3.1勾股定理的探究（二）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学《3.1勾股定理的探究（二）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法、总统法、青朱出入图法的证明原理，能清晰阐述四种方法的核心思路。 2.掌握 “ 面积相等 ” 的证明逻辑，体会勾股定理背后数形结合的数学思想。 3.感受勾股定理的历史文化价值，提升几何图形分析与代数推理转化能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点：借助面积割补原理，理解四种经典方法对勾股定理的证明过程。 2.难点： （1）实现几何图形分割/拼接与代数表达式之间的转化； （2）深化对 “ 数形结合 ” 思想的理解。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 勾股定理的内容是：直角三角形两条______的平方和等于______的平方，用符号语言表示为在Rt △ ABC中， ∠ C=90 ° ，则______。 【 答案 】 ：直角边；斜边；a ² +b ² =c ² 2. 勾股定理的证明多基于______相等的原理，通过分割或拼接图形，用不同方式表示同一图形的面积来推导结论。 【 答案 】 ：面积 3. 我国东汉末至三国时代的数学家______最早用 “ 弦图 ” 完成了勾股定理的证明，美国第20任总统______提出了利用梯形面积的证明方法。 【 答案 】 ：赵爽；加菲尔德 4. 毕达哥拉斯的证明思路是将4个全等直角三角形拼成边长为______的大正方形，通过大正方形面积的两种表达形式建立等式。 【 答案 】 ：a+b 5. 青朱出入图由魏晋时期数学家刘徽所创，核心是通过______术，将 “ 朱方 ”“ 青方 ” 分割拼接后形成 “ 弦方 ” 。 【 答案 】 ：割补 ) 四．课堂探秘 【温故知新】 1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，则 a2 + b2 = c2 3.思考勾股定理适用的条件，明确只适用于直角三角形，且揭示了直角三角形三边的数量关系。非直角三角形不满足此关系。 勾股定理是一个基本的几何定理，中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 （一）赵爽弦图法 1.历史背景：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 2.探究赵爽弦图的思路与方法 3.原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 4.图形构成：由4个全等的直角三角形（直角边a、b，斜边c）围成一个边长为c的大正方形，中间内嵌一个边长为(b-a)的小正方形。 5.证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b)2，大正方形面积为c2，可得2ab+(a - b)2=c2，化简后得到2a+b2=c2，从而证明了勾股定理。 c2＝ab×4＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2. （二）毕达哥拉斯的证明 1.毕达哥拉斯证明勾股定理的核心是利用面积相等原理，通过拼接4个全等直角三角形构造大正方形，从“整体”和“部分”两个角度表示大正方形面积，建立等式推导得出结论。 2.构造图形：取4个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），将它们的直角顶点向外，拼成一个边长为(a+b)的大正方形，大正方形内部会形成一个边长为c的小正方形（由4个直角三角形的斜边围成）。 3.证明：由于图形面积不变，因此得出a² + b² = c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c2＝(a＋b)2－ab×4＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2. 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为“毕达哥拉斯定理”。 （三）总统法（加菲尔德证法） 1.美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 2.构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 3.证明：计算梯形面积：梯形面积公式为：S梯形= (a + b)(a + b)。 计算三个三角形的总面积：2 ×ab+c2 = ab+c2。 梯形面积等于三个三角形面积之和，(a + b)(a + b)=ab+c2 a² + b² = c² （四）方法四：青朱出入图（无字的证明） 1.历史背景：“青朱出入法”是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的“出入相补”（即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 2.图形构成：以勾为边长作“朱方”，以股为边长作“青方”，将两正方形按特定方式排列后分割，分割出的“青出”“朱出”部分可拼接成以弦为边长的“弦方”。 3.证明：依据“出入相补、以盈补虚”原理，朱方面积（a²）+ 青方面积（b²）= 弦方面积（c²），通过全等图形的平移、旋转实现面积转化，直观验证勾股定理，无需文字推导。 【小结】：勾股定理的证明分两种 第一种类型等面积 两算法：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型无字证明：以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。 （五）经典例题 例1.赵爽弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，则ab的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】：B 【解析】：由题意得c²=25，(b-a)²=1。根据赵爽弦图面积关系：c²=4×(1/2ab)+(b-a)²，代入得25=2ab+1，解得2ab=24，ab=12。 例2.用青朱出入图法证明勾股定理时，若以直角边a=5、b=12为边的正方形面积和为S，则以斜边c为边的正方形面积为______。 【答案】：169 【解析】：青朱出入图法的核心是“朱方面积+青方面积=弦方面积”，S=5²+12²=25+144=169，故斜边正方形面积为169。 例3.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b, AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 解：因为S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2, S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2, 所以ab+c2=a2+ab+b2, 整理得a2+b2=c2. 例4.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°, BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 【解析】S△ABC=BC·AC=ab,S△ACD=AC·DE=b2,S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ab+b2,因为∠ ACB=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°,在△ABC和△DAE中,所以△ABC≌△DAE,所以∠ABC=∠DAE,所以∠BAC+∠DAE=90°,即∠BAD=90°,因为∠ACB=∠DEA=90°,所以DE⊥AC,AC⊥BC,因为DF⊥BF,所以四边形CEDF是矩形,所以DF=CE=AC-AE=b-a,所以S△ABD=AB·AD=c2,S△BCD=BC·DF=×a×(b-a)=ab-a2,S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+ab-a2,所以ab+b2=c2+ab-a2,所以a2+b2=c2. 例5.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 【解析】(1)设AB=x米,因为AB+AC=16米,所以AC=(16-x)米,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=8米,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6. 答:旗杆在离底部6米的位置断裂. (2) 如图,过点B作BD⊥AC于点D,则=AC·BD=AB·BC,所以AC·BD=AB·BC,由(1)可知,AC=16-6=10(米),所以BD=4.8(米).答:点B到AC的距离为4.8米. 五．课堂检测 （一）选择题 1.如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ） A．13 B．169 C．12 D．5 【答案】A 【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又∵AC2=144，BC2=25， ∴AB2=25+144=169，∴AB==13．故选：A． 2．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．C、利用A中结论，本选项不符合题意．D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，故选：B． 3．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【解析】一个直角三角形的面积为．故选：C． 4.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 【答案】B 【解析】由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，则S2＝AC2＝12，故选：B． 5.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 【答案】C 【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C． 6.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 【答案】C 【解析】依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C． （二）填空题 7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 【答案】9π． 【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3， ∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案为：9π． 8．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】甲出的结果为：，不符合题意；乙得出的结果为：，即，符合题意；故答案为：乙． 9.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 【答案】81 【解析】两个阴影正方形的面积和为152-122=81，故答案为81. 10.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ 【答案】16 【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+ ∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16． （三）解答题 11.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a2+b2=c2. 解：∵大正方形的面积为c2,一个直角三角形的面积为ab,小正方形的面积为(b-a)2, ∴c2=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2, 即a2+b2=c2. 12.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ……， （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度； （4）你能计算出的值吗？ 解：（1）； ； ； ……，由此规律得； （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （3）是直角边为1的等腰直角三角形的斜边长，是直角边分别为1、的直角三角形的斜边长，是直角边分别为1、的直角三角形的斜边长，……；据此规律，是直角边分别为1、的直角三角形的斜边长，如图，线段的长度就是， （4） 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.赵爽弦图由______个全等直角三角形和1个小正方形组成，证明的核心是利用______相等建立等式。 【答案】：4；面积 2.毕达哥拉斯将直角三角形拼成边长为______的大正方形，通过两种方式计算其面积推导勾股定理。 【答案】：a+b 3.总统法（加菲尔德证法）利用了______的面积公式，将其分解为三个直角三角形的面积和。【答案】：直角梯形 4.青朱出入图法由数学家______所创，基于“______”原理实现面积转化。 【答案】：刘徽；出入相补、以盈补虚 （二）强化训练 一．选择题 1. 在赵爽弦图的证明过程中，核心思路是通过图形面积关系推导勾股定理。若弦图中直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则弦图的总面积不能表示为下列哪个选项（ ） A. c2 B. (a + b)2 C. a2 + 2ab + b2 D. a2+ b2+ 2ab 【答案】：A 【解析】：赵爽弦图总面积可通过大正方形（边长a + b）计算，即(a + b)2= a2+ 2ab + b2；同时总面积也等于中间小正方形（边长c）面积加4个直角三角形面积，即c2+ 4×ab = c2 + 2ab。A选项仅为中间小正方形面积，并非弦图总面积，故A错误。 2.毕达哥拉斯证明勾股定理时，常通过分割正方形并拼接图形，利用“面积不变”原理推导。下列关于毕达哥拉斯证明的说法正确的是（ ） A. 仅需分割1个正方形即可完成证明 B. 证明过程中不涉及直角三角形面积计算 C. 核心是将大正方形分割后，拼接成两个小正方形（边长分别为直角三角形两直角边） D. 无法通过该证明得出a2 + b2 = c2的关系式 【答案】：C 【解析】：毕达哥拉斯证明需先取一个边长为c的大正方形（以直角三角形斜边为边长），分割后重新拼接成边长为a和b的两个小正方形，因分割前后面积不变，故c^2 = a^2 + b^2，A、B、D均错误，C正确。 3.美国第20任总统伽菲尔德（Garfield）提出的“总统法”证明勾股定理，其图形基础是由三个直角三角形组成的直角梯形。若该直角梯形的高为a + b（a、b为直角三角形两直角边），上底和下底分别为a和b，则该直角梯形的面积表达式不用于推导勾股定理的是（ ） A. (a + b)(a + b) B. ab + ab + c2（c为斜边） C. (a2 + 2ab + b2) D. a^2 + ab + b^2 【答案】：D 【解析】：“总统法”中，直角梯形面积可通过梯形面积公式计算为(a + b)(a + b) = (a2+ 2ab + b2)（对应A、C）；也可通过三个直角三角形面积和计算为ab + ab + c2（对应B）。D选项展开后与梯形面积公式不符，故不用于推导，D错误。 4.“青朱出入图”是我国古代证明勾股定理的“无字证明”，其核心是通过图形的“出入相补”（即割补后面积不变）实现。若在青朱出入图中，以直角三角形斜边为边长的正方形被分割成“青”“朱”两部分，则下列说法正确的是（ ） A. “青”“朱”两部分的面积和不等于直角三角形两直角边为边长的正方形面积和 B. 割补后，“青”部分可完全拼接成以直角边a为边长的正方形 C. 该证明无需依赖面积公式，仅通过图形拼接即可直观体现a^2 + b^2 = c^2 D. “青朱出入图”无法用于证明勾股定理，仅为装饰图形 【答案】：C 【解析】：“青朱出入图”通过将斜边正方形的“青”“朱”部分，分别割补到两直角边正方形中，因出入相补后面积不变，可直观得出a^2 + b^2 = c^2，无需复杂面积公式计算，A、B、D均错误，C正确。 5.在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　) A.统计思想　 B.分类思想 C.数形结合思想 　D.函数思想 【答案】C　 【解析】由图形关系转化为数量关系,体现数形结合思想,故选C. 6.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 【答案】A　 【解析】设小直角三角形的两条直角边的边长分别为a、b,由题意可得ab×4=13-1,a2+b2=13,∴ab=6,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=(a2+b2)+2ab=13+2×6=13+12=25, ∴a+b=5或a+b=-5(舍去),故选A. 7．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　） A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab 【答案】A 【解答】∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b=b2+（b﹣a）2．故选：A． 8．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 【答案】B 【解答】解：由图1可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即图1可以说明平方差公式； 由图2可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化简，得：a2+b2＝c2，即图2可以说明勾股定理； 故选：B 9．如图在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】连接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D． 10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 【答案】B 【解析】：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（NG-NF）2=NG2+NF2-2NG•NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2-2NG•NF=3GF2=18，∴GF2=6， ∴S2=6，故选：B 二．填空题 11.赵爽弦图中，若直角三角形的两直角边分别为3和4，则弦图中中间小正方形（以斜边为边长）的面积为______。 【答案】：25 【解析】：先由勾股定理得斜边c2 = 32 + 42= 25，中间小正方形边长为斜边c，面积为25。 12.毕达哥拉斯证明勾股定理时，将边长为c的大正方形分割后，拼接成边长为a和b的两个小正方形。若a = 5，b = 12，则原大正方形的边长c为______。 【答案】：13 【解析】：由毕达哥拉斯证明的“面积不变”原理，c2= a2 + b2，代入得c2 = 5 2+ 122= 25 + 144 = 169，故c = 13。 13.用“总统法”证明勾股定理时，直角梯形的面积可表示为三个直角三角形的面积和。若直角三角形两直角边a = 2，b = 3，则该直角梯形的面积为______。 【答案】：12.5 【解析】：先得斜边c2 =22 + 32；c= ，三个直角三角形面积和为×2×3 +×2×3 + ×× = 3 + 3 + 6.5 = 12.5，即梯形面积为12.5。 14.“青朱出入图”作为勾股定理的“无字证明”，其证明依据是图形的______性质（填数学原理）。 【答案】：出入相补（或割补后面积不变） 【解析】：“青朱出入图”通过将斜边正方形的部分图形割下，补到两直角边正方形中，因“出入相补”（割补后总面积不变），直观证明a2 + b2= c2。 15.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=　　　　.( )  图① 图② 【答案】　48 【解析】　设八个全等的直角三角形较长的直角边的长为a,较短的直角边的长为b, 则S1=(a+b)2,S3=(a-b)2,a2+b2=EF2=16,∵S2=42=16,∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2) +16=2×16+16=48. 16．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 ． 【答案】10 【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝2+5+1+2＝10．故答案是：10． 17.如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144，∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 18.用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为　 　． 【答案】4 【解析】Rt△ABF中，AB＝10，AF＝8，由勾股定理得：BF6，∴FG＝8﹣6＝2，∴小正方形EFGH的面积＝22＝4，故答案为：4． 19.把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　 　． 【答案】1 【解析】3﹣2＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD的面积为1．故答案为：1． 20.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3 ， 则S1+S2+S3=________. 【答案】18 【解析】：过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I， ∴∠I=∠DFE=90°，∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，∴∠AEI=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEI≌△DEF(AAS)，∴AI=DF，∵EH=EF，∴S△AHE=S△DEF ， 同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF ， S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF ， ∵正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16， ∴DE2=DF2+EF2,∴△DEF是Rt三角形，且∠DFE=90°，∴S△DEF= ×3×4=6，∴S1+S2+S3=18.故答案为：18. 三．解答题 21．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。 （1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为（a+b）2 ，还可以表示为　 　，所以 （a+b）2 =　 　，将（a+b）2 展开整理后，可进一步的得到等式：　 　. （2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立. （3）若已知Rt△中，a=8，b=6 ，利用你得到的等式求c的值. 解：（1）2ab+c2；2ab+c2；a2+b2=c2 (2)大正方形的面积可以表示为c2 ，还可以表示为 2ab+(a-b)2 ∴c2 =2ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2 =a2+b2∴ a2+b2=c2成立. （3）把 a=8，b=6 代入a2+b2=c2, 得： 82+62=c2 ∴c2 =100 ∴c=10. 22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2； （2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23． 23．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2， ∴AB==，∴， 即，∴CH=， ∴AH=，∴S四边形AHIN=AH•AN=18，， ∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．∴AC2=AH•AB，同理可得：BC2=BH•AB， ∴AC2+BC2=AH•AB+BH•AB=AB2． 24.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. (1)①请叙述勾股定理; ②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)①如图4、图5、图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,则这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有　　　　个.  ②如图7所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明. 解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. (或者:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方) ②证明:在题图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即c2=ab×4+(b-a)2,化简得a2+b2=c2.在题图2中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即(a+b)2=c2+ab×4,化简得a2+b2=c2. 在题图3中,梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和,即(a+b)(a+b)=ab×2+c2, 化简得a2+b2=c2. (2)①3.②S1+S2=S3.证明:∵S1+S2=π+π+S3-π,∴S1+S2=π(a2+b2-c2)+S3,∵a2+b2=c2.∴S1+S2=S3. 25.(1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； (2)如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点共线，试证明∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该发明过程． ① ② 解：(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (2)证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，又∵∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠BCA＋∠DCE＝90°.又B、C、D三点共线，即∠BCD＝180°，∴∠ACE＝90°. (3)证明：∵SRt△ABC＝ab，SRt△CDE＝ab，SRt△ACE＝c2，∴S梯形ABDE＝SRt△ABC＋SRt△CDE＋SRt△ACE＝ab＋c2.∵S梯形ABDE＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2，∴ab＋c2＝(a＋b)2，由(1)得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴ab＋c2＝(a2＋2ab＋b2)，∴a2＋b2＝c2. 26.在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 解：（1）猜想： ，证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有, 在Rt中，有 ， ∴ ，解之：， ∵均为正数，∴ ； （2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有，在Rt中，有 ， ∴，解之：，∵均为正数，∴ ； （3）如图4，连接．在Rt中，有，∴， ∵，∴ ，过点作于点E，设，则EC=100-x，在Rt中，有，即，在Rt中，有，即 ，∴，解之：， 在Rt中，有，∴DE=（取正），∴DE=， ∴，=（米2），∴四边形ABCD的面积是米2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学《3.1勾股定理的探究（二）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法、总统法、青朱出入图法的证明原理，能清晰阐述四种方法的核心思路。 2.掌握 “ 面积相等 ” 的证明逻辑，体会勾股定理背后数形结合的数学思想。 3.感受勾股定理的历史文化价值，提升几何图形分析与代数推理转化能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点：借助面积割补原理，理解四种经典方法对勾股定理的证明过程。 2.难点： （1）实现几何图形分割/拼接与代数表达式之间的转化； （2）深化对 “ 数形结合 ” 思想的理解。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 勾股定理的内容是：直角三角形两条______的平方和等于______的平方，用符号语言表示为在Rt △ ABC中， ∠ C=90 ° ，则______。 2. 勾股定理的证明多基于______相等的原理，通过分割或拼接图形，用不同方式表示同一图形的面积来推导结论。 3. 我国东汉末至三国时代的数学家______最早用 “ 弦图 ” 完成了勾股定理的证明，美国第20任总统______提出了利用梯形面积的证明方法。 4. 毕达哥拉斯的证明思路是将4个全等直角三角形拼成边长为______的大正方形，通过大正方形面积的两种表达形式建立等式。 5. 青朱出入图由魏晋时期数学家刘徽所创，核心是通过______术，将 “ 朱方 ”“ 青方 ” 分割拼接后形成 “ 弦方 ” 。 ) 四．课堂探秘 【温故知新】 1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，则 a2 + b2 = c2 3.思考勾股定理适用的条件，明确只适用于直角三角形，且揭示了直角三角形三边的数量关系。非直角三角形不满足此关系。 勾股定理是一个基本的几何定理，中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 （一）赵爽弦图法 1.历史背景：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 2.探究赵爽弦图的思路与方法 3.原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 4.图形构成：由4个全等的直角三角形（直角边a、b，斜边c）围成一个边长为c的大正方形，中间内嵌一个边长为(b-a)的小正方形。 5.证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b)2，大正方形面积为c2，可得2ab+(a - b)2=c2，化简后得到2a+b2=c2，从而证明了勾股定理。 c2＝ab×4＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2. （二）毕达哥拉斯的证明 1.毕达哥拉斯证明勾股定理的核心是利用面积相等原理，通过拼接4个全等直角三角形构造大正方形，从“整体”和“部分”两个角度表示大正方形面积，建立等式推导得出结论。 2.构造图形：取4个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），将它们的直角顶点向外，拼成一个边长为(a+b)的大正方形，大正方形内部会形成一个边长为c的小正方形（由4个直角三角形的斜边围成）。 3.证明：由于图形面积不变，因此得出a² + b² = c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c2＝(a＋b)2－ab×4＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2. 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为“毕达哥拉斯定理”。 （三）总统法（加菲尔德证法） 1.美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 2.构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 3.证明：计算梯形面积：梯形面积公式为：S梯形= (a + b)(a + b)。 计算三个三角形的总面积：2 ×ab+c2 = ab+c2。 梯形面积等于三个三角形面积之和，(a + b)(a + b)=ab+c2 a² + b² = c² （四）方法四：青朱出入图（无字的证明） 1.历史背景：“青朱出入法”是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的“出入相补”（即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 2.图形构成：以勾为边长作“朱方”，以股为边长作“青方”，将两正方形按特定方式排列后分割，分割出的“青出”“朱出”部分可拼接成以弦为边长的“弦方”。 3.证明：依据“出入相补、以盈补虚”原理，朱方面积（a²）+ 青方面积（b²）= 弦方面积（c²），通过全等图形的平移、旋转实现面积转化，直观验证勾股定理，无需文字推导。 【小结】：勾股定理的证明分两种 第一种类型等面积 两算法：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型无字证明：以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。 （五）经典例题 例1.赵爽弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，则ab的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 例2.用青朱出入图法证明勾股定理时，若以直角边a=5、b=12为边的正方形面积和为S，则以斜边c为边的正方形面积为______。 例3.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b, AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 例4.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°, BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 例5.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 五．课堂检测 （一）选择题 1.如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ） A．13 B．169 C．12 D．5 2．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 3．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 4.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 5.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 6.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 （二）填空题 7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 8．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 9.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 10.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ （三）解答题 11.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a2+b2=c2. 12.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ……， （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度； （4）你能计算出的值吗？ 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.赵爽弦图由______个全等直角三角形和1个小正方形组成，证明的核心是利用______相等建立等式。 2.毕达哥拉斯将直角三角形拼成边长为______的大正方形，通过两种方式计算其面积推导勾股定理。 3.总统法（加菲尔德证法）利用了______的面积公式，将其分解为三个直角三角形的面积和。4.青朱出入图法由数学家______所创，基于“______”原理实现面积转化。 （二）强化训练 一．选择题 1. 在赵爽弦图的证明过程中，核心思路是通过图形面积关系推导勾股定理。若弦图中直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则弦图的总面积不能表示为下列哪个选项（ ） A. c2 B. (a + b)2 C. a2 + 2ab + b2 D. a2+ b2+ 2ab 2.毕达哥拉斯证明勾股定理时，常通过分割正方形并拼接图形，利用“面积不变”原理推导。下列关于毕达哥拉斯证明的说法正确的是（ ） A. 仅需分割1个正方形即可完成证明 B. 证明过程中不涉及直角三角形面积计算 C. 核心是将大正方形分割后，拼接成两个小正方形（边长分别为直角三角形两直角边） D. 无法通过该证明得出a2 + b2 = c2的关系式 3.美国第20任总统伽菲尔德（Garfield）提出的“总统法”证明勾股定理，其图形基础是由三个直角三角形组成的直角梯形。若该直角梯形的高为a + b（a、b为直角三角形两直角边），上底和下底分别为a和b，则该直角梯形的面积表达式不用于推导勾股定理的是（ ） A. (a + b)(a + b) B. ab + ab + c2（c为斜边） C. (a2 + 2ab + b2) D. a^2 + ab + b^2 4.“青朱出入图”是我国古代证明勾股定理的“无字证明”，其核心是通过图形的“出入相补”（即割补后面积不变）实现。若在青朱出入图中，以直角三角形斜边为边长的正方形被分割成“青”“朱”两部分，则下列说法正确的是（ ） A. “青”“朱”两部分的面积和不等于直角三角形两直角边为边长的正方形面积和 B. 割补后，“青”部分可完全拼接成以直角边a为边长的正方形 C. 该证明无需依赖面积公式，仅通过图形拼接即可直观体现a^2 + b^2 = c^2 D. “青朱出入图”无法用于证明勾股定理，仅为装饰图形 5.在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　) A.统计思想　 B.分类思想 C.数形结合思想 　D.函数思想 6.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 7．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　） A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab 8．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 9．如图在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 二．填空题 11.赵爽弦图中，若直角三角形的两直角边分别为3和4，则弦图中中间小正方形（以斜边为边长）的面积为______。 12.毕达哥拉斯证明勾股定理时，将边长为c的大正方形分割后，拼接成边长为a和b的两个小正方形。若a = 5，b = 12，则原大正方形的边长c为______。 13.用“总统法”证明勾股定理时，直角梯形的面积可表示为三个直角三角形的面积和。若直角三角形两直角边a = 2，b = 3，则该直角梯形的面积为______。 14.“青朱出入图”作为勾股定理的“无字证明”，其证明依据是图形的______性质（填数学原理）。 15.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=　　　　.( )  图① 图② 16．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 ． 17.如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 18.用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为　 　． 19.把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　 　． 20.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3 ， 则S1+S2+S3=________. 三．解答题 21．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。 （1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为（a+b）2 ，还可以表示为　 　，所以 （a+b）2 =　 　，将（a+b）2 展开整理后，可进一步的得到等式：　 　. （2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立. （3）若已知Rt△中，a=8，b=6 ，利用你得到的等式求c的值. 22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 23．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2． 24.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. (1)①请叙述勾股定理; ②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)①如图4、图5、图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,则这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有　　　　个.  ②如图7所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明. 25.(1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； (2)如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点共线，试证明∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该发明过程． ① ② 26.在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $