精品解析：福建省厦门市大同中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

厦门市大同中学2025-2026学年高二（上） 数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分150分 命题人：黄彩颖 审核：周娜 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 14. 关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线上的点到原点的距离的最小值为 ②曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称； ③曲线上任意一点到原点的距离都不大于； ④.曲线围成的面积是； 其中，所有正确结论的序号是__________. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 16. 已知椭圆，焦距为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 17. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市大同中学2025-2026学年高二（上） 数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分150分 命题人：黄彩颖 审核：周娜 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可. 【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得存在实数使得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 即． 故选：A. 3. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解. 【详解】解：设直线的方程为， 把点坐标代入直线方程得. 所以所求的直线方程为. 故选：A 4. 已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出圆的方程，代入点运算可得解. 【详解】根据题意设所求圆的方程为， 代入点，得， 所以所求圆的方程为． 故选：B． 5. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设椭圆的方程为，由题中条件得出, 再将点代入椭圆方程，同时根据可求解出参数，进而得出答案. 【详解】设椭圆的方程为，根据题意知 又椭圆过点，所以，且 计算得 所以椭圆的方程为，选项B正确. 故选：B. 6. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 7. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：将直线整理为，则有，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可. 【详解】对于选项A：将直线整理为，则有，解得， 直线恒过定点，则选项A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1. 则选项B正确； 对于选项C：曲线：的圆心为，半径， 曲线：的圆心为，半径， 曲线：与曲线：恰有三条公切线， ，，，则选项C正确； 对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：和，这两个圆相减得直线的方程为， 代入，得，整理得， 设，解得，即直线经过定点（1，2），则选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得且， 所以直线为， 直线化为， 因为两平行线间的距离为， 所以，得， 因为 所以，得， 所以， 故答案为：3 13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 14. 关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线上的点到原点的距离的最小值为 ②曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称； ③曲线上任意一点到原点的距离都不大于； ④.曲线围成的面积是； 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】画出曲线C的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案. 【详解】对于曲线， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 故可作出曲线C的图象如下图所示， 由图可知： 曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，即，故①错误， 曲线C关于原点对称，也关于x轴，y轴对称，故②正确， 由图形的对称性可知，曲线上到原点距离最远的点有4个，如点,最远距离为,故③正确， 曲线C围成的面积是，故④正确, 故答案为：②③④. 【点睛】 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】（1），圆心坐标，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【小问1详解】 由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 16. 已知椭圆，焦距为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 【答案】（1） （2）长轴长为，短轴长为， 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率得到，进而求出，得到椭圆方程； （2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A点坐标，得到面积. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意得， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 将代入中得，， 不妨设， 显然⊥轴，故. 17. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $