第四章 3.3 第1课时 对数函数y＝logax的图象和性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数\(y = \log_a x\)的图象和性质，通过让学生动手绘制函数图象并观察变化趋势与共同特征导入，类比指数函数研究方法搭建知识支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点是以任务驱动，结合典例分析、规律总结和分层练习，培养数学抽象（如归纳函数性质）、数学运算（如解对数不等式）和逻辑推理（如分类讨论底数）等核心素养。例如比较\(\log_{0.3}5\)与\(\log_3 5\)时借助中间量0判断，体现数学思维。小结系统梳理方法，学生能夯实基础，教师可高效开展分层教学。

第1课时　对数函数y＝logax的图象和性质 　 第四章　§3　3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.　 2.会类比指数函数研究对数函数的性质，培养数学抽象的核心素养.　 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用，培养数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　对数函数的图象和性质 1 任务二　对数函数图象及简单应用 2 任务三　利用单调性比较对数值的大小 3 课时分层评价 6 任务四　解对数不等式 4 随堂评价 5 任务一　对数函数的图象和性质 返回 问题.在同一坐标系内画出函数y＝log2x，y＝lox，y＝lox和y＝log3x的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势和函数图象的共同特征. 提示：同一坐标系中函数的图象如图. ①y＝log2x与y＝log3x的图象从左到右是上升的， 函数y＝lox和y＝lox的图象从左到右是下降的. ②图象都过定点(1，0)，函数的图象都在y轴的右 侧，且向上向下无限延伸. 问题导思 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质 新知构建 图象和 性质 a＞1 0＜a＜1 图象     图象和 性质 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域：___________ 值域：R 过定点________，即当x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞___； 当0＜x＜1时，y＜___ 当x＞1时，y＜___； 当0＜x＜1时，y＞___ 性 质 在定义域(0，＋∞)上是____函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是____函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 (0，＋∞) (1，0) 0 0 0 0 增 减 (1)底数a的取值与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”. 微思考 提示：(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”. 提示：在同一坐标系内，y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝lox(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称. (链教材P114例6)求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋； 解：为使函数有意义，只需解得x＞2，且x≠3， 所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). 典例 1 (2)f(x)＝； 解：为使函数有意义，只需解得1＜x＜2， 所以函数的定义域为{x｜1＜x＜2}. (3)y＝(a＞0，且a≠1). 解：当0＜a＜1时，0＜4x－3≤1⇒＜x≤1，所以函数的定义域为； 当a＞1时，4x－3≥1⇒x≥1，所以函数的定义域为{x｜x≥1}. 求函数定义域的三个步骤 第一步：列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)； 第二步：解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围； 第三步：结论：写出函数的定义域. 规律方法 对点练1.函数f(x)＝的定义域为 A. B.(－∞，0)∪ C. D.∪ √ 由题意得∪.故选D. 返回 任务二　对数函数图象及简单应用 返回 (1)如图，图象①②③④所对应的函数不属于y＝2x－，y＝log2x，y＝lox中的一个是 A.① B.② C.③ D.④ √ 典例 2 根据题意，函数y＝2x－，y＝log2x，y＝lox的图象分别过定点(0，)，(1，0)，(1，0)，它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.故选D. (2)函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点 A.(2，2) B.(3，2) C.(3，3) D.(2，3) √ 由x－2＝1，得x＝3，所以y＝loga1＋2＝2，所以图象恒过定点(3，2).故选B. 1.有关对数型函数图象问题的求解技巧 求函数y＝logaf(x)＋m(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x＝x0，即得定点为(x0，m). 2.根据对数函数图象判断底数大小的方法 (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴. (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 规律方法 对点练2.(1)函数f(x)＝log2(2x)的大致图象为 √ 令f(x)＝0，解得x＝，由题意，f(x)＝log2＝log2x＋1，且x＞0，所以f(x)的图象由y＝log2x图象向上平移一个单位长度即可.故选C. (2)已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝ A.1 B.2 C.3 D.4 √ 令2x－3＝1，解得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.故选C. 返回 任务三　利用单调性比较对数值的大小 返回 (链教材P114例7)比较下列各题中两个数的大小： (1)log60.7，log69.1； 解：因为6＞1，所以函数y＝log6x在定义域(0，＋∞)上是增函数， 由0.7＜9.1，得log60.7＜log69.1. 典例 3 (2)log0.27，log0.29； 解：因为0.2＜1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数， 由7＜9，得log0.27＞log0.29. (3)log0.35，log35； 解：因为0.3＜1，所以函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数， 由5＞1，得log0.35＜log0.31＝0，即log0.35＜0. 因为3＞1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数， 由5＞1，得log35＞log31＝0，即log35＞0. 所以log0.35＜log35. (4)loga2，loga6(a＞0，且a≠1). 解：当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，此时由2＜6，得loga2＞loga6； 当a＞1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，此时由2＜6，得loga2＜loga6； 综上可得当0＜a＜1时，loga2＞loga6；当a＞1时，loga2＜loga6. 比较对数值大小时常用的四种方法 1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较. 2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用在第一象限顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较. 4.若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 规律方法 对点练3.(1)设a＝log2e(e为自然对数的底数)，b＝ln 2，c＝lo，则实数a，b，c的大小关系是 A.a＞b＞c　 B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞a＞c √ 因为a＝log2e＞log22＝1，b＝ln 2＜ln e＝1，c＝lo＝log23＞log2e＝a，所以c＞a＞b.故选C. (2)若a＞b＞c＞1，则下列不等式不成立的是__________.(填写所有不成立的不等式的序号) ①logab＞logac；②loga＞loga；③lob＞loc；④lo＞lo. ②③ 因为a＞1，所以0＜＜1，所以y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝lox在(0，＋∞)上单调递减.又b＞c＞0，所以0＜＜，所以logab＞logac，loga＜loga，lob＜loc，lo＞lo.故答案为②③. 返回 任务四　解对数不等式 返回 解下列关于x的不等式： (1)lox＞lo(4－x)； 解：由题意可得解得0＜x＜2.所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜2}. 典例 4 (2)loga(2x－5)＞loga(x－1)(a＞0，且a≠1). 解：当a＞1时，原不等式等价于解得x＞4. 当0＜a＜1时，原不等式等价于＜x＜4. 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＞4}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为. 对数不等式的三种考查类型及其解法 1.形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论. 2.形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解. 3.形如logf(x)a＞logg(x)a(f(x)，g(x)＞0且不等于1，a＞0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 规律方法 对点练4.(1)已知f(x)＝log2(2x－1)，则不等式f(x)＜2的解集为 A. B. C. D. √ 由题意可知log2(2x－1)＜2，则＜x＜，即不等式f(x)＜2的解集为.故选D. (2)设函数y＝f(x)，其中f(x)＝lg x，若f＜f(2)，则实数x的取值范围是__________. (0，1) 函数y＝lg x在(0，＋∞)是严格增函数，所以0＜2x＜2，得0＜x＜1，所以实数x的取值范围是(0，1). 返回 课堂小结 任务 再现 1.对数函数y＝logax的图象和性质.2.对数型函数的定义域.3.对数函数图象及简单应用.4.对数函数的综合运用：比较大小、解对数不等式 方法 提炼 分类讨论法、数形结合法 易错 警示 求与对数函数有关的定义域时，易漏掉真数大于零 随堂评价 返回 1.函数f(x)＝ln(x＋6)的定义域为 A. B. C. D. √ 由解析式可知，x＋6＞0，即x＞－6，所以定义域为.故选A. 2.如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y＝lox，y＝lox，y＝log5x中的一个是 A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) √ 因为lo＜lo＝lo，所以(3)是y＝lox，(4)是y＝lox，又y＝lox＝－log5x与y＝log5x关于x轴对称，所以(1)是y＝log5x.故选B. 3.不等式log2＜1的解集是 A. B. C.∪ D.∪ √ log2＜1，即log2＜log22，则0＜x2－1＜2，解得x∈ ∪.故选D. 4.log3，log3，log32的大小关系为____________________. log3＜log3＜log32 因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且＜＜2，所以log3＜log3＜log32. 返回 课时分层评价 返回 1.函数f(x)＝的定义域为 A.(1，2) B. C.(2，＋∞) D. √ 由 得1＜x≤2，所以函数f(x)的定义域为(1，2].故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，C1是函数y＝ax(0＜a＜1)的图象，C2，C3，C4是由C1经轴对称变换得到的函数图象，则C2，C3，C4对应的函数解析式分别是 A.y＝a－x，y＝logax，y＝－logax B.y＝logax，y＝a－x，y＝－logax C.y＝logax，y＝－logax，y＝a－x D.y＝－logax，y＝a－x，y＝logax √ 由图可知，C2与C1关于直线y＝x对称，所以C2的解析式为y＝logax；C3与C1关于y轴对称，所以C3的解析式为y＝a－x；C4与C3关于y＝x轴对称，所以C4的解析式为y＝－logax.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a＝log23，b＝log2e，c＝log32，则a，b，c的大小关系是 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b √ a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝log32＜log33＝1，所以a，b，c的大小关系为a＞b＞c.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知log2a＜log2a4a＜0，则 A.0＜a＜ B.＜a＜ C.＜a＜ D.＜a＜1 √ 由对数的定义得0＜2a＜1或2a＞1，又因为4a2＋1－4a＝(2a－1)2＞0(a≠)，所以4a2＋1＞4a，因为log2a＜log2a4a＜0，所以可得0＜2a＜1，因为log2a4a＜0＝log2a1，可得4a＞1，所以＜a＜.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是 A.a＞1，b＜－1 B.a＞1，－1＜b＜0 C.0＜a＜1，b＜－1 D.0＜a＜1，－1＜b＜0 √ 因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b＞0，即b＞－1；又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0，故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6. (多选题)下列不等式成立的是 A.log0.20.3＜log0.20.4 B.20.3＞log32 C.log3e＞ln 3 D.log25＞log35 √ 对于A，y＝log0.2x在定义域上单调递减，故log0.20.3＞log0.20.4，故A错误；对于B，由20.3＞20＝1＝log33＞log32，故B正确；对于C，由log3e＜log33＝1＝ln e＜ln 3，故C错误；对于D，由log25＞log24＝2＝log39＞log35，故D正确.故选BD. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若函数f(x)＝loga(x－1)过点(a，0)，则f(x)＞0的解集为__________. 由函数f(x)＝loga(x－1)过点(a，0)，可得loga(a－1)＝0，则a－1＝1，即a＝2，此时f(x)＝log2(x－1).由log2(x－1)＞0可得x－1＞1即x＞2，故f(x)＞0的解集为(2，＋∞). (2，＋∞) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知logm8.1＜logn8.1＜0，那么m，n满足的条件是______________. 因为logm8.1＝＜logn8.1＝＜0，所以ln n＜ln m＜0，所以0＜n＜m＜1. 0＜n＜m＜1 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.不等式log2x＋log4x≤3的解集为________________. 因为log2x＋log4x＝log2x＋log2x＝log2x，且x＞0，若log2x＋log4x≤3，即log2x≤3，则log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，所以不等式log2x＋log4x≤3的解集为. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知函数f(x)＝log3ax(a＞0，且a≠)的定义域为(0，＋∞). (1)讨论函数f(x)的单调性； 解：当0＜3a＜1，即0＜a＜时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； 当3a＞1，即a＞时，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 综上所述：0＜a＜时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； a＞时，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)当a＞1时，求不等式f(x＋2)＜1的解集. 解：f(x＋2)＜1等价于log3a(x＋2)＜log3a3a， 当a＞1时，函数f(x)＝log3ax在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜x＋2＜3a，即－2＜x＜3a－2. 故当a＞1时，不等式f(x＋2)＜1的解集为{x｜－2＜x＜3a－2}. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是 A.a＝2 B.函数f(x)为增函数 C.若x＞3，则f(x)＞1 D.若0＜x1＜x2，则＞f √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由loga9＝2，得a＝3，故A错误；f(x)＝log3x是增函数，故B正确；当x＞3时，f(x)＞f(3)＝1，故C正确；因为＝＝log3，f＝log3，又0＜x1＜x2，所以＜，所以log3＜log3，即＜f，故D错误.故选BC. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是 A.x2＜x3＜x1 B.x1＜x3＜x2 C.x1＜x2＜x3 D.x3＜x2＜x1 √ 分别作出这三个函数的大致图象，如图所示.由图可 知，x2＜x3＜x1.故选A. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知b＞a＞0，log4a＋log2b＝1，且＝，则a＋b＝_____. 因为b＞a＞0，log4a＋log2b＝log4a＋log4b2＝log4ab2＝1，所以ab2＝4，因为＝，所以－lg a＝lg b，所以lg a＋lg b＝0，即ab＝1，所以b＝4，a＝，则a＋b＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知函数f(x)＝logax，g(x)＝logbx，若f(4)＋g(4)＝3，f(4)－g(4)＝1. (1)求f(x)，g(x)的解析式； 解：由 解得f(4)＝2，g(4)＝1， 即a＝2，b＝4，所以f(x)＝log2x，g(x)＝log4x. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若f(m)＝g(n)，试比较m，n的大小. 解：由f(m)＝g(n)，得log2m＝log4n； 当m＝1时，有log2m＝0，所以n＝1，此时m＝n； 当m＞1时，因为log2m＝log4n， 所以0＜＝，所以lg m＜lg n，此时m＜n； 当0＜m＜1时，因为log2m＝log4n， 所以0＞＝，所以lg m＞lg n，此时m＞n. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)下列不等式，正确的是 A.log0.30.5＞1 B.0.30.5＜1 C.log20.5＜20.5 D.log23＞log34 √ √ √ 对于A，因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上递减，且0.5＞0.3，所以log0.30.5＜log0.30.3＝1，故A错误；对于B，因为y＝0.3x在R上递减，且0.5＞0，所以0.30.5＜0.30＝1，故B正确；对于C，因为y＝log2x在(0，＋∞)上递增，且0.5＜1，所以log20.5＜log21＝0，因为20.5＝＞0，所以log20.5＜20.5，故C正确；对于D，因为y＝log2x在(0，＋∞)上递增，且＜＜4，所以log2＜log2＜log24，所以log2＜log23＜log222，所以＜log23＜2，因为y＝log3x在(0，＋∞)上递增，3＜＜，所以log33＜log3＜log3，所以1＜log34＜log3，所以1＜log34＜，所以log23＞log34，故D正确.故选BCD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)已知函数f(x)＝logax，其中a＞0且a≠1. (1)若函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，求不等式f(2x－2)＜f(x)的解集； 解：因为f(4)＝2，则loga4＝2，所以a2＝4，因为a＞0，所以a＝2， 所以f(x)＝log2x， 因为f(2x－2)＜f(x)，所以2x－2＞0，x＞0，2x－2＜x，解得1＜x＜2. 所以不等式f(2x－2)＜f(x)的解集为(1，2). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若存在实数x，使得f(x＋1)＋f(x＋2)＝2f(ax)，求实数a的取值范围. 解：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，则在方程2f(ax)＝f(x＋1)＋f(x＋2)中，应满足由a＞0，解得x＞0， 即当x＞0时，方程f(x＋1)＋f(x＋2)＝2f(ax)有实数解. 又f(x)＝logax，则loga(x＋1)＋loga(x＋2)＝2logaax， 即loga(a2x2)＝loga(x2＋3x＋2)， 所以a2x2＝x2＋3x＋2， 因为x＞0，两边同除以x2得a2＝＋＋1. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 令t＝，由x＞0，则t∈(0，＋∞)， 所以a2＝2t2＋3t＋1在t＞0时有解. 又y＝2t2＋3t＋1＝2－在(0，＋∞)上为增函数， 所以y＝2t2＋3t＋1∈(1，＋∞)，即a2∈(1，＋∞)， 又a＞0，则a＞1. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第1课时　对数函数y＝logax的图象和性质 返回 $