. 【详解】A：由，则，则，即， 有， 即，则对于任意恒成立，故， 故，故A正确； B：， 当且仅当时等号成立，故B正确； C：，故C错误. D：令，则，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的对称轴为 D. 若函数，则在上有6个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算可得A；结合平移性质计算可得，即可得B；利用正弦型函数对称轴计算可得C；计算出后，将的图象画出即可得D. 【详解】； 对A：依题意，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：由，令，， 解得，，故的对称轴为，故C正确； 对D： ， 令，则， 在直角坐标系中分别作出的图象如图所示， 观察可知，它们在上有6个交点， 即在上有6个零点，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导，根据有两个极值点可得，进而判断即可；对于B，根据导数的几何意义转化问题为与图象的交点个数，进而求解判断即可；对于C，由题意可得，化简得到，再结合可得到即可判断；对于D，由题意可得，根据导数的运算法则可得，，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即， 所以当时，必有两个极值点，故A正确； 对于B，，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，则， 整理得，即，令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， 而，令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使与图象有3个交点，则，故B正确； 对于C，由题意可得 ， 则， 又，则， 则，即，故C错误； 对于D，由题意可得， 则，， 同理， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为，，可得，， 所以. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式可得，根据完全平方和公式及同角三角函数的平方关系可得，将所求式子切化弦代入即可求解. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴. 故答案为：. 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由条件和余弦定理即可得角C，再由正弦定理和辅助角公式可得所求式子的最大值. 【详解】由，又， 所以，，且. 所以是钝角，且. 再由，得，，且. 所以 （其中） 所以，当且仅当，时，，取得最大值. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，进而结合周期公式求得，进而可得的解析式，再根据三角函数的性质求解单调递减区间； （2）转化问题为恰有3个不相等的实数根，进而结合正弦函数的图象求解即可. 【小问1详解】 由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. 【小问2详解】 因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 【答案】（1）答案见解析 （2）极大值极小值. 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，进而得到函数的单调性； （2）由（1）知若要有两个极值点，这两个极值点一定为.解法一：由两个极值点都在区间内，得到条件，解不等式即得答案，再利用（1）求出极值；解法二：由，得，对分类讨论，可得答案，再利用（1）求出极值. 【小问1详解】 当时，在上恒大于0，在上恒小于0，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒大于0，在上单调递增； 当时，在上恒大于0，在上恒小于0， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解法一：函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，则， 解得，则的取值范围. 的极大值，的极小值. 解法二：因为， ①当时，则解得； ②当时，在内不存在两个极值点，所以不符合； ③当时，，则无解. 则函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，的取值范围. 的极大值的极小值. 17. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . 【小问2详解】 由（1）得. 则 . 18. 设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. （1）求点轨迹方程. （2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可. 【小问1详解】 设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， 联立，得. 设，则，即， 则 ，为定值. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知，当且时，，即， 令，得， 因为，所以， 当时，，当时，， ， 以上不等式相加得 ，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）转化问题为对时恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可. 【小问1详解】 由，则， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 若对，有， 即为：对时恒成立， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价于， 即为恒成立， 设，则， 设，，则， 因为，所以， 所以在为减函数，则， 所以在为减函数，即， 所以，则的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中教学质量监测 高三数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 定义域为的函数，且，则 B. 函数的最小值为1 C. 定义域为的函数满足，当时，，则 D. 定义域为的函数，，则 10. 已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的对称轴为 D. 若函数，则在上有6个零点 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________． 13. 已知，则___________． 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 17. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 18. 设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. （1）求点轨迹方程. （2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $