湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 长沙大学附属中学高二期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.已知集合或，，若，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 2.已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是( ) A． B． C． D． 3.如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则( ) A． B． C． D． 4.如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则( ) A． B． C． D． 5.复数z满足（i是虚数单位），则( ) A． B． C． D． 6.在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( ) A． B． C． D． 7.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 8.双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则( ) A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9.已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是( ) A． 正四面体内切球的半径为 B． 点可以为的重心 C． D． 面积的最小值为 10.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为则( ) A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的最大值为 11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为6，点是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是( ) A． B．若，则点到轴的距离为10 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.在空间直角坐标系中，若三点A（1，−1，a），B(2，a，0)，C(1，a，−2)满足：，则实数a的值为_________. 13.过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则_______. 14.已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为.点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点，则与的面积之比为_____. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 16.为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． （1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； （2）从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； （3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 17.如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为， (i)求二面角的正弦值； (ii)在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18.（2024安徽等地安师大附中·开学摸底）已知圆，过定点作与轴不重合的直线交曲线点C于两点. (1)过点作与直线垂直的直线交曲线C于、两点，求四边形面积的最大值； (2)设曲线C与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 19.已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 长沙大学附属中学高二期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.已知集合或，，若，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 2.已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数上在上单调递增，且当时，， 因此，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解. 3.如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直，由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以，故． 故选：D． 4.如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为平行四边形中，是的中点，，， 所以 . 故选：D． 5.复数z满足（i是虚数单位），则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 故选：A. 【分析】根据复数的运算法则计算. 6.在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意有：， ， 所以， 故选：C． 7.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小， 此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为． 故选：C． 8.双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9.已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是( ) A． 正四面体内切球的半径为 B． 点可以为的重心 C． D． 面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】设为中点，为的中心，则面, 点到侧面，的距离之比为，在面内， 又正四面体的棱长为4，. 对于选项A，设内切圆的半径为，， 正确. 对于选项B，若点可以为的重心，则重合，则点到三个侧面的距离之比为，错误. 对于选项C，为正四面体，为中点，, 为的中心,面,面， 又面且， 面，面，正确. 对于选项D，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 设， 则， 设面的法向量为，则， 令，则 设面的法向量为，则， 令,则， 到面的距离； 到面的距离,，，，， 当时，，, 正确. 故选：ACD 10.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为则( ) A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】，，得． 对选项A，由余弦定理，得， 即成立，于是A正确； 对选项B， ，当且仅当时等式成立， 于是最大值为，故B正确； 对选项C，当时，，得， 于是为等腰直角三角形， 作线段BC的垂直平分线，与平面区域为的交点分别为D，E，F，G，如图所示， 易知，，于是，故C错误； 对选项D，，故D正确； 故选ABD． 11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为6，点是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是( ) A． B．若，则点到轴的距离为10 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，连接.选项，已知抛物线，抛物线上一点到焦点的距离为6.根据抛物线定义，抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，可得，解得，抛物线，A正确. 选项，因为点是的中点，则是梯形的中位线. 所以. 又，点到轴的距离为错误. 选项，抛物线，焦点，设. 因为是的中点，则. 根据抛物线定义正确. 选项，由抛物线定义. 当最大，即直线与抛物线相切时，取最小值. ，设直线，联立，消去得. 令，解得. 当直线为或时，取最小值，此时正确. 综上，答案选ACD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.在空间直角坐标系中，若三点A（1，−1，a），B(2，a，0)，C(1，a，−2)满足：，则实数a的值为_________. 【答案】 【解析】由题意， 所以， 解得. 故答案为： 13.过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则_______. 【答案】 【解析】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 14.已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为.点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点，则与的面积之比为_____. 【答案】 【解析】已知椭圆的两个顶点， 则， 又因为离心率， 所以， 则， 所以椭圆的方程为， 设， 因为点在椭圆上，所以， 直线的斜率， 则直线的方程为， 因为， 所以直线的斜率， 直线的方程为， 直线的斜率， 直线的方程为， 联立直线与直线的方程， 得. 因为与有相同的底边， 所以. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 【解析】（1） 由函数的最小正周期为，得，所以. （2）当时，， 由函数的图象在上存在对称轴，得，解得， 当时，， 由函数在上单调，得， ，整理得， 由，解得，则， 当时，；当时，；当时，， 又，所以实数的取值范围是. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的周期公式求解. （2）利用正弦函数的对称性及单调性质列式求出范围. 16.为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． （1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； （2）从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； （3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图可知平均分为：， 因为，前三个矩形面积之和为， 故第百分位数为，即入围分数线估计为分． （2）由题意知，所以. （3）设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”， 则，，，， 所以， 因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为． 17.如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为， (i)求二面角的正弦值； (ii)在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1） 连接，连接，因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面平面，所以平面． （2）(i)因为平面，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，， 又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以； (ii)设线段上是否存在点，且， 因为，，，，，， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以， 当时，平面，所以平面，所以当时，平面； 18.（2024安徽等地安师大附中·开学摸底）已知圆，过定点作与轴不重合的直线交曲线点C于两点. (1)过点作与直线垂直的直线交曲线C于、两点，求四边形面积的最大值； (2)设曲线C与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【解析】（1） 法一：令点到直线距离分别为，则， ， ， 当且仅时，取到最大值7； 法二：令，则， 当时，， 当且仅当时，取到最大值7， 当时， 综上，当时，取到最大值7； （2）不妨记，令， ， 恒成立，， ， ，所以点恒在定直线上. 19.已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【解析】（1）由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. （2）（i）记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $