4.3.3 对数函数y=logax的图象和性质（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 北师大版2019必修第一册·高一 4.3.3 对数函数 的图象和性质 前情回顾 函数的图象及性质 函数在定义域上是增函数，且值域为R． 当时，；当时，； 当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大； 当趋近于0时，趋近于负无穷大． 学 习 目 标 1 2 3 由特殊到一般，掌握一般的对数函数的图象.(重点) 由对数图象得到对数函数的性质.(重点、难点) 应用对数函数的图象与性质比较大小、求定义域和值域、确定单调区间等． 读教材 阅读课本P114-P116，5分钟后完成下列问题： 1.如何由的图象得到的图象？ 2.函数有哪些性质呢？ 3.怎样应用对数函数的性质解决有关问题？ 我们一起来探究“对数函数的图象和性质”吧！ 新课引入 思考1：若要研究一般的对数函数的图象及性质，你认为该从哪入手呢？结合前面对指数函数的图象及性质的研究历程，你有何启发？ 特殊 一般 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的图象及性质 3 题型训练 2 典例剖析 新知探究 做一做：画出对数函数的图象，并说出它的性质． 函数的性质： 函数在定义域上是减函数，且值域为R． 当0<x<1时， y0；当x>1时， y0； 当x趋近于正无穷大时y趋近于负无穷大；当x趋近于0时y趋近于正无穷大． 新知探究 思考2：由对数函数的图象和的图象，能否得到 以的图象? 特殊 一般 ? 新知探究 思考3：如何得到函数的图象呢？ 为了得到对数函数y=logax(a>1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.选取底数a(a>1)的若干个不同的值，利用GeoGebra软件来绘制底数a>1的函数图象. 新知探究 截取几个底数a>1的对数函数图象，并认真观察，可以得到： y=log2x y=log3x y=log4x y=log5x 定义域:(0,+∞)，值域:R 奇偶性:非奇非偶函数 过定点:(1,0) 单调性:在(0,+∞)上是增函数 函数值符号:当时，；当时，. 抽象概括 思考4：如何得到函数的图象呢？ 为了得到对数函数的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.选取底数a(a>1)的若干个不同的值，利用GeoGebra软件来绘制底数的函数图象. 新知探究 截取几个底数的对数函数图象，并认真观察，可以得到： 定义域:(0,+∞)，值域:R 奇偶性:非奇非偶函数 过定点:(1,0) 单调性:在(0,+∞)上是减函数 函数值符号:当时，；当时，. 抽象归纳   图象     性质 （1）定义域：(0，) （2）值域：R （3）过定点：(1，0)，即时，0 （4）当时，；当时， （4）当时，；当时， （5）在定义域(0，)上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 （5）在定义域(0，)上是减函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 对数函数(a>0，且a≠1)的图象和性质 新知探究 思考5：已知且，由，则函数的图象与 的图象关于什么对称？ 由图象得：底数互为倒数的两个对数函数图象关于x轴对称. x y O 结论一：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称！ 新知探究 思考6：将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，若沿直线 自左向右观察能得到什么结论？ 底大图右 x y O 结论二：在第一象限从左往右，底数逐渐增大！ 由图象得：在第一象限内，当底数越大，图象越靠右. 即“底大图右” 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的图象及性质 3 题型训练 2 典例剖析 例题剖析 例6.设，且，求下列函数的定义域： （1）；（2）． 解： (1)为使函数有意义，只需，即， 所以函数定义域为； (2)为使函数有意义，只需>0，即， 所以定义域为． 对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 例题剖析 例7.比较下列各题中两个数的大小： （1），；（2），; （3），；（4），． 解：(1)因为2>1，在定义域内递增． 由5.3>4.7，得. (2)因为0<0.2<1，在定义域内递减． 由7<9，得． 例题剖析 例7.比较下列各题中两个数的大小： （1），；（2），; （3），；（4），． 解：(3)因为3>1，在定义域内递增． 由，得 同理可得． 因此． 例题剖析 例7.比较下列各题中两个数的大小： （1），；（2），; （3），；（4），． 解：(4) 当底数时，在定义域内递增， 此时由3.1<5.2，得 当底数时，在定义域内递减， 此时由3.1<5.2，得． 归纳小结 方法总结 对数比较大小 底数相同，真数不同的，可利用函数的单调性比较大小； 底数不同，真数相同的，利用图象性质“第一象限内，底大图右”； 底数不同，真数不同的，可以利用特殊值比较大小； 底数范围未知的，需要讨论底数，底数或底数． 例题剖析 例8. 人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律： C(t)=C0e-rt, 其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量. 为计算衰减的年代，通常给出该物质衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5730年.人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比. 1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉谟拉比王朝所在的年代. 例题剖析 解：因为14C的半衰期大约是5730年，所以由衰减规律，得 解得因此14C的衰减规律服从指数型函数 . 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年.因为放射性物质的衰减速度与其质量正比，所以 于是 两边取以2为底的对数，得 解得 所以该木炭已衰减了约4055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年. 学习过程 01 03 02 目录 1 换底公式的推导证明 3 题型训练 2 典例剖析 题型训练 题型一 对数函数的图象 练习1：已知,且,函数与的图象可能是下图中的(　　) B 练习2：当时,函数和的图象只可能是(　　) B 题型训练 题型二 对数函数过定点问题 练习3：函数且)的图象过定点　　　　. 解：令，得，则 故函数的图象过定点. 练习4：函数f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P在函数(　　)的图象上. 解:令,得.又. 所以, 将代入各选项,可知只有选项C符合 C 题型训练 练习5：函数的定义域是 __________ 解：依题意得,得 所以定义域为[1,+∞) 练习6：函数的定义域是________________ 解：依题意得,得 ∴函数的定义域为： 题型三 对数型复合函数的定义域、值域、单调性 [1,+∞) 题型训练 题型三 对数型复合函数的定义域、值域、单调性 练习7：已知函数 f(x) = log2(x+1)-2: (1)求f(x)的定义域; (2)若x∈(-1, 3), 求f(x)的值域. 解：(1)由 题意得x+1>0 ∴x> ∴ f(x)定义域为 (2)∵ x∈(-1, 3), ∴0< x+1<4 ; 又y = log2x在(0, 4)上单调递增， 所以log2(x+1)-2<log24-2=0 ; 即f(x)的值域为(-∞, 0) 题型训练 题型三 对数型复合函数的定义域、值域、单调性 练习8：若函数f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 题型训练 题型四 解对数不等式 练习9：已知函数的图象与函数的图象关于轴对称,解不等式 解：∵函数的图象与函数的图象关于轴对称 ∴ 由得(2x)＜ ∴∴x＞1 ∴解集为（1，+∞） 题型训练 题型四 解对数不等式 练习10：解对数不等式 解:①当时， ②当时，， 综上，当时，解集为； 当时，解集为 课堂小结   图象     性质 （1）定义域：(0，) （2）值域：R （3）过定点：(1，0)，即时，0 （4）当时，；当时， （4）当时，；当时， （5）在定义域(0，)上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 （5）在定义域(0，)上是减函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 对数函数(a>0，且a≠1)的图象和性质 课堂小结 x y O 结论一：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称！ 底大图右 x y O 结论二：在第一象限从左往右，底数逐渐增大！ 对数函数图象两个常用结论 感谢聆听! 解：设g(x)=x2-ax+1, 要使f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上单调递增, 则必须满足即得a<, 故实数a的取值范围是. $