精品解析：广西壮族自治区贵港市泽桂未来教共体2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量联测数学试题

“泽桂未来教共体”2025年11月高二教学质量联测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意判断直线与圆的位置关系，进而可得中的元素个数. 【详解】集合的元素是直线上的点，集合的元素是圆上的点， 因为的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 可知直线与圆相交，有2个公共点， 所以中的元素个数为2. 故选：C 2. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案. 【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c， 则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能， 小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能， 所以小李不能获得奖品的概率. 故选：B 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条平行直线的距离公式计算即可. 【详解】直线的方程化为，则与间的距离 . 故选：D. 4. 著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（ ） A. B. C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知双曲线的一条渐近线方程为，再利用过点即可求解. 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得， 设双曲线的方程为， 将代入计算可得，解得， 所以该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为． 故选：A. 5. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 7. 已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，， 则，，. 因为A，B两点在双曲线C上， 所以， 所以， 则， 即， 故双曲线C的渐近线方程是. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线中的中点弦问题，其方法是点差法，需要熟练掌握. 8. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算及两圆的位置关系计算即可. 【详解】设，则， 因为，所以，即M在半径为2的圆上， 又点M在半径为1的圆上，， 所以两圆有公共点，则， 解不等式得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据的众数大于中位数 B. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 C. 甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 D. 数据的第70百分位数是21 【答案】BC 【解析】 【分析】由众数的定义及中位数的求法判断A，根据随机抽样的概率的求法求概率判断B，利用分层抽样等比例性质求样本容量判断C，应用百分位数的求法判断D. 【详解】A：众数为3，中位数为，错误； B：根据简单随机抽样定义知，个体被抽到的概率是，正确； C：设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为18，正确； D：数据已从小到大排列，因为，则其第70百分位数是23，错误. 故选：BC 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 11. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，故，所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，而，故，即，整理得到， 所以的面积，故B错误； 对于C，易知圆的方程为，联立， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； 对于D，因为，在中，由余弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解． 【详解】由题得，， 所以直线的倾斜角为， 故答案为：． 13. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 14. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解． 【详解】 点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小： （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，利用三角函数恒等式整理化简方程，可得答案. （2）根据余弦定理建立方程，结合三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得， 由，则， 可得， 由，即，则，即， 根据，解得. 【小问2详解】 根据余弦定理可得， 由，，，则，解得， 所以的面积. 17. 如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且. （1）若点是线段中点，证明：； （2）当三棱锥体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形所在的平面可证明平面，由点是线段的中点，取的中点，则可证明平面，最终证明； （2）由体积关系得，建立空间坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接、， 点是线段的中点， 四边形是矩形，①. 平面，， 又，，平面， ，② 由①②及得平面， . 【小问2详解】 因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直. 分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 由已知可得，即， 得，，， 设平面的法向量为， 则，即， 得，取，得，所以， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为. ①证明：； ②求外接圆圆心的轨迹方程. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用圆的几何性质定位圆心位置，再借助两点间距离来求参数，即可得圆的方程； （2）①利用直线与圆联立方程组，借助斜率来证明两个角相等， ②利用解析法来计算两中垂线的直线方程，然后通过消参法来得到圆心轨迹方程. 【小问1详解】 由变形得：，可知该圆心为，半径为， 所以圆心在过与的直线上，即在直线上， 有因为圆过和，所以设圆心， 则有，解得， 所以圆心，半径易知为2. 故圆 【小问2详解】 ①证明：（1）当直线斜率为0时，此时， 又因为，所以三点共线，此时可得，都为零度角； （2）当直线斜率不为0时，设 联立得，则. . 所以，故. ②当直线斜率为0时，不能构成三角形， 故直线斜率不为0，所以可设直线的方程为： 由①知中点所以中垂线：， 化简得又因为是圆与的交点， 所以， 所以中垂线：. 同理中垂线. 联立得： 故外接圆圆心得轨迹方程为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解； （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，并应用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知，所以， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线与曲线的两交点的坐标分别为 联立，可得， 所以， 所以弦长为 ， 化简得， 即，得，所以的值为. 【小问3详解】 设，直线的方程为， 联立得， 所以， 设点，因为，可得， 则，得，故， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “泽桂未来教共体”2025年11月高二教学质量联测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 2. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行直线与间距离为（ ） A. B. C. D. 4. 著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（ ） A. B. C. 10 D. 11 5. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 已知一组数据的众数大于中位数 B. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 C. 甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 D. 数据的第70百分位数是21 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 11. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_________． 13. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________. 14. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程. 16. 已知中，内角，，对边分别为，，，且． （1）求角的大小： （2）若，，求的面积． 17. 如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且. （1）若点是线段的中点，证明：； （2）当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为. ①证明：； ②求外接圆圆心的轨迹方程. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $