第02讲 勾股定理的逆定理（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第02讲 勾股定理的逆定理 知识点1：勾股数 知识点2：勾股定理的逆定理 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1勾股树(数)问题】 【典例1】下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【变式1】下列哪组数是勾股数（   ） A． B．5，12，13 C．4，5，6 D． 【变式2】下列各组数中，勾股数是（   ） A．5，12，13 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，16 【变式3】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．7，8，10 C．8，15，17 D．8，24，25 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 【典例2】下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成钝角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．3、3、5 C．4、4、5 D．3、4、4 【变式1】以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B． C． D．7，24，25 【变式2】如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度比可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【题型3在网格中判断直角三角形】 【典例3】如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【变式1】如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 【变式2】如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．    (1)建立平面直角坐标系，使点A的坐标为______，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______； (2)判断的形状，并说明理由 【变式3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【变式1】如图，，，，，，该图形的面积等于多少？ 【变式2】如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 一、单选题 1．已知a，b，c为的三边长，在下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若的三边满足，则的最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 二、填空题 6．若是的高,，则的长为 ． 7．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 8．如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 三、解答题 9．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由； (2)求四边形的面积． 10．如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 11．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 勾股定理的逆定理 知识点1：勾股数 知识点2：勾股定理的逆定理 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1勾股树(数)问题】 【典例1】下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列哪组数是勾股数（   ） A． B．5，12，13 C．4，5，6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为都不是正整数，所以不是勾股数； 、因为，且都是正整数，所以是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为都不是正整数，所以不是勾股数． 故选：B． 【变式2】下列各组数中，勾股数是（   ） A．5，12，13 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； B．∵1，1，中不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； C．∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D．∵， ∴8，15，16，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式3】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．7，8，10 C．8，15，17 D．8，24，25 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键． 判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 、，能构成直角三角形，且都是正整数，故符合题意； 、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 【典例2】下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成钝角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．3、3、5 C．4、4、5 D．3、4、4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类，勾股定理逆定理，根据最长边的平方大于两条较短边的平方和时，三角形为钝角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，三角形为直角三角形，不符合题意； B、，三角形为钝角三角形，符合题意； C、，三角形为锐角三角形，不符合题意； D、，三角形为锐角三角形，不符合题意； 故选B． 【变式1】以下列数据为边长，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B． C． D．7，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果一个三角形满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．逐项判断两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，根据勾股定理逆定理即可作出判断． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式2】如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度比可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式3】已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质以及勾股定理的逆定理，解题关键是根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解： ， ，，， ，， ，， ，， ，即 三角形的形状是直角三角形， 故选：D． 【题型3在网格中判断直角三角形】 【典例3】如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为 (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得，   ； （2）解：是直角，理由如下， 由勾股定理得，   ， ∵， ∴是直角． 【变式1】如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据三角形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式2】如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．    (1)建立平面直角坐标系，使点A的坐标为______，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______； (2)判断的形状，并说明理由 【答案】(1)， (2)是直角三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查直角坐标系，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用： （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标即可； （2）根据网格信息利用勾股定理求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图，    点A的坐标为：，点C的坐标为：， 故答案为：，； （2）由勾股定理得： ，， ∴ ∴是直角三角形，且． 【变式3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）运用分割法解答即可； （3）连接，根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）∵每个小正方形的边长都为1， ∴， （2） （3）连接，    ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且为斜边， ∴． 【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题的关键是通过勾股定理求出的长度，再利用逆定理判断 的形状，进而计算四边形的面积． （1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）是直角三角形． 理由：， ， ， 是直角三角形． （2）由（1）可知，， ． 【变式1】如图，，，，，，该图形的面积等于多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 【变式2】如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 一、单选题 1．已知a，b，c为的三边长，在下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识点，掌握勾股定理的逆定理最关键． 通过计算三角形三边的平方关系，即可逐项判断三角形是否为直角三角形的问题． 【详解】解：A、由可得是直角三角形，不符合题意； B、由可得，此时，无法构成三角形，符合题意； C、假设，由可得是直角三角形，不符合题意； D、由可得，是直角三角形，不符合题意． 故选：B ． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．根据该定义即可得解． 【详解】解：选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，是勾股数，符合题意，选项正确； 选项，、不是正整数，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误． 故选：． 3．若的三边满足，则的最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，设，，，可得，推出是直角三角形，可得最大内角的度数为． 【详解】解： ， 设，，， ，， ， 是直角三角形， 的最大内角的度数为， 故选C． 4．三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 5．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故选：B． 二、填空题 6．若是的高,，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再利用直角三角形面积的两种表示方法列等式求高． 先计算与的和等于，可判断的形状为直角三角形，再分别用两直角边和斜边与斜边上的高表示三角形面积，通过面积相等列等式求解． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形，且． 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 7．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 8．如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 三、解答题 9．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）解：是直角，理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角； （2）解： ． 10．如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 【答案】(1)； (2). 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 利用勾股定理即可求出的长度； 由可知，又因为，，可得：，利用勾股定理的逆定理可知，由，，可知，由角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ； （2）解： ，， ， ，， 由可知， ， 是直角三角形，， ． 11．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形田地的面积为，代入计算即可． （2）过点作于点．由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 在中，由勾股定理，得， （负值已舍去）． ， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为 ； （2）解：如图，过点作于点． 由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度． ， ， ， 解得， 这条水渠的最短长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $