3.2.3双曲线的有界性和离心率问题题型训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.3双曲线的有界性和离心率问题 培优题型1已知焦点三角形顶角求面积 1．点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设，，先根据的面积求出，再根据双曲线的定义结合勾股定理求出的关系，再结合离心率公式即可得解. 【详解】设，， 则，① 又因为，所以，② 得，所以， 又因为的面积是9， 所以，所以． 又因为双曲线的离心率， 所以，，所以，所以． 故选：D. 2．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 4．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 5．已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得，即可求面积. 【详解】设，则， 而 ，且， 所以， 故， 故选：D. 6．点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（      ） A．4 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】双曲线的离心率是 ， 的面积 在 中，由勾股定理可得 故选 B． 【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义是解题的关键． 7．设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是 A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】试题分析：由双曲线的方程可知, 由双曲线的定义可得,,. ,解得. ,即.故A正确. 考点：双曲线的简单几何性质. 8．已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为 A．(1,3] B．[3，＋∞) C．(0,3) D．(0,3] 【答案】A 【详解】根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则m－n＝2a，m2＝8an， ∴m2－4mn＋4n2＝0， ∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a， 依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，当且仅当P，F1，F2三点共线时等号成立， ∴2c≤4a＋2a， ∴e＝≤3，又e＞1， ∴1＜e≤3， 即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．选A． 9．已知是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】根据双曲线焦点三角形面积公式可知， . 点睛：双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点与两焦点距离的绝对值（其中 ）与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形的问题.灵活运用双曲线定义进行解题，注意知识点间的联系，考查学生的综合运用能力. 培优题型2双曲线有界性的有关应用 10．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 11．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 12．已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，根据|PF1|＝4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式．根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围． 【详解】设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a， ∴ex+a＝4（ex﹣a），化简得e＝， ∵p在双曲线的右支上， ∴x≥a， ∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为. 故选A． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 13．已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，可得或，且有，求得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，进而求解. 【详解】设点，则或，且有，可得， 则，， 所以， 令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. 当时，函数单调递减，此时； 当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为. 因此，的最小值是. 故选：B. 14．设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解. 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 15．已知双曲线的左、右焦点分别为点、，在双曲线的右支上有一点，使得，则此双曲线的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据,结合双曲线定义得,利用焦半径范围列不等式求解. 【详解】因为 故，又点在双曲线的右支上， 设半焦距为则， 故离心率.则此双曲线的离心率的最大值为. 故答案为：. 16．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值. 【答案】 【分析】设，利用点在双曲线上和两点间的距离公式可得，再根据的范围可得答案. 【详解】设，则有，， ， 当P在双曲线右支时，因为，所以， 所以的最小值为； 当P在双曲线左支时，因为，所以， 因此，的最小值为， 综上所述：的最小值为；    17．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的性质求解； （2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解. 【详解】（1）双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. 18．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)-4 【分析】（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可； （2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值. 【详解】（1）依题又， 所以，，故双曲线的方程为. （2）由已知得，，设， 于是，， 因此， 由于，所以当时，取得最小值，为. 培优题型3求双曲线的离心率 19．已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 20．已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线为，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由两条渐近线均与圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径，从而得到双曲线C的离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，即， 因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径， 即，故双曲线C的离心率. 故选：C. 21．若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 22．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线方程结合两直线垂直斜率关系得到，再由离心率的齐次式计算可得. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率 ． 故选：B． 23．双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 24．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】写出双曲线渐近线方程并代入点坐标，得出，即可求得离心率. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为， 点在上，代入可得， 所以离心率为. 故选：A 25．过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离求出，再由三角形面积公式求出面积，解方程得出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设， 因为点在双曲线上，所以，即， 因为双曲线的两条渐近线的方程为， 所以， 设渐近线的倾斜角为， 此时，易知， 因为，所以， 所以的面积， 解得，则双曲线的离心率. 故选：A 26．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率． 【详解】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即， 即，所以. 故选：A.    27．已知离心率为的双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而计算可求得双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 结合已知可得，所以，所以， 即，所以双曲线的离心率. 故选：D. 28．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，为锐角，依题意可得，，再由，得到，又，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而求出，最后求出离心率即可． 【详解】 设，为锐角， 因为，，所以， ，，又， ， ， ， ， ， ，（负值舍去），， ，， 双曲线的离心率为． 故选：A． 29．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 30．已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设双曲线的方程，将点代入方程得到，再根据题目信息得到渐近线倾斜角为或，对两种情况分别讨论即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将点代入方程得，①. 因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或. 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得， 则，所以离心率； 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得，无解. 综上所述，的离心率为. 故选：C. 31．已知双曲线的左焦点为，虚轴的上、下端点分别为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量运算，求得等量关系，转化为关系，即可求得离心率. 【详解】根据题意，作图如下： ，即，也即， 故，解得，则，也即的离心率为. 故选：A. 32．已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线标准方程得出渐近线，再由渐近线与轴夹角即可求出，然后利用双曲线中的关系式，即可求出离心率. 【详解】由题知，双曲线方程为， 则渐近线为， 因为渐近线与轴的夹角为， 所以，即， 又，所以，. 故选：C 33．已知双曲线：（，），、分别为左、右焦点，点在双曲线上，，到左焦点的距离是到右焦点的距离的3倍，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意结合双曲线的定义和离心率运算求解即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 由题意可知：，则， 可得， 因为，则，即，整理得， 所以双曲线的离心率是. 故选：B. 34．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】 根据双曲线的性质结合等腰三角形的角度关系求解即可； 【详解】 如图所示，由题意可知，， 又因为若是的中点，, 所以, 所以 根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为： ，， 所以 因为， 所以 故选：B. 35．经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，设，则，利用二倍角的正切公式求出的值，计算出、，由可求得的值. 【详解】如下图所示：    设，则， 则， 双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为， 因为，则，故， 由勾股定理可得， 因为，整理可得， 又因为，解得. 故选：D. 36．已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，    由解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 37．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，且该双曲线与圆在第二象限的交点为点P，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先得到⊥，由正切值得到，结合双曲线定义得到，由勾股定理得到方程，求出离心率. 【详解】因为，所以是以原点为圆心，为半径的圆，故⊥， 因为，所以，即， 由双曲线定义得，即， 由勾股定理得，即， 解得. 双曲线的离心率为. 故选：C 38．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合余弦定理列式计算即得. 【详解】设，则，，由双曲线定义得， 在中，由余弦定理得， 解得，因此，令双曲线的半焦距为c， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 39．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形， 设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即：， 所以，即. 故选：D. 40．双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 根据题意列出方程，利用点在双曲线上进行消元化简得，易求离心率. 【详解】 如图，，设 ，则直线，的斜率分别为： 因，故有，则 ， 于是， ．故. 故选:B． 培优题型4求双曲线离心率的取值范围 41．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双曲线没有交点得到不等式，最后根据双曲线的离心率求得范围； 【详解】易知渐近线方程为， 因为，所以． 又l与C没有交点，所以，则，所以． 故选：C. 42．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为椭圆双曲线共焦点问题，利用椭圆和双曲线的定义，求出离心率之间的关系解题. 【详解】由题意可得，， 两式相减得， 所以，即， 所以， 令，则，， 且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 故答案为：D 43．已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 44．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， 依题意，， 而椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 因此， 由，得，∴， ∴，∴. 即. 故选：D 45．已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案. 【详解】不妨设椭圆：，双曲线：， 与的离心率分别为，， 由椭圆的定义，有：，由，故， 由双曲线的定义，有：，故， 因此，两边同时除以，有，故， 由于，故， 所以， 不妨令，， 所以原式等于，在时，单调递减，故. 故选：D. 46．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 47．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 48．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围. 【详解】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点， 根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.    因为的垂直平分线经过点，所以， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为， 由椭圆的定义得，所以； 由双曲线的定义得，所以. 所以，所以， 所以. 所以， 又，所以，， 由函数在单调递减，可得， 所以， 所以. 故选：B. 49．已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，由可得，据此可得答案. 【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式， 得点到直线的距离，点到直线的距离. 因，则. 由 ,则. 故选：C． 50．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 51．双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出未知点的坐标，根据圆的性质可得轨迹方程，联立方程解得坐标，由题意建立不等式，结合离心率的定义，可得答案. 【详解】设，因为， 则点的轨迹方程为以为直径的圆， 又中点为，， 所以点的轨迹方程为． 联立，得， 分解因式可得， 解得（舍去），，由题意知点在双曲线的右支上，即， 故，化简得，因为，所以. 故选：D． 52．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线焦点到渐近线的距离，得出的表达式，再根据题中不等关系得到、的齐次式，转化为关于离心率的不等式，进而得到离心率的范围. 【详解】焦点到渐近线即的距离， 所以， 因为，即， 所以.解得，即， 又因为双曲线中，所以. 故选：C 53．已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为 【答案】 【分析】设，确定中点，由其在渐近线上得到点P在直线上，再由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】因为双曲线的右焦点为,则,即, 且双曲线C的渐近线方程为, 设为圆上一点,且圆心为,半径, 则的中点在其渐近线上,可得, 即,所以点P在直线上, 因为圆心到直线的距离， 因为圆M上存在点P满足条件,所以直线与圆M有公共点, 所以,即,可得,可得,所以, 又因为双曲线的离心率,所以, 所以双曲线C的离心率的取值范围为. 故答案为： 54．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论. 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案为：.    55．双曲线的右顶点为，在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率取值范围是 . 【答案】 【分析】设出点，取的中点，易知是的中垂线，写出直线的方程，代入点，化简得，由的范围列出不等式，即可得解. 【详解】 设，易知，则的中点，取的中点， 分别为的中点， 垂直平分，则为中垂线的横截距. ， ，代入点，得， 则， 又因为点在双曲线上，即，易得， 故 ， 即， 又，， 所以，所以. 故答案为：. 56．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得，又根据中垂线的性质，可得，进而可求得，代入所求代数式，结合双曲线离心率的性质和不等式，即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为， 根据椭圆定义，可得①， 根据双曲线定义，可得，又，所以②， 联立①②，可求得， 又线段的中垂线过，所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 又根据双曲线的性质，可得，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为： 57．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是 ，的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 58．已知双曲线，点在上，、在的渐近线上，且，面积的取值范围为，其中为坐标原点，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，先根据列出关系式，求出的表达式，然后将其代入双曲线方程中化简得到，然后列出三角形面积的表达式，根据其范围求出双曲线离心率的范围即可. 【详解】由双曲线方程可知焦点在轴上，渐近线方程为. 因为，所以点在不同的渐近线上， 设，，则有 . 那么，解得， 因为点在双曲线上，所以满足. 化简得. . 因为，所以. 所以有，化简得. 所以双曲线的离心率为，而， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：.    59．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率绝对值小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故答案为： 60．设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】先设直线方程再联立方程结合数量积公式应用韦达定理再应用齐次式得出离心率范围即可. 【详解】由题意知，所以，得到，， 设，，直线的斜率不为零，设其方程为，代入， 得， 由韦达定理，得 则 . 由于，两点均在的右支上，故. 所以，又恒为锐角，所以恒成立，即， 所以对恒成立.因为， 所以当时，，所以， 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以，即. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.3双曲线的有界性和离心率问题 培优题型1已知焦点三角形顶角求面积 1．点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 5．已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 6．点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（      ） A．4 B．7 C．6 D．5 7．设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是 A．1 B． C．2 D． 8．已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为 A．(1,3] B．[3，＋∞) C．(0,3) D．(0,3] 9．已知是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积为 ． 培优题型2双曲线有界性的有关应用 10．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 11．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 12．已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为 A． B． C．2 D． 13．已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 14．设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 15．已知双曲线的左、右焦点分别为点、，在双曲线的右支上有一点，使得，则此双曲线的离心率的最大值为 . 16．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值. 17．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 18．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 培优题型3求双曲线的离心率 19．已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（    ） A． B． C． D．2 20．已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 21．若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 22．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 23．双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 24．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D． 25．过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 26．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 27．已知离心率为的双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 28．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．或 31．已知双曲线的左焦点为，虚轴的上、下端点分别为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．或 B． C． D． 33．已知双曲线：（，），、分别为左、右焦点，点在双曲线上，，到左焦点的距离是到右焦点的距离的3倍，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 34．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 35．经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 36．已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 37．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，且该双曲线与圆在第二象限的交点为点P，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 38．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 39．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（    ） A．5 B． C．2 D． 培优题型4求双曲线离心率的取值范围 41．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 44．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 49．已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为 54．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 55．双曲线的右顶点为，在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率取值范围是 . 56．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 57．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是 ，的离心率的取值范围是 . 58．已知双曲线，点在上，、在的渐近线上，且，面积的取值范围为，其中为坐标原点，则的离心率的取值范围为 . 59．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是 . 60．设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $