北京市通州区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

通州区2025-2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 有最高点 D. 随的增大而增大 6. 根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C D. 8. 如图，正方形的边长是3．点是延长线上一点，延长至点，使，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为______． 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为______（结果保留根号）． 11. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 12. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是______． 13. （墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是______． 14. 抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 15. 如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 16. 已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是______． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18题7分；第19题4分；第20-22题每题5分；第23、24题每题6分；第25题4分；第26、27题每题7分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 18. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______． 19. 如图，在中，点在边上，，，，求的长．     20. 在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 21. 如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 22. 已知二次函数． （1）将化成的形式：___________； （2）补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … （3）若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 23. 某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． （1）当时，每件的利润是______，总利润为______． （2）若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； （3）销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 24. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，投球后，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）． （1）小雷同学想要研究自己的投篮情况：第一次投篮时，记录了篮球的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 0.4 0.8 1.5 2.0 2.4 3.2 41 …… 竖直高度 （保留两位小数） 2.10 2.83 3.43 4.16 4.43 4.50 4.23 3.30 …… 第一次的投篮轨迹近似满足函数关系，投篮的出手点高度为______，当篮球的水平距离为时，竖直高度为______； （2）已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小雷第二次的投篮轨迹近似满足函数关系，已知两次投篮只有一次投中，则______投中．（填写“第一次”或“第二次”）（参考数据如下：，） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上的一动点，且在直线上方．过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求长的最大值及此时点的坐标． 27. 在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． （1）如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； （2）如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 通州区2025-2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】①③④ 三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18题7分；第19题4分；第20-22题每题5分；第23、24题每题6分；第25题4分；第26、27题每题7分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】见解析 【18题答案】 【答案】（1）函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，； （2）画图见解析； （3）或． 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】旗杆的高是． 【21题答案】 【答案】证明见解析 【22题答案】 【答案】（1） （2）1，3，图象见解析 （3） 【23题答案】 【答案】（1）10元，4000元 （2）， （3）销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元 【24题答案】 【答案】（1）见解析 （2）． 【25题答案】 【答案】（1）， （2）第一次 【26题答案】 【答案】（1） （2）最大值为：，． 【27题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2），，证明见解析． 【28题答案】 【答案】（1）①，②，． （2）且 （3）或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $