第7章 第52课时 认识证明（2）（高效课堂）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

数学·八年级·上册（北师大版） 第52课时 认识证明(2) 新课标：了解公理与定理的含义。 新课学 1.《原本》中将数学名词称为原名，公认的真命题称为 2.演绎推理的过程称为 ,经过证明的真命题称为 3.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 知识点1定理与公理的含义 例1下面关于公理和定理的联系的说法不正确 变式1 下列语句，是定理的为 ,是 的是 ( ) 公理的为 ,是定义的为 (填序号)。 A.公理和定理都是真命题 ①若a=b,b=c,则a=c;②对顶角相等；③全等 B.公理就是定理，定理也是公理 三角形的对应边相等，对应角相等；④有一个角 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 是直角的三角形叫作直角三角形；⑤两条平行直 D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 线被第三条直线所截，同位角相等。 知识点2证明 变式2下列各项：①公理；②已学定理；③定 例2能作为证明依据的是 ( ) 义；④等量代换；⑤不等式性质；⑥度量结果； A.已知条件 B.定义及基本事实 ⑦已知条件，⑧正确的观察结果；⑨猜测结果，其 C.定理及推论 D.以上三项都对 中，可以作为推理依据的是 (填 序号)。 例3（教材P185例改编）请补充完整证明步骤： 变式3 请将下面内容补充完整： 如图，直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC 与∠BOD是对顶角。求证：∠AOC=∠BOD。 D 2 D A 已知：如图，∠1=∠2。求证：AB∥CD。 分析：如图，欲证AB∥CD,只要证∠1 证明：.直线AB与直线CD相交于点O, 证明：∠1=∠2（已知）， ∴.∠AOB和∠COD都是平角( )。 又∠3=∠2( ∴.∠AOC和∠BOD都是 的补角（补 .∠1= 角的定义)。 .AB∥CD( ∴.∠AOC=∠BOD( ●>108 第七章命题与证明 课堂检 基础训练 2.如图，过点A画直线1的平行线，能画1条，依 1.下列命题是公理的是 据是： A.内错角相等，两直线平行 B.对顶角相等 C.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 D.三角形任意两边之和大于第三边 3.斑马线的作用是为了引导 4.在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山 行人安全地通过马路。某 相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将 数学兴趣小组为了验证斑 铁路线取直，这样做的数学道理是 马线是由若干条平行线组 成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分 别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的 基本事实是 能力训练 5.如图，点D,E在△ABC的边BC上，连接6.如图，已知AB⊥BC,AE⊥BE,CD⊥BE,垂 AD,AE。给出三个等式：①AB=AC;②AD 足分别为B,E,D,AB=BC。求证：BE=CD。 =AE;③BD=CE。以这三个等式中的两个 作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构 成三个命题： a.①②→③；b.①③→②；c.②③→①。 (1)以上三个命题是真命题的为 (填字 母)； (2)请选择一个真命题进行证明（先写出所选 命题，然后证明)。 ●>109参考答案 第48课时哪个团队收益大 第七章 命题与证明 【新课学习】 8080两个年级学生的平均成绩相同 第50课时 为什么要证明 66.633八年级学生成绩的波动较小 【新课学习】 七年级学生成绩的中位数与八年级的相差不大，但七年级的学 证明 生成绩明显比八年级的波动大 【例1】D【变式1】D【例2】=【变式2】一样大 【例1】解：由题图可知，两人测试成绩的中位数差距不大，小张 【例3】解：不正确。 测试成绩的波动比小李大。 理由如下：当n=7时，n2一6n=7, 【变式1】解：由题图可知，机器人和人工测试成绩的中位数差距 结果是一个正数，不是负数，所以小明的猜想不正确 不大，机器人的成绩比较稳定，人工的成绩波动较大。 【变式3】解：假设a=3,b=2,则a×b=3×2=6, 【课堂检测】 而a十b=3+2=5, 1.解：由箱线图可知，A箱砂糖桔直径和B箱砂糖桔直径均在 因为6≠5， 4cm~5cm之间，符合一级果外观要求，选择A箱砂糖桔更 所以不是对于任意数a与b,都有结论a×b=a+b。 好，依据是直径波动不大，大小更均匀。 【课堂检测】 2.解：(1)列表： 1.C2.(1)错误(2)正确(3)错误(4)错误3.白 型平均数 最小值 最大值 4.a①c 方差 号 /min /min /min /min /min /min 5.解：(1)10×16-9×17=7（答案不唯一）框数略。 A 31 9.4 25 30 30.5 33 36 (2)设方框中左上角的数为n,则 (n+1)(n+7)-n(n+8)=7; B31.214.56 25 28 31.5 32 38 (3)左边=(n十1)(n+7)一n(n+8)=m+8n+7-n-8n=7, 画箱线图如答图。 右边=7，即(n+1)(n+7)-n(n十8)=7。 续航时间/min 口A型号 口B型号 40 第51课时认识证明(1) 38 56 34 【新课学习】 30 1.定义2.判断一件事情条件结论条件结论 24 3.正确不正确4.条件结论反例 22 20 【例1】D【变式1】③ 答图 【例2】B (2)由(1)中表格可知，两种型号无人飞行器的飞行续航时间 【变式2】解：(2)是命题；(1)(3)(4)不是命题。 的平均数相差不大，A型号的方差小于B型号，说明A型号 【例3】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 无人飞行器的飞行续航时间的波动较小。 【变式3】(1)两直线平行同位角相等 由箱线图可知，两种型号无人飞行器的飞行续航时间的中位 (2)AB⊥CD,垂足是O∠AOC=90 数相差不大，B型号无人飞行器的飞行续航时间的波动比 【例4】D【变式4】B A型号大。 【课堂检测】 第49课时 章末复习 1.B2.C 3.如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【知识体系构建】 ①和②个数③权④西十必十…十工巡 4.假两个角都是90°5.④⑤ ⑤最中间 1十+…十wn 6.解：(1)3①(-1)=3-(-1)+3×(-1)=3+1一3=1； ⑥中位数⑦最多⑧平方和⑨平均数⑩平方 (2)(-4)①x=6,则-4-x-4x=6,解得x=-2; ①1[(x-)+(x-)+…+(x。-)门®越大 (3)这种特别的运算“①”不具有交换律， 例如：2①5=2-5+2×5=7,5①2=5一2十5×2=13， ⑧算术平方根四p%位置⑤四分位数⑥整体分布情况 所以2⊕5≠5④2， 【高频考点精练·体验中考】 所以这种特别的运算“①”不具有交换律。 1.B2.C3.894.55.85.86.①② 【易错二次闯关】 第52课时认识证明(2)》 1.B2.80.903.(1)252486.4°(2)15.51616 【新课学习】 4.解：由箱线图可知，甲、乙试验田麦穗长度的中位数相差不 1.公理2.证明定理 大，但乙试验田的麦穗长度波动较小，所以乙试验田里的大 【例1】B【变式1】②③⑤①④ 麦整体生长情况更整齐。 【例2】D【变式2】①②③④⑤⑦ 19 数学八年级上册（北师大版） 【例3】平角的定义∠AOD同角的补角相等 4.45 【变式3】∠3对顶角相等∠3等量代换 5.证明：DE平分∠BDC,∴.∠BDC=2∠1， 同位角相等，两直线平行 ,BE平分∠ABD,∴.∠ABD=2∠2， 【课堂检测】 ∴.∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）， 1.C :∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC-180°，.AB∥CD。 2.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 第54课时平行线的证明(2)》 3.同位角相等，两直线平行 【新课学习】 4.两点之间线段最短 相等相等互补∠1=∠2∠1=∠2∠1+∠2=180° 5.解：(1)abc 【例1】50°50°【变式1】65°28° (2)(答案不唯一)选择b,证明： AB=AC,∴∠B=∠C, 【例2】解：∠2和∠1是对顶角，∠2=∠1=60°， .a∥b,.∠3=∠2=60°，∠5=∠4=110°。 (AB=AC, 【变式2】解：：AB∥CD,∠BEF=∠EFC=80°，∠1=∠3， 在△ABD和△ACE中，∠B=∠C, BD=CE, 由折叠可得∠2=∠3，∠3=名∠BEF=40, .△ABD≌△ACE(SAS),.AD=AE. .∠1=∠3=40°。 6.证明：AB⊥BC,AE⊥BE,CD⊥BE, 【例3】解：：AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴.∠E=∠CDB=∠ABC=90°。 ∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-63°=117°。 ∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBD=90°. 【变式3】解：：CD∥AB,∴.∠B+∠BCD=180°， ∴∠A=∠CBD。 '∠BCD=∠ACB+∠ACD=125°， I∠AEB=∠BDC, .∠B=180°-∠BCD=180°-125°=55°。 在△ABE和△BCD中，∠A=∠CBD, 【课堂检测】 AB=BC, 1.35°2.130 .△ABE≌△BCD(AAS)。.BE=CD. 3.解：CD∥AB,.∠A+∠ACD=180°，∠1=∠FCD, 第53课时平行线的证明(1) ∠A=50°，∠ACD=130°， 【新课学习】 :CF平分∠ACD,∠FCD=7×130=65, 相等相等互补∠1=∠2∠1+∠2=180° .∠1=65°。 【例1】解：：∠2=136°，∴.∠AED=180°-∠2=44°， 4.50°5.55 ∠1=44°，∴.∠1=∠AED,.BC∥DF。 6.证明：，AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点E, 【变式1】证明：：∠1=60°，∠B=60°，∠1=∠B, ∠ADB=∠FEC=90°， .AD∥BC。 ,∠BDG=∠C,∠2+∠BDG=90°，∠1+∠C=90°， 【例2】对顶角相等∠D内错角相等，两直线平行 .∠1=∠2。 【变式2】证明：.CA平分∠BCD,.∠ACD=∠BCA, ∠A=∠BCA,∴∠A=∠ACD,∴AB∥CD。 第55课时章末复习 【例3】已知对顶角相等等量代换∠3十∠2=180 【知识体系构建】 同旁内角互补，两直线平行 ①判断②条件③结论④假命题⑤条件⑥结论 【变式3】解：(1)∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°， ⑦相等⑧相等⑨互补⑩平行①相等。@相等 ∴∠ABD=126, ③互补 :BC平分∠ABD,∠2=号X126°=63 【高频考点精练·体验中考】 1.B2.D3.A4.B5.109°6.92°7.30°8.120° (2)BC平分∠ABD,∴∠2=∠ABC. 【易错二次闯关】 :∠1+∠2=180°，∠1=∠BCE, 1.C2.A3.120°4.30° ∴.∠BCE+∠ABC=180°，∴.AB∥CD。 5.解：，AB∥CD,∠ADC=120°，∴.∠DAB=180°-∠ADC=60°， 【课堂检测】 ∠DAE=10°，.∠EAB=∠DAB-∠DAE=50°， 1.B2.③ 3.证明：AB=AC,.∠ACB=∠B, :AF平分∠BAE,∴∠FAB=号∠EAB=25, CB平分∠ACD,∴.∠ACB=∠BCD, AB∥EF,∴∠AFE=∠FAB=25°， ∠B=∠BCD,.AB∥CD。 .∠AFE的度数为25°。 20