精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期中练习卷

2025-2026学年第一学期初二练习卷 数学 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、单选题（每题2分，8小题，共16分） 1. 若分式的值是零，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值是零， ∴且， ∴， 故选：D． 2. 下列变形中是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的定义，分解因式是将多项式化为几个整式的积的形式，据此求解即可． 【详解】A选项右边为，含加法运算“”，不符合积的形式，不符合题意． B选项左边是乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非分解因式，不符合题意． C选项左边为单项式，分解为两个单项式的积，但分解因式针对的是多项式，故不符合题意． D选项左边为多项式，右边为两个整式的积，符合分解因式的定义， 故选D． 3. 对于下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形高的定义，由角平分线的性质可判断①；由三线合一定理可判断②；由线段垂直平分线的性质可判断③；任意三角形都有三条高，据此可判断④． 【详解】解：①角平分线上的点到角两边的距离相等，原说法正确； ②等腰三角形底边的高、中线、角平分线互相重合，原说法错误； ③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，原说法正确； ④直角三角形有三条高线，原说法错误． ∴说法正确的有①③，共2个， 故选：B． 4. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值是原来的（ ） A. 2倍 B. C. 4倍 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的性质，将原分式中的x和y均扩大2倍后，代入新分式并化简，比较与原分式的关系即可求解． 【详解】解：原分式为，将x和y均扩大2倍后，新分式为： ， 原分式的值为，则新分式的值为原分式的4倍， 因此，分式的值变为原来的4倍， 故选：C． 5. 如图，在中，为边的中点，于点，于点，交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，垂直平分，进而证明，得到，即可求解． 【详解】解：， ， 为边的中点，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案． 【详解】解： 平分，于点，于点， ，，，故B正确； ， ， ∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误； ， ，故A正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 7. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解． 【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得： 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则，  由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每题3分，8小题，共24分） 9. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，它的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形解答，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当第三边为时，，所以不能构成三角形； 当第三边为时，，所以能构成三角形， 则三角形周长为 故答案为：． 10. 若，则分式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，然后将代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 11. 若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于__________． 【答案】11或##或11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【详解】解：可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 12. 关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、分式有意义的条件，正确求解分式方程是解题关键． 先解分式方程得到的表达式，再根据解为负数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程，两边乘（注意），得， 即，解得， 由解为负数，得，即，解得， 又分母 ，即，代入，得，解得． 故答案为：且． 13. 如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义． 先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，平分交BC于点E，交的延长线于点D，交的延长线于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、， 根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又，， ， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③正确； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 三、解答题（10小题，60分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公因式法和公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法，注意最后一定要检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，时，，则是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，并从0，1，2中适一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】按照分式的混合运算顺序，先算括号内的，再算除法，能够因式分解，约分，要分解因式，约分即可化简，再选取合适的数代入求值． 【详解】解：原式 ∵a≠0，a﹣1≠0， ∴a≠0，a≠1， 当a＝2时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟悉掌握分式的混合运算顺序，以及分解因式，注意a的值，要使分式有意义． 20. 如图，在中，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，由三角形外角可得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由三角形外角的性质得：， ∴， ∴在中，由三角形内角和可得：，即， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多元，用元购买B型学习用品与用元购买A型学习用品的件数相同．求A，B两种学习用品的单价各是多少元？ 【答案】A、B两种学习用品的单价分别为元和元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键． 设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元， 依题意得，， 去分母得，， 移项合并得，， 系数化1得，， 经检验，是原分式方程的解，且合符题意， ∴（元） 答：A、B两种学习用品的单价分别为元和元． 22. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，根据货站P到两条公路、的距离相等可得出点在的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点在的垂直平分线上，由此作图即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，的平分线，它们的交点即为所求， 23. 如图，在四边形中，，E是对角线的中点，连接． （1）若，求的度数； （2）若点F是中点，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形内角和定理，等边对等角定理及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，再根据等边对等角得，结合三角形内角和可得即可； （2）根据题意利用可证即可求解． 【小问1详解】 ，E是对角线的中点， , ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）知， 又点F是中点， 所以， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 24. 如图，在中，，垂足为D，且．BE平分，且，垂足为E，交CD于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是通过证明两组全等三角形，实现线段的等量代换． 先证得，即；再证得，从而通过等量代换证得． 【详解】证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 25. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点， 在和中， ， 与为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初二练习卷 数学 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、单选题（每题2分，8小题，共16分） 1. 若分式的值是零，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变形中是分解因式的是（ ） A B. C. D. 3. 对于下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值是原来的（ ） A. 2倍 B. C. 4倍 D. 5. 如图，在中，为边的中点，于点，于点，交的延长线于点．若，则的长为（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 7. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，8小题，共24分） 9. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，它的周长为__________． 10. 若，则分式______． 11. 若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于__________． 12. 关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_________． 13. 如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是____________． 14. 如图，在中，，，点是边中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为______． 15. 如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为_________． 16. 如图，在中，，，平分交BC于点E，交的延长线于点D，交的延长线于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 三、解答题（10小题，60分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. 解下列方程 （1） （2） 19. 先化简，再求值：，并从0，1，2中适一个合适的数作为a的值代入求值． 20. 如图，在中，，．求的度数． 21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多元，用元购买B型学习用品与用元购买A型学习用品的件数相同．求A，B两种学习用品的单价各是多少元？ 22. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 23. 如图，在四边形中，，E是对角线的中点，连接． （1）若，求的度数； （2）若点F是中点，试判断与的位置关系，并说明理由． 24. 如图，在中，，垂足为D，且．BE平分，且，垂足为E，交CD于点F，求证：． 25. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． （1）求证：； （2）若，求的长 26. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $