精品解析：江苏省南京市联合体2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学情分析样题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 3. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 5. 将一组数据1，2，3，4，5增加一个数3，则新的一组数据的（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数不变，方差变大 6. 若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的根为______． 8. 平面内，若的半径为，，则点在______．(填“内”、“上”或“外”) 9. 已知是方程的两个实数根，则______，__________． 10. 某公司招聘考试分笔试和面试两部分，小明笔试成绩90分，面试成绩80分，若笔试和面试的成绩按计算，结果作为本次考试成绩，则小明的成绩为______分． 11. 某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为_______． 12. 如图，的半径为，圆心到的距离，则_____． 13. 已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是________（结果保留）． 14. 某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为________． 15. 如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，的度数为，则_______． 16. 如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 19. 从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽取5件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）： 甲：4，6，6，6，8； 乙：3，5，6，7，9． （1）分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数； （2）通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定． 20. 如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 21. 如图，用长的篱笆围一个面积为的矩形菜地，菜地一边靠墙（墙长为），求菜地的长和宽． 22. 如图，四边形内接于，．求证：． 23. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 24. 如图，是的外接圆，，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值时，方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为，若，求的值． 26. 如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． （1）如图（1），若是的直径，求证：． （2）如图（2），若不是的直径， ①求证：； ②若，则的半径为___________． 27. （1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学情分析样题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断． 【详解】A．中，只含未知数x，最高次项为，次数为2，且为整式方程，故此选项符合定义； B．中含有分式，不是整式方程，故此选项不符合定义； C．中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此选项不符合定义； D．中未知数次数为1，不是二次方程，故此选项不符合定义． 故选：A． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由可知：，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 4. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 5. 将一组数据1，2，3，4，5增加一个数3，则新的一组数据的（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数不变，方差变大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，从而做出判断． 【详解】解：∵原数据的平均数为， ∴方差为； ∵新数据的平均数为， ∴方差为 ∴新数据与原数据相比平均数不变，方差变小． 故选：C． 6. 若，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解： 解得，． 故答案为：，． 8. 平面内，若的半径为，，则点在______．(填“内”、“上”或“外”) 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小进行判断． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离， ， 故点在内． 故答案为：内． 9. 已知是方程的两个实数根，则______，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． 【详解】解：方程中，，，， 由根与系数的关系，得，． 故答案为：，． 10. 某公司招聘考试分笔试和面试两部分，小明笔试成绩90分，面试成绩80分，若笔试和面试的成绩按计算，结果作为本次考试成绩，则小明的成绩为______分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据加权平均数的计算方法，将笔试和面试成绩按给定权重比进行计算． 【详解】解：笔试成绩90分对应权重4，面试成绩80分对应权重6，总权重为． 小明的成绩为（分）． 故答案为：84． 11. 某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据药品原价和两次降价后的价格，利用平均每次降价的百分率x，根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药价为元，第二次降价后药价为元， 根据题意，得 ， 故答案为：． 12. 如图，的半径为，圆心到的距离，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据勾股定理求得，再根据垂径定理求解即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到的距离， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键． 根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长． 【详解】，扇形的面积为，半径为3， ∴ ∴ ∴这个扇形的弧长是． 故答案为：． 14. 某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数．根据众数为42，可知，再将所有数据按从小到大排序，由于数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均值，解答即可． 【详解】解：除了a，这组数据包含两个47，两个42， ∵这组数据的众数为42， ∴． 故数据从小到大排序后：42，42，42，44，46，47，47，48． ∵一共有8个数据， ∴中位数为第4和第5个数的平均值，即． 故答案为：45． 15. 如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，的度数为，则_______． 【答案】105 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据圆周角定理求得 ，，则，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为：105． 16. 如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质勾股定理等知识，证明是解答的关键． 连接、、、，根据弦、弧关系和等腰三角形的性质得到，结合圆内接四边形的性质推导出，证明得到，进而利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、、、，如图， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 【答案】方程的另一个根是，的值是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 19. 从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽取5件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）： 甲：4，6，6，6，8； 乙：3，5，6，7，9． （1）分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数； （2）通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定． 【答案】（1）甲厂产品使用寿命的平均数为6年，乙厂产品使用寿命的平均数为6年． （2）甲厂家的产品使用寿命比较稳定． 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的求法． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）分别计算甲、乙两个厂家产品使用寿命的方差，然后比较判断即可． 【小问1详解】 甲厂家产品使用寿命的平均数为， 乙厂家产品使用寿命的平均数为； 【小问2详解】 甲厂家产品使用寿命的方差为， 乙厂家产品使用寿命的方差为 ∵ ∴甲厂家的产品使用寿命比较稳定． 20. 如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 解：如图，点O即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-确定圆心，先任意画一条弦，作垂直这条弦的直径，再作这条直径的垂直平分线与直径的交点即为圆心，此题还涉及垂径定理的推论． 【详解】解：作图：任意画一条弦，作的垂直平分线得到直径，再作直径的垂直平分线交于O，则点O为直径的中点，即为此圆的圆心． 21. 如图，用长的篱笆围一个面积为的矩形菜地，菜地一边靠墙（墙长为），求菜地的长和宽． 【答案】长为、宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设菜地靠墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜地的面积是的矩形，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设菜地靠墙一边的长为，则平行墙一边的长为， 根据题意得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：菜地的长为、宽为． 22. 如图，四边形内接于，．求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接， ， ， ， ． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆周角之间的关系，平行线的判定与性质、圆内接四边形的性质，连接，可证明，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的判定可得，则，结合圆内接四边形的对角互补和补角性质可证明结论． 【详解】略 23. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】70元或80元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是利用已知条件建立等式关系，列出方程求解． 设这种服装每件售价是元，利用等量关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这种服装每件售价是元． 由题意，得， ， 解得，， 答：这种服装每件售价是元或80元． 24. 如图，是的外接圆，，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于H，连接、，则， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，又是的半径， ∴为的切线； （2）的半径为5 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键． （1）连接并延长交于H，连接、，先证明为线段的垂直平分线得到，，根据平行线的性质可得，然后根据切线的判定可得结论； （2）设，先在中，利用勾股定理求解，再在中，利用勾股定理列方程求得r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， 则， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为5． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值时，方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】（1） 解：∵ ∴不论取何值时，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可求解； （2）首先求出方程的解为或，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ 解得或 ∵ ∴或 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． （1）如图（1），若是的直径，求证：． （2）如图（2），若不是的直径， ①求证：； ②若，则的半径为___________． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2） ①过O作于G，则， ∵， ∴，则， 过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，如图（2）， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，欲证与相等，先证、关系，再证明即可； （2）①过O作于G，先证明，过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，证明四边形、四边形是矩形得到，，，证明得到，进而可得结论； ②连接，设，利用垂径定理和勾股定理求解x值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图（2），连接， 设, ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，又， ∴，解得， ∴，则， 即该圆的半径为． 27. （1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 【答案】 （1）证明：设交于点E，连接，则， ∵， ∴； （2）如图，作等边，作外接圆O，设与的交点为，，则，故点，即为所求作： （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的外角性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质和圆周角定理画图即可； （3）在图（2）的基础上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，再根据（1）中结论可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，由（2）中作图痕迹，得，，， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则； 中，，， ∴，， 由勾股定理得， ∴，则； 过O作于G，连接，则，， 在中，，， ∴，； 在中，，， ∴，则， ∴， ， 由（1）知，当点C在内部时，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的尺规作图及其性质、尺规作三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出图形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $