精品解析：江西省南昌新民外语学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

新民学校2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 圆心到的距离为 10. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的一个顶点为 C. 椭圆的焦距为8 D. 椭圆的离心率为 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 三、填空题 12. 已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的方程为___________. 13. 双曲线的两条渐近线方程为______． 14. 设，向量，且，则___________. 四、解答题 15. 求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x+y+5=0平行； （2）与直线2x+y+5=0垂直. 16. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点. （1）证明：平面. （2）求EF与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标判断得解. 【详解】由点，点，得. 故选：C 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定双曲线方程，利用双曲线离心率公式计算得解. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以离心率． 故选： 3. 已知，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 4. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理的推论可得，解得. 故选：D. 5. 已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦半径公式计算即可． 【详解】由抛物线方程知， 由题意， 故选：A． 6. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合椭圆的定义和几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆,可得，，所以， 如图所示，则的周长为. 故选:A. 7. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】 如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 二、多选题 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 圆心到的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线一般方程与斜截式方程的转换可判断A；根据圆的方程确定半径即可判断B；根据点与直线的位置关系即可判断C；利用点到直线的距离求解即可判断D. 【详解】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的一个顶点为 C. 椭圆的焦距为8 D. 椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的长轴长、顶点、焦距、离心率的定义逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确； 对于B，椭圆的顶点为或，故B错误； 对于C，椭圆的焦距为8，故C正确； 对于D，椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的定义可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，故A错误； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，由投影向量的定义知在上的投影向量为，故D正确. 故选： BD. 三、填空题 12. 已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程的点斜式列出方程，整理即可． 【详解】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线l的方程为：，整理得：. 所以直线l的方程为：. 故答案为：. 13. 双曲线的两条渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用渐近线方程直接求解. 【详解】，，，， 焦点在轴上，渐近线方程为. 故答案为：. 14. 设，向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直和共线的坐标表示，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题 15. 求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x+y+5=0平行； （2）与直线2x+y+5=0垂直. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）与直线2x + y + 5 = 0平行的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值 试题解析：点M（-1，2） （1） 直线方程为 （2） 直线方程为 16. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质，，故抛物线. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点. （1）证明：平面. （2）求EF与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线，结合线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得EF与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接.因为E，F分别是AB，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 依题意可知两两相互垂直，以为坐标原点， BC，BA，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 设是平面的法向量，则，即， 取，得. 设与平面所成的角为， 则， 即EF与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，连接， 可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得到结果. （2）利用面面夹角的向量求法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $