3.2.2 双曲线的简单几何性质 过关检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（    ） A．2 B． C． D． 2．若双曲线的一个焦点为，则（    ）. A． B． C． D． 3．双曲线－y2＝1的离心率是（  ） A． B． C． D． 4．已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为 A．4 B．5 C． D．与点的位置有关 5．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．3 D． 6．已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（    ） A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．△的周长为30 D．点在椭圆上 三、填空题 9．若方程表示双曲线，则该双曲线的焦距为 ． 10．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 11．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 12．双曲线：的两条渐近线互相垂直，右焦点为. (1)直接写出两条渐近线方程及双曲线的离心率； (2)若右焦点到渐近线的距离为2，求. 13．已知双曲线的焦距为，是的一条渐近线． (1)求的方程； (2)直线与交于、两点，为坐标原点，动点满足，求点的轨迹方程． 14．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，且过点，的直线与轴交于点，若，求直线的方程． 解析 一、单选题 1．若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（    ） A．2 B． C． D． 答案：C 分析：根据条件可得点在直线上，即得. 解析：依题意得点在直线上，所以. 故选：C. 2．若双曲线的一个焦点为，则（    ）. A． B． C． D． 答案：B 分析：根据的关系计算可解． 解析：由双曲线性质：，，∴，． 故选：B． 3．双曲线－y2＝1的离心率是（  ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得、的值，进而由双曲线的几何性质可得的值，由离心率计算公式计算可得答案． 解析：根据题意，双曲线的标准方程为：，则其，， 故， 则其离心率； 故选：． 点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出、的值，属于基础题． 4．已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为 A．4 B．5 C． D．与点的位置有关 答案：C 解析：因双曲线的两条渐近线分别为，结合图形可知：点到这两条直线的距离分别是，，则， 又因为，所以，故选：C． 5．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．3 D． 答案：B 分析：易知渐近线的垂线方程为，求得垂足P的坐标，然后由的面积为求解. 解析：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，则直线l的方程为. 由，得 ,,，，即. 则的面积为， ∴，∴，∴. 故选：B 6．已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：设，，根据平面向量数量积的定义及余弦定理得到，再根据双曲线的定义即可得到，从而得解； 解析：设，， ，即， ， 可得，即，即，又即，又，即，所以， 即，即，可得，，即， 故选：． 二、多选题 7．已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（    ） A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 答案：BD 分析：将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，判断是否因改变而变化，即可得解. 解析：整理双曲线方程可得， 该双曲线焦距为：，离心率为：， 顶点坐标为和，渐近线方程为， 不因改变而变化的是离心率与渐近线方程. 故选：BD. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．△的周长为30 D．点在椭圆上 答案：BCD 分析：由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误. 解析：双曲线化为标准形式为，则，， ，故离心率，即A错误； 双曲线的渐近线方程为，即，即B正确； 由双曲线的定义知，， ，则，△的周长为，即C正确； 对于椭圆，有，，， ， 由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确， 故选：BCD. 三、填空题 9．若方程表示双曲线，则该双曲线的焦距为 ． 答案：2 分析：首先根据双曲线的定义求出的取值范围，即可得到、，从而求出，即可得解； 解析：因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以，，又，所以，所以双曲线的焦距为； 故答案为： 10．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为 ． 答案： 分析：设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率. 解析：    由题意可设：， 由得：，即； 由得：，即； ，，即， ，即，，解得：， 即双曲线的离心率为. 故答案为：. 点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得解。 四、解答题 11．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 分析：（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 解析：（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以，所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 12．双曲线：的两条渐近线互相垂直，右焦点为. (1)直接写出两条渐近线方程及双曲线的离心率； (2)若右焦点到渐近线的距离为2，求. 分析：（1）直接写出答案即可； （2）利用点到直线的距离公式求解即可. 解析：（1）双曲线：的两条渐近线互相垂直， 所以两条渐近线方程为，其离心率为 （2）因为右焦点到渐近线的距离为2， 所以，所以，所以 13．已知双曲线的焦距为，是的一条渐近线． (1)求的方程； (2)直线与交于、两点，为坐标原点，动点满足，求点的轨迹方程． 分析：（1）由双曲线的渐近线方程和关系列方程组可得； （2）直曲联立表示出韦达定理，再由向量坐标的线性运算可得. 解析：（1）由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）设点、、， 联立可得， 则，解得或， 所以，，则， 因为，即， 所以，点的轨迹方程为或． 14．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线上一点，且过点，的直线与轴交于点，若，求直线的方程． 分析：（1）根据给定条件，结合双曲线离心率公式求出标准方程. （2）设出直线的方程，求出点坐标，结合给定条件，利用向量坐标运算求出点的坐标，再代入双曲线方程求出直线的斜率得解. 解析：（1）依题意，设所求双曲线的标准方程为， 由离心率为2，得，则， 由焦点，得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设， 令，则，即，由，且共线， 得或，设点， 当时，，解得，则， 又点在双曲线上，则，解得； 当时，，解得，则， 于是，解得， 所以所求直线的方程为或.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $