精品解析：四川省雅安神州天立高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

四川省雅安神州天立高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I卷和第II卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.26 C. 0.56 D. 0.74 2. 圆心为，且过的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，则直线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 4. 在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是 A. B. C. D. 5. 设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为,若,则与所成的角为( ) A. B. C. D. 6. 已知l，m为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m至少与中一个平行 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 设，若直线与线段AB有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 圆的圆心为 C. 圆的半径为5 D. 圆被轴截得的弦长为6 10. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在上的投影向量的坐标为 11. 如图，正四棱台中，其中，，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与面ABCD所成角的大小为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 以A为球心，1为半径作一个球，则该球球面与正四棱台表面相交的交线长为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过，则该直线过定点_______． 13. 如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且面ABCD，E为棱PD上一动点，满足.若二面角的平面角的正切值为，当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下面各小题： （1）若，求的值； （2）直线与直线平行，求的值； （3）的倾斜角是在轴上的截距是，求直线的方程. 16. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 17. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 18. 在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点. （1）求证：平面ACF； （2）求证：； （3）若，求三棱锥的体积. 19. 孟德尔在观察豌豆杂交时发现了以下规律：豌豆的各种性状是由其遗传因子决定的. 以子叶颜色为例，豌豆的子叶分黄、绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状. 我们用表示子叶为黄色的豌豆的遗传因子对，用表示子叶为绿色的豌豆的遗传因子对. 当这两种豌豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率随机组合，子一代的遗传因子对全部为，如图所示，其中为显性遗传因子，为隐性遗传因子. 当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状. 例如：均指示黄色子叶，指示绿色子叶. 我们称以上定律为孟德尔定律. （1）若仅考虑子叶颜色，在子一代豌豆间进行相互交配得到存在不同遗传因子的子二代豌豆，继续在子二代豌豆中将含有相同遗传因子对的豌豆（如与）进行交配得到子三代豌豆，求子三代豌豆中子叶颜色为绿色的概率. （2）已知人的单、双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为或；单眼皮是隐性性状，记其遗传因子对为. 若仅考虑眼皮性状，已知你的祖父、祖母和母亲的遗传因子对均为: （ⅰ）在你是双眼皮的条件下，求父亲是单眼皮的概率； （ⅱ）祖父和祖母育有伯父、父亲、叔父和姑母三子一女，除父亲外，其余三人均与单眼皮配偶婚配并各育有一子，求你及你的三代以内父系亲属（如图）中双眼皮人数的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省雅安神州天立高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I卷和第II卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.26 C. 0.56 D. 0.74 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解． 【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得： 至少有两人排队的概率为： ． 故选：D． 【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题． 2. 圆心为，且过的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆的半径，再直接写出方程作答. 【详解】因圆的圆心为，且过，则圆的半径， 所以所求圆的方程为：. 故选：C 3. 已知点，，则直线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式以及定义即可求出． 【详解】因为，设直线的倾斜角是，所以且， ． 故选：B． 4. 在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中点坐标公式求得点坐标，从而得到，求解即为结果. 【详解】由题意知：中点为 本题正确选项： 【点睛】本题考查向量模长的坐标运算，属于基础题. 5. 设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为,若,则与所成的角为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角和线面角的关系求解即可. 【详解】∵, ∴与的法向量所在直线所成锐角为, ∴与所成的角为. 故选:C. 6. 已知l，m为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m至少与中一个平行 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面，面面间位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，由线面平行的性质可得若，，则m至少与，中一个平行，故A正确； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则，故C错误； 对于D，若，，，则或相交，故D错误. 故选：A. 7. 设，若直线与线段AB有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将求的取值范围转化为过定点与线段上的点的连线的斜率问题，数形结合可得结果. 【详解】由得，， 因此直线过定点，且斜率. 如图所示，当直线由直线PB按逆时针方向旋转到直线PA的位置时，符合题意. 易得. 结合图形知，或，解得或. 故选：C. 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系： 则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 圆的圆心为 C. 圆的半径为5 D. 圆被轴截得的弦长为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程，可得出圆的圆心、半径，可知AC正确，令，求出值，进而可求出圆被轴截得的弦长，即可选出答案. 【详解】圆，故圆心为，半径为，则AC正确，B错误； 令，得，解得或，即圆被轴截得的弦长为6，即D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查弦长，考查学生对基础知识的掌握. 10. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算判断线面的平行垂直关系，可判断A、B、C选项；利用投影向量的计算公式计算可判断D选项. 【详解】因为，所以或，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； 因为，则不成立，所以与为相交直线或异面直线，所以C正确； 在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：BC. 11. 如图，正四棱台中，其中，，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与面ABCD所成角的大小为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 以A为球心，1为半径作一个球，则该球球面与正四棱台表面相交的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过反证法，利用面面平行的性质得到矛盾，即可判断A；找到线面所成角，利用题设中数据计算即可判断B；通过构造平行关系，将异面直线与所成角转化为相交直线所成角，利用余弦定理解三角形可解即可判断C；球面与正四棱台表面相交的交线长为三段半径为1弧长，求得圆心角利用弧长公式计算即可判断D. 【详解】对于A，由正四棱台得，，∥， 令，，若平面平面， 则∥，所以四边形是平行四边形，则，∴，显然不成立，故A不正确； 对于B，正四棱台中，，，则过作，垂足为， 则即为直线与面ABCD的所成角，,， 所以，所以.故B正确； 对于C，过作，垂足为，取的中点，过分别作∥，∥，则为异面直线与所成角. 则，,，，， 所以，. 在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得 故C正确； 对于D，以A为球心，1为半径作一个球，则该球球面与正四棱台的面、、的交线是半径为，圆心角分别为的三段弧， 所以交线长即为.故D正确 故选：BCD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过，则该直线过定点_______． 【答案】 【解析】 【分析】将直线化为，即可确定定点坐标. 【详解】由可化为，即直线恒过点. 故答案为： 13. 如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接两圆圆心，并延长，与直线交于点，再根据两圆外切及三角形相似求解即可. 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且面ABCD，E为棱PD上一动点，满足.若二面角的平面角的正切值为，当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立恰当的空间直角坐标系,根据题意求得点P的坐标,根据直线与平面所成角的向量求法求得PC与平面ACE所成角的正弦值. 【详解】记,取PC中点，连接，又平面ABCD，所以平面ABCD， 又，所以以为原点，OB，OC，OH所在直线为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，底面ABCD为菱形，且， 设则，设， 则， . 设平面PBC的一个法向量为， 则，令，所以， 又因为平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由，得 ，解得. 因为，所以，设， 所以 所以， 设平面ACE的一个法向量为， 则,所以所以,令，则. 所以，所以. 所以PC与平面ACE所成角的正弦值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下面各小题： （1）若，求的值； （2）直线与直线平行，求的值； （3）的倾斜角是在轴上的截距是，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，求得； （2）根据两直线平行的充要条件求的值； （3）利用倾斜角求得直线的斜率，根据直线的点斜式方程求得直线的方程.. 【小问1详解】 已知和. 将两式相加得，则. 将两式相减得，则. 因此，. 【小问2详解】 若，则，且， 解得或. 【小问3详解】 直线的倾斜角为，则其斜率为倾斜角的正切值，即. 由于， 因此斜率. 由直线在轴上的截距为，得直线过点. 所以直线的点斜式方程为：，即. 16. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 17. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 【答案】（1） （2）平均数为，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，的值； （2）直接根据平均数及方差的定义求解即可； （3）先求得抽样比例，可得在区间和内抽取的人数，从而利用古典概型公式求解即可． 【小问1详解】 因为个体在区间内的频率是， 所以频数； 在内的频率是， 所以频数. 【小问2详解】 平均数为， 方差. 【小问3详解】 由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 所以在区间和内抽取的人数各为和， 分别记这人为、、、、和、，则事件的总体是 ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， 其中共有个基本事件， 记所求的事件为，则中包含的基本事件为： ，，，，，，，，，共个， 所以． 18. 在四棱锥中，底面是正方形，AC与BD交于点O，底面，F为BE的中点. （1）求证：平面ACF； （2）求证：； （3）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）如图所示，连接. 由四边形是正方形可知，点O为的中点， 又F为的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）由底面，底面， ∴， ∵四边形是正方形，∴， 又，平面， ∴平面. 又平面，∴. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行证线面平行即可； （2）利用线线垂直证线面垂直再证线线垂直即可； （3）根据三棱锥的体积公式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点，连接，在四棱锥中，底面， ∵是的中位线，∴， ∴底面. ∵， 则，. ∴. 19. 孟德尔在观察豌豆杂交时发现了以下规律：豌豆的各种性状是由其遗传因子决定的. 以子叶颜色为例，豌豆的子叶分黄、绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状. 我们用表示子叶为黄色的豌豆的遗传因子对，用表示子叶为绿色的豌豆的遗传因子对. 当这两种豌豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率随机组合，子一代的遗传因子对全部为，如图所示，其中为显性遗传因子，为隐性遗传因子. 当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状. 例如：均指示黄色子叶，指示绿色子叶. 我们称以上定律为孟德尔定律. （1）若仅考虑子叶颜色，在子一代豌豆间进行相互交配得到存在不同遗传因子的子二代豌豆，继续在子二代豌豆中将含有相同遗传因子对的豌豆（如与）进行交配得到子三代豌豆，求子三代豌豆中子叶颜色为绿色的概率. （2）已知人的单、双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为或；单眼皮是隐性性状，记其遗传因子对为. 若仅考虑眼皮性状，已知你的祖父、祖母和母亲的遗传因子对均为: （ⅰ）在你是双眼皮的条件下，求父亲是单眼皮的概率； （ⅱ）祖父和祖母育有伯父、父亲、叔父和姑母三子一女，除父亲外，其余三人均与单眼皮配偶婚配并各育有一子，求你及你的三代以内父系亲属（如图）中双眼皮人数的数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定子一、二代豌豆的遗传因子对的比例，根据与交配得到的子三代豌豆的遗传因子对全部为，即可求解； （2）（i）由全概率公式及条件概率公式即可求解；（ii）确定你及你的三代以内父系亲属的遗传因子对为双、单眼皮的概率和双眼皮人数的可能取值，结合独立事件的乘法公式计算对应的概率，求出数学期望即可. 【小问1详解】 子一代豌豆的遗传因子对全部为，它们相互交配，产生的配子有和，比例为. 子二代豌豆的遗传因子对有，比例为. 含有相同遗传因子对的豌豆（如与）进行交配，即与交配， 得到的子三代豌豆的遗传因子对全部为，子叶颜色为黄色， 得到的子三代豌豆的遗传因子对全部为，子叶颜色为绿色， 得到的子三代豌豆的遗传因子对全部为，子叶颜色为绿色的概率为， 所以子三代豌豆中子叶颜色为绿色的概率为； 【小问2详解】 （i）已知祖父、祖母和母亲的遗传因子对均为，父亲的遗传因子对可能为或或，设为事件，则， 设我是双眼皮为事件B，则， 所以, 所以； （ii）祖父和祖母两人都是双眼皮； 第一代（祖父和祖母）是双眼皮的期望为 伯父、父亲、叔父和姑母是双眼皮的概率都是； 第二代（伯父、父亲、叔父和姑母）是双眼皮的期望为； 由题意知，祖父和祖母的遗传因子对均为， 父亲的遗传因子对可能为或. 伯父、叔父和姑母的遗传因子对也可能为或， 所以你及你的三代以内父系亲属的遗传因子对可能为、、，概率分别为. 父亲为，孩子为双眼皮的概率为； 父亲为，孩子为双眼皮的概率为； 父亲为，孩子为双眼皮的概率为， 父亲为，孩子为双眼皮的概率为； 所以你是双眼皮的概率为， 同理可得伯父、叔父、姑母的孩子是双眼皮的概率都是， 所以第三代双眼皮的人数的概率为 ， ， ， ， 则， 综上，你及你的三代以内父系亲属中双眼皮的人数的数学期望为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查以生物遗传学背景下的概率与统计相关的数学知识，其中第（2）问中的（ii），确定你及你的三代以内父系亲属的遗传因子对为双眼皮和单眼皮的概率，结合独立事件的乘法公式计算是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $