3.1勾股定理的探究 讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦勾股定理的探究，衔接三角形三边关系旧知，通过问题导入、面积探索、拼图验证等学习支架，引导学生理解直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的核心内容，掌握常见勾股数及定理应用基础。 该资料以问题链驱动探究，借助方格纸面积计算与拼图活动培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），结合梯子靠墙、旗杆断裂等实例强化模型意识（数学语言），课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾练习以弥补知识盲点。

朗道成就梦想 办学宗旨：以人为本 成就师生 服务社会 教育改变人生 办学理念：注重思维训练 培养科学精神 3.1勾股定理的探究 一、学习目标 1、能说出勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2、能用勾股定理理解决问题 二、新课导入 (1)．提出问题 1．我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长3和4，你知道第三边长的范围吗？ 2． 如果又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？ 3．已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？ ( 3 4 x ) (2)．探索新知 1．我们曾经利用图形面积探索过平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式． 2．为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积．你是如何得到的？如何计算SR？ 3.观察图形，我们分别以直角三角形ABC的三边为边向形外作三个正方形．若将图形①②③④⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？ ( （ 图2） ) 4．给出直角边为6和8的直角三角形（图9中每个小正方形边长为2），计算分别以三边作为边所作的正方形面积． （图9） 5.通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？ (3)总结归纳：勾股定理 直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”. 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来. 定义：如果直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为，那么. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 注： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于。 常见勾股数如下： 3,4,5 6,8,10 9,12,15 12,16,20 15,20,25 5,12,13 7,24,25 9,40,41 10,24,26 8,15,17 验证：①如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？ ( a a b b c c A D E C B ) ②观察下图，分别以△ABC和△DEF的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？△ABC和△DEF，它们是直角三角形吗？ ( A　 B　 C　 D　 E　 F　 ) ③.剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形．大正方形的面积可以表示为_______，又可以表示为__________________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的方法. 三、典例精讲 例1、在中，. （1）若，，则 . （2）若，，则 . （3）若，：：，则 ， . 例2、如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有(   ) A．0个      B．1个      C．2个      D．3个 例3、如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15,于D，求AD的长. 例4、张大爷家屋前9米远A处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米B处折断倒下（如图所示），量得倒下部分的BC长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．那大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答． 四．课堂练习 1.一根旗杆于离地面12处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部16，旗杆在断裂之前高_______. 2．如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h. ( h 2.5 1.5 ) 3.如图1所示，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm， 求 ：①AD的长； ②ΔABC的面积． 4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．94 5．如图，由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为 ． 5题 7题 9题 6.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（　　） A.2m B.3m C.4m D.5m 7.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（　　） A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米 8.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（   ） A.100cm B.50cm C.140cm D.80cm 9.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（   ） A、3cm2 B、4cm2 C、5cm2 D、6cm2 10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2 ， 则S1+S2等于________． 10题 11题 12题 11.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为400厘米2，则x的长为________厘米． 12.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________． ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $