第4章 §3 3.3 对数函数y＝logax的图象和性质（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

对数运算与对数函数 第四章 §3　对数函数 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.能用描点法画出具体对数函数的图象． 2．探索并了解对数函数的单调性与图象的特殊点． 3．能掌握对数函数的图象和性质的简单应用(重点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 (0，＋∞) R 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 增 正无穷大 负无穷大 减 负无穷大 正无穷大 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × √ × √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（32） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 对数函数的图象和性质 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：______________ 值域：___ 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 性质 过定点_____________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，_______；当0<x<1时，_______ 当x>1时，_______；当0<x<1时，_______ 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 性质 在定义域(0，＋∞)上是___函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于____________； 当x值趋近于0时，函数值趋近于____________ 在定义域(0，＋∞)上是___函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于___________； 当x值趋近于0时，函数值趋近于____________ (1)“对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象”在y轴右侧，向上向下无限伸展，都经过点(，－1)，(1，0)，(a，1)，据此可以快速地画出其大致图象． (2)图象在y轴右侧，a>1时图象是上升的，0<a<1时图象是下降的． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． (4)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对数函数的定义域为R. (　 　) (2)对数函数的图象在y轴的右侧． (　 　) (3)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数． (　 　) (4)当a＞1时，若0＜x＜1，则logax＜0. (　 　) 2．函数y＝ln (x－2)的定义域是 (　　) A．(－∞，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．(0，2) D．(2，＋∞) 由题意可得x－2＞0，即x＞2. 3．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的值可能为 (　　) A．5 B. C． D． 答案：(1，1) 4．若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为______________． 答案：(－∞，0) 5．函数y＝logax＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点____________． 探究一　对数函数的定义域问题 [例1] 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg (x－2)＋； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)； (3)y＝(a>0，且a≠1). (1)由题意得解得x>2，且x≠3， 所以函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)由题意得解得－1<x<0或0<x<4，所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，4). (3)当0<a<1时，由loga(4x－3)≥0，得0<4x－3≤1，解得<x≤1，所以函数的定义域为(，1]； 当a>1时，由loga(4x－3)≥0，得4x－3≥1，解得x≥1，所以函数的定义域为[1，＋∞). 求函数定义域的三个步骤 (1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组). (2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围． (3)得出结论：写出函数的定义域． [练1] (1)函数f(x)＝log(x2－1)的定义域为____________． (2)函数f(x)＝＋的定义域为________． 答案：(1)(1，)∪(，＋∞)　(2)(－1，0)∪(0，3] (1)要使函数有意义，则解得x>1，且x≠， 所以函数f(x)的定义域为(1，)∪(，＋∞). (2)由解得－1<x<0，或0<x≤3，所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，3]. 探究二　对数函数的图象问题 [例2] (1)已知lg a＝－lg b≠0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是 (　　) (2)图中曲线分别表示函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d的关系是 (　　) A.a<b<d<c B．b<a<c<d C．d<c<a<b D．c<d<a<b (1)对于A，B，C，由题中图象可知，对于函数f(x)＝a－x＝()x，可知>1，即0<a<1， 又lg a＝－lg b≠0，则b>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故A，B错误，C正确； 对于D，由题中图象可知，对于函数f(x)＝a－x＝()x，可知0<<1，即a>1， 又lg a＝－lg b≠0，得0<b<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误．故选C. (2)如题图所示，a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1，在直线x＝1的右侧，当底数大于1时，底数越大，图象越靠近x轴；当底数在(0，1)上时，底数越小，图象越靠近x轴．故0＜c＜d＜1＜a＜b.故选D. 函数y＝logax(a>0，且a≠1)的底数变化对图象位置的影响 (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴； (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． [练2] (1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象是 (　　) (2)已知a>1，b<－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位长度而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．故选A. (2)根据对数函数的单调性及图象平移的知识知，函数y＝loga(x－b)的大致图象如图所示，函数图象不经过第四象限．故选D. 探究三　对数函数综合问题 [例3] (1)(2025·贺州高一检测)已知a＝log20.3，b＝ln 3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b ∵a＝log20.3<log21＝0，b＝ln 3>ln e＝1，0＝log31<log32<log33＝1，即0<c<1，∴b>c>a. (2)(2025·哈尔滨高一期末)已知函数f(x)＝log2. ①判断并证明函数f(x)的奇偶性； ②当x∈(3，＋∞)时，f(x)＋log2(x＋1)>m恒成立，求实数m的取值范围． ①函数f(x)为奇函数．证明如下． 由函数f(x)＝log2，得>0， 即(x－1)(x＋1)>0，解得x<－1，或x>1， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． 又f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． ②f(x)＋log2(x＋1)>m恒成立，则log2＋log2(x＋1)>m恒成立， 即log2(x－1)>m在(3，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝log2(x－1)， 因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增， 当x＝3时，g(3)＝log2(3－1)＝1， 所以当x∈(3，＋∞)时，g(x)∈(1，＋∞)， 则实数m的取值范围是(－∞，1]. 1．比较对数式大小的方法 (1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； (2)当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数的图象，数形结合解得； (3)当不同底、不同真数时，可利用中间值进行比较． 2．对数函数综合问题的解题思路 求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．一定要注意定义域对它的影响．当函数较为复杂时，可将对数函数进行换元，把复杂问题简单化． [练3] (2025·西安高一期末)设a＝log32，b＝log2，c＝log56，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c a＝log32<log33＝1，a＝log32>log31＝0，故a＝log32∈(0，1)，b＝log2<0，c＝log56>log55＝1，故b<a<c.故选C. 探究四　对数应用问题 [例4] (2025·济宁高一期末)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位时，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少小时．(精确到整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) (1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物1个单位，经过y小时后，药物在病人血液中的量为x＝1×(1－20%)y＝0.8y，即y与x的关系式为y＝log0.8x(0<x≤1). (2)当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位时，病人就有危险，故当x≥0.3时，病人才不会有危险． 因为y＝log0.8x在定义域内单调递减， 所以y＝log0.8x≤log0.80.3＝＝≈≈5， 故再次注射该药物的时间不能超过5小时． 解决对数应用题的四个步骤 (1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义． (2)建模：根据已知条件，列出关系式． (3)解模：运用数学知识，解决此问题． (4)结论：还原实际问题，归纳得结论. [练4] 在20世纪30年代，美国地震学家里克特提出了一种衡量地震能量大小的标度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中，测震仪记录地震的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅是0.001，求这次地震的震级； (2)5级地震给人的震感已比较明显，求7.6级地震的最大振幅约是5级地震的最大振幅的多少倍．(精确到整数，参考数据：100.6≈3.981) (1)依题意，M＝lg 1 000－lg 0.001＝lg 103－lg 10-3＝3－(－3)＝6， 所以这次地震的震级是6级． (2)依题意，其中A5，A7.6分别表示5级地震，7.6级地震的最大振幅， 两式相减得lg A7.6－lg A5＝lg ＝2.6， 所以＝102.6＝102×100.6≈100×3.981≈398， 所以7.6级地震的最大振幅约是5级地震的最大振幅的398倍． 特别提醒：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1这两种情况． 1．函数f(x)＝＋ln x的定义域为 (　　) A．(2，＋∞) B．[0，2) C．(0，2] D．[0，2] 要使函数解析式有意义，需满足解得x∈(0，2].故选C. 2．若a＝log33，b＝0.32，c＝log34，则 (　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 因为a＝log33＝1，b＝0.32<0.30＝1，c＝log34>log33＝1，所以b<a<c.故选C. 3．(2024·厦门高一期中)在同一平面直角坐标系中，函数y＝logax与y＝ax(a>0，且a≠1)的图象可能是 (　　) 由指数函数和对数函数性质可知，y＝logax与y＝ax的图象关于直线y＝x对称，由选项中图象对称关系可知A正确．故选A. 4．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为__________． 答案：(－∞，0)　 因为t＝2x＋1>1，且y＝log0.2t在定义域上为减函数，所以y<log0.21＝0，所以函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为(－∞，0). $$