重难点01 条件概率与事件独立性问题及其拓展运用（11种题型）高二数学人教B版选择性必修第二册

重难点01 条件概率与事件独立性问题及拓展运用 题型01 条件概率计算 1.先确定“条件事件”（记为B）和“目标事件”（记为A），明确需计算“在B发生的条件下A发生的概率”，即P(A|B)。核心公式为：，其中P(AB)是A与B同时发生的联合概率，P(B)是条件事件B发生的概率（且P(B)≠0）。 2.通过古典概型（计数样本点）或已知概率值，分别算出P(AB)和P(B)，再代入公式计算。 1．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 2．已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 3．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 5．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．在A，B，C三种活动中，甲、乙、丙、丁、戊五人需每人选择一个活动参加，在3人选择了A活动的条件下，甲、乙选择A活动的概率为（    ） A． B． C． D． 8．盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用全概率公式求概率 1.将目标事件A的样本空间划分为互斥且穷尽的事件组B₁,B₂,…,Bₙ（完备事件组）。核心公式：，其中P(Bᵢ)是先验概率，P(A|Bᵢ)是Bᵢ发生时A的条件概率。 2.获取各Bᵢ的先验概率P(Bᵢ)和对应条件概率P(A|Bᵢ)，代入公式求和。 9．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 10．近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 11．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 12．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 13．篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（   ） A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36 14．已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 15．志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 16．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 题型03 利用贝叶斯公式求概率 1.确定“结果事件A”和“原因事件组B₁,B₂,…,Bₙ”（完备事件组），需算“A发生时Bᵢ发生的概率”P(Bᵢ|A)。公式：，P(A)用全概率公式计算。 2.先求P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)，用全概率算P(A)，再代入公式。 17．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 18．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 19．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 20．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 21．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 22．随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 23．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 24．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 题型04 利用乘法公式求概率 1.确定需计算联合概率的事件组（如A₁,A₂,…,Aₙ），明确事件间依赖关系。核心公式：，其中P(Aᵢ|A₁…Aᵢ₋₁)是前i-1个事件发生时Aᵢ的条件概率。 2.依次获取P(A₁)及各条件概率，逐步相乘。 25．甲､乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 26．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 27．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 28．某人练习投篮，投中的概率为，若第一次未投中，则进行第二次投篮，若又未投中，则进行第三次投篮，设直到投中为止投篮的次数为，则“”的概率为（   ） A． B． C． D． 29．某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 30．如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 31．某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 32．甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 题型05 独立重复试验的概念问题 1.先确认试验是否满足“独立”和“重复”两大条件——“重复”指试验在相同条件下进行n次；“独立”指每次试验结果互不影响，某结果概率恒定。关键是锁定单次试验中目标事件的概率p。 2.若求n次中目标事件发生k次的概率，用二项分布公式：为组合数）。 33．重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 34．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（    ） ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 A．0 B．1 C．2 D．3 35．将把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为（    ） A． B． C． D． 36．（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 37．以下真命题共有 个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 38．下列说法正确的是 ． ①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ是一个随机变量，且ξ～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数ξ是一个随机变量，且ξ～B(8，p)； ③从装有5个红球5个白球的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数ξ是随机变量，且. 题型06 独立事件判断 1.独立事件核心是“一个事件发生与否不影响另一个事件的概率”。判断依据为概率关系：若P(AB)=P(A)P(B)，则A、B独立；或直观判断试验间是否相互干扰（如两次独立抛硬币）。 2.直观场景先看是否无关（如“甲中奖”与“乙中奖”独立）；无直观结论则算P(A)、P(B)、P(AB)，验证是否满足公式。 39．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立. B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 40．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（    ） A．A与B对立 B．A与B互斥 C．A与B相互独立 D． 41．已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 42．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 43．抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C． D． 44．同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 45．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 46．连续掷一枚均匀的骰子两次，记事件“第一次掷出的点数为奇数”，事件“第二次掷出的点数为偶数”，事件“两次掷出的点数之和为偶数”，事件“两次掷出的点数之积为偶数”，则（    ） A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D．事件C与事件D相互独立 题型07 条件概率性质运用 1.牢记条件概率关键性质，如0≤P(A|B)≤1、P(Ω|B)=1（Ω为必然事件）、P(Ā|B)=1-P(A|B)（Ā为A对立事件）等。确定条件事件B和目标事件A，梳理已知概率值（如P(B)、P(AB)等）。 2.根据问题类型选性质，直接或结合公式计算。 47．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 48．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 49．已知，，则（     ） A． B． C． D． 50．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 51．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 52．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 53．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ） A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995% 54．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ） A． B． C． D． 题型08 独立重复试验的概率问题 1.明确试验次数n、单次试验中目标事件发生的概率p，以及需求的“发生k次”这一关键参数。核心公式为二项分布概率公式：是从n次中选k次的组合数。 2.先根据组合数公式，再代入p和n、k的值计算。 55．已知甲投篮的命中率为0.7，若甲连续投篮n次，要使其最少投中1次的概率超过99％，则至少需要投篮（参考数据：）（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 56．某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 57．2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（   ） A． B． C． D． 58．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 59．甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 60．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 61．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有1轮测试结果出现家公司排名不变的概率为（    ）． A． B． C． D． 62．元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（    ）    A． B． C． D． 题型09 相互独立事件/互斥事件的概率问题 1.先判断事件关系——互斥事件（不能同时发生）用加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；相互独立事件（互不影响）用乘法公式：P(AB)=P(A)P(B)。明确已知概率P(A)、P(B)及所求（和事件或积事件）。 2.互斥事件求“至少一个发生”用加法；独立事件求“同时发生”用乘法。 63．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（    ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 64．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 65．若，，则事件与的关系是（ ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与互斥又相互独立 66．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（    ） A． B． C． D． 67．一射手在处击中目标的概率分别为，则该射手在处各射击一次，恰有两次击中目标的概率是（    ） A． B． C． D． 68．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（    ） A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96 69．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A．0.444 B．0.008 C．0.7 D．0.233 70．甲、乙两人投球的命中率分别为，，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为（    ）. A． B． C． D． 题型10 递推法求概率问题 1.设Pₙ为“第n步达成目标”的概率，明确初始状态（如P₀、P₁的具体值）。分析第n步与前序步骤的关联，结合事件概率列出递推式，如（a、b为转移概率）。 2.将初始状态值代入递推式，逐步计算至目标步。 71．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 72．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（    ） A． B． C． D． 73．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 74．一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 75．甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 76．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．（） D．小华一共前进2步的概率最大 77．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷n次，以表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 78．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 独立事件实际应用问题 1.拆分实际场景中的多个事件（如甲、乙独立投篮），判断事件是否互不影响（如一人投篮结果不干扰另一人）。明确单次事件成功率p、事件个数n及所求（如至少一次成功、全部成功）。 2.“全部成功”用P=P₁P₂…Pₙ；“至少一次成功”用对立事件P=1-（1-p₁）（1-p₂）…（1-pₙ）。 79．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 80．某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 81．甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 82．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 83．甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 84．某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立. (1)比赛开始，求甲先得一分的概率； (2)求甲获胜的概率. 85．已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 86．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. (1)求丙每局都获胜的概率 (2)求甲获得比赛胜利的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 条件概率与事件独立性问题及拓展运用 题型01 条件概率计算 1.先确定“条件事件”（记为B）和“目标事件”（记为A），明确需计算“在B发生的条件下A发生的概率”，即P(A|B)。核心公式为：，其中P(AB)是A与B同时发生的联合概率，P(B)是条件事件B发生的概率（且P(B)≠0）。 2.通过古典概型（计数样本点）或已知概率值，分别算出P(AB)和P(B)，再代入公式计算。 1．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 2．已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率定义即可求得. 【详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 3．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 4．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解． 【详解】， ， ． 故选：D． 5．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：A. 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 7．在A，B，C三种活动中，甲、乙、丙、丁、戊五人需每人选择一个活动参加，在3人选择了A活动的条件下，甲、乙选择A活动的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“3人选择了活动”，事件表示＂甲、乙选择活动＂，则． 故选：D. 8．盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，则， 则，， 由条件概率公式可得， 故选：C. 题型02 利用全概率公式求概率 1.将目标事件A的样本空间划分为互斥且穷尽的事件组B₁,B₂,…,Bₙ（完备事件组）。核心公式：，其中P(Bᵢ)是先验概率，P(A|Bᵢ)是Bᵢ发生时A的条件概率。 2.获取各Bᵢ的先验概率P(Bᵢ)和对应条件概率P(A|Bᵢ)，代入公式求和。 9．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以 . 故选：D 10．近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解. 【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则 . 故选：D 11．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 12．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式计算可得． 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 13．篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（   ） A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36 【答案】D 【分析】利用全概率公式来求解概率即可. 【详解】设事件A为该员工喜欢篮球，事件，，分别为该员工来自三个部门， 则，，， 且，， 故由全概率公式可得 ， 故选：D 14．已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】应用条件概率及全概率公式计算求解. 【详解】随机事件A，B满足，， 则 又， 则 . 故选：C. 15．志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 16．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 题型03 利用贝叶斯公式求概率 1.确定“结果事件A”和“原因事件组B₁,B₂,…,Bₙ”（完备事件组），需算“A发生时Bᵢ发生的概率”P(Bᵢ|A)。公式：，P(A)用全概率公式计算。 2.先求P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)，用全概率算P(A)，再代入公式。 17．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 18．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 19．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件为“取出的红球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”， 则组成了完整的样本空间，且两两互斥． 由题意有 ，． 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下， 其取自3号箱的概率为． 故选：A． 20．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 21．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：B． 22．随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 23．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 24．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 题型04 利用乘法公式求概率 1.确定需计算联合概率的事件组（如A₁,A₂,…,Aₙ），明确事件间依赖关系。核心公式：，其中P(Aᵢ|A₁…Aᵢ₋₁)是前i-1个事件发生时Aᵢ的条件概率。 2.依次获取P(A₁)及各条件概率，逐步相乘。 25．甲､乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对立事件概率公式求解． 【详解】由题意所求概率为， 故选：D． 26．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得出答案. 【详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A， 则. 故选：B 27．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得答案. 【详解】设甲、乙、丙投中分别记为事件， 由题意得，， 所以 . 故选：B 28．某人练习投篮，投中的概率为，若第一次未投中，则进行第二次投篮，若又未投中，则进行第三次投篮，设直到投中为止投篮的次数为，则“”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以分别分析 “”“”“” 的概率，再将它们相加. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以“”的概率为. 故选：D. 29．某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 【答案】C 【分析】利用条件概率计算公式以及独立事件的乘法公式可求解. 【详解】设事件：恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖，即甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖， 事件：恰好中奖2次且均为甲奖券，即甲奖券中奖2次，乙奖券不中奖， 则，， 又由, 所以所求概率为． 故选： C． 30．如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 31．某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式计算. 【详解】因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为， 只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以，解得或（舍去）. 故选：B． 32．甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C 题型05 独立重复试验的概念问题 1.先确认试验是否满足“独立”和“重复”两大条件——“重复”指试验在相同条件下进行n次；“独立”指每次试验结果互不影响，某结果概率恒定。关键是锁定单次试验中目标事件的概率p。 2.若求n次中目标事件发生k次的概率，用二项分布公式：为组合数）。 33．重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可． 【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 34．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（    ） ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数； ④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二项分布的特征即可判断. 【详解】①满足独立重复试验的条件，是二项分布； ②的取值是1，2，3…，，（），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布； ③虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义； ④次试验是不独立的，因此不服从二项分布． 所以只有1个服从二项分布. 故选：B． 35．将把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于是依次试验，可能前4次都打不开锁，那么剩下的钥匙一定能打开锁，从而可得答案 【详解】解：由于是依次试验，可能前4次都打不开锁，那么剩下的钥匙一定能打开锁， 所以试验次数的最大可能取值为4， 故选：C 36．（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【分析】根据重伯努利试验的概念及性质直接判断即可. 【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验． 故选：ACD． 37．以下真命题共有 个． ①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响； ②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同； ③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率． 【答案】2 【分析】根据n重伯努利试验的知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题. ②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题. ③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为， 所以③是真命题. 综上所述，真命题共有个. 故答案为： 38．下列说法正确的是 ． ①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ是一个随机变量，且ξ～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数ξ是一个随机变量，且ξ～B(8，p)； ③从装有5个红球5个白球的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数ξ是随机变量，且. 【答案】①② 【详解】①、②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量ξ的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义． 即说法正确的是①②. 点睛：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： 一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p. 二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率. 题型06 独立事件判断 1.独立事件核心是“一个事件发生与否不影响另一个事件的概率”。判断依据为概率关系：若P(AB)=P(A)P(B)，则A、B独立；或直观判断试验间是否相互干扰（如两次独立抛硬币）。 2.直观场景先看是否无关（如“甲中奖”与“乙中奖”独立）；无直观结论则算P(A)、P(B)、P(AB)，验证是否满足公式。 39．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立. B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回地依次取出两个，基本事件有，共种， 事件“”；事件“”； 事件“”；事件“”. 事件 ，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 40．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（    ） A．A与B对立 B．A与B互斥 C．A与B相互独立 D． 【答案】C 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，而，故D错误. 故选：C. 41．已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】D 【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 42．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概念和独立事件的定义进行判断即可. 【详解】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C. 43．抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C． D． 【答案】B 【分析】对于AB，由互斥、独立事件的定义判断即可；对于CD，直接写出进行判断即可. 【详解】对于A，事件为第一次出现的点数为3且第二次出现的点数为4，这是可能发生的，故不互斥，故A错误； 对于B，由题意，所以，即A与B相互独立，故B正确； 对于C，事件C=“”包含的样本子空间为， 而事件包含的样本点对应的子空间为，故C错误； 对于D，，， 所以也不成立，故D错误. 故选：B. 44．同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生， 所以事件与不对立，所以A错误； 对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况； 当时，要使得为偶数，则，有3种情况； 当时，要使得为偶数，有6种情况， 又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确； 对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为， 事件“”，有 ，共有18种情形， 所以概率为，且， 则，所以与不相互独立，所以C错误； 对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”， 有共9种情形， 所以概率为， 又由，，可得， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：B. 45．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【答案】C 【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 46．连续掷一枚均匀的骰子两次，记事件“第一次掷出的点数为奇数”，事件“第二次掷出的点数为偶数”，事件“两次掷出的点数之和为偶数”，事件“两次掷出的点数之积为偶数”，则（    ） A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D．事件C与事件D相互独立 【答案】C 【分析】利用事件相互独立事件的判断方法是判断是否等于，根据此方法，借助古典概型求概率，即可得出判断. 【详解】由题意可知， 事件表示第一次任意掷，第二次掷出的点数为偶数，则 ， 而，故事件与事件不独立，选项A错误； 事件表示第一掷出的点数为奇数，第二次掷出的点数为偶数， 则，而， 故事件与事件不独立，选项B错误； 事件表示两次掷出的点数均为奇数，则， 而，故事件与事件独立，选项C正确； 事件表示两次掷出的点数均为偶数，则， 而，事件与事件不独立，选项D错误； 故选：C. 题型07 条件概率性质运用 1.牢记条件概率关键性质，如0≤P(A|B)≤1、P(Ω|B)=1（Ω为必然事件）、P(Ā|B)=1-P(A|B)（Ā为A对立事件）等。确定条件事件B和目标事件A，梳理已知概率值（如P(B)、P(AB)等）。 2.根据问题类型选性质，直接或结合公式计算。 47．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 48．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 49．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 50．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 51．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式进行求解. 【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B. 由题意，知，，所以， 所以两次都取到红球的概率为. 故选：C. 52．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】事件从丙盒抽到的是红球可视为事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球， 事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，事件丙盒抽到红球，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球， 丙盒抽到红球，事件甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的和事件，利用互斥 事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可. 【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为， 甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为， 甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为， 甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为， 因此丙盒中抽到的红球的概率为． 故选：A． 53．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ） A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995% 【答案】A 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解. 【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为 ， 故选：A 54．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可. 【详解】设公司男、女员工的人数分别为和， 则男员工中，肥胖者有人， 女员工中，肥胖者有人， 设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件， 则，， 则. 故选：D. 题型08 独立重复试验的概率问题 1.明确试验次数n、单次试验中目标事件发生的概率p，以及需求的“发生k次”这一关键参数。核心公式为二项分布概率公式：是从n次中选k次的组合数。 2.先根据组合数公式，再代入p和n、k的值计算。 55．已知甲投篮的命中率为0.7，若甲连续投篮n次，要使其最少投中1次的概率超过99％，则至少需要投篮（参考数据：）（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】先求得投篮次都没投中的概率为，根据题意，结合独立重复试验的概率计算公式结合对立事件的概率公式，得到，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】由甲投篮的命中率为，可得投篮次都没投中的概率为， 因为最少投中1次的概率超过99％，所以，即， 可得，又因为，所以至少需要投篮4次. 故选：B. 56．某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算即可. 【详解】至少击中两次包括击中2次和击中3次, 所以至少击中两次的概率为, 故选:C. 57．2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由独立重复试验概率及条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件A为5颗卫星都成功入轨，事件B为有4颗卫星稳定运行， 在有4颗卫星稳定运行的条件下，5颗卫星都成功入轨的概率，即， 于是． 故选：A． 58．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由独立重复事件概率公式即可求解； 【详解】由题意“莎头”组合以获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜， 所以获胜概率为：， 故选：D 59．甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立重复事件，分析获胜情况，即可求出概率. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为. 故选：C 60．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 61．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有1轮测试结果出现家公司排名不变的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得一轮测试中出现2家公司排名不变的概率为，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在一轮测试5家快递公式进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为， 所以，这3轮测试中恰好有1轮测试结果都出现2家公式排名不变的概率为： . 故选：C. 62．元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到摘取的次数为次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为次， 结合独立重复实验的概率计算公式，可得： 当两次摘完时，可得概率为； 当三次摘完时，可得概率为； 当四次摘完时，可得概率为，则. 故选：D. 题型09 相互独立事件/互斥事件的概率问题 1.先判断事件关系——互斥事件（不能同时发生）用加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；相互独立事件（互不影响）用乘法公式：P(AB)=P(A)P(B)。明确已知概率P(A)、P(B)及所求（和事件或积事件）。 2.互斥事件求“至少一个发生”用加法；独立事件求“同时发生”用乘法。 63．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（    ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 【答案】C 【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为： 所以该控制模块能正常工作的概率为. 故选：C. 64．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 65．若，，则事件与的关系是（ ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与互斥又相互独立 【答案】C 【分析】由可判断. 【详解】∵，∴事件与相互独立. 故选：C. 66．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式计算可得． 【详解】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由题意，， 所以． 故选：C． 67．一射手在处击中目标的概率分别为，则该射手在处各射击一次，恰有两次击中目标的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断恰有两次击中目标有三种情况，再分别计算概率并求和，即得结果. 【详解】依题意，射击三次中,恰有两次击中目标有三种情况： 第三次不中、第二次不中、第一次不中， 故对应的概率为. 故选：A. 68．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（    ） A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96 【答案】C 【分析】利用独立事件和对立事件的概率求解即可． 【详解】设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P()＝1－P()P()＝1－0.2×0.3＝0.94． 故选：C 69．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A．0.444 B．0.008 C．0.7 D．0.233 【答案】A 【解析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是： ， . 故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题. 70．甲、乙两人投球的命中率分别为，，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】“甲投球一次命中”记为事件A，“乙投球一次命中”记为事件B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则且与互斥，. 故选A. 【点睛】本题考查概率的计算，属于基础题，关键是认真审题． 题型10 递推法求概率问题 1.设Pₙ为“第n步达成目标”的概率，明确初始状态（如P₀、P₁的具体值）。分析第n步与前序步骤的关联，结合事件概率列出递推式，如（a、b为转移概率）。 2.将初始状态值代入递推式，逐步计算至目标步。 71．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 72．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，有，设，可求得，从而有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，代入可求得. 【详解】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲， 所以，即， 设，则，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即， 所以， 故选：C. 73．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 【答案】AC 【分析】对于A，由题意可得传球递推关系，且初始条件，由递推关系可算得； 对于B，由A可知当传球3次后，球在甲手中的概率，接下来的递推关系不同，可算得此时； 对于C，第3次传球后球在甲手中的概率，接下来递推关系为，由此可算得； 对于D，添加规定后传球递推关系仍为，所以的值与A选项相同，由此可得出答案. 【详解】对于A，由题意可知第次传球后，球在甲手中的概率为，所以在其他人手中的概率为， 因为每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他3人中的任意1人， 所以第次传球后，球在甲手中的概率为，可以得到传球递推关系： ，且，由此可算得，所以A正确； 对于B，当传球3次后，球在甲手中的概率，而接下来， ，所以B错误； 对于C，第2次传球后，球恰好在丁手中，第3次传球丁传给甲、乙、丙的概率均相等为， 故第3次传球后球在甲手中的概率，而接下来，， ，所以C正确； 对于D，添加的规定不影响传球递推关系：，所以，所以D错误． 故选：AC. 74．一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合等比数列通项公式，等比数列求和公式及累加法求得，即可判断各选项． 【详解】由题可知，质点运动到的概率， 则，故A错误； 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 所以，故B正确； 上式变形为：， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以， 所以 ， 所以是首先为，公比为的等比数列，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD． 75．甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”，则，，且，，利用全概率公式可判断ABC，利用独立事件的概率乘法公式可判断D． 【详解】对于，设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”， 则，， 又因为，， 所以， 即，故A错误； 对于B，表示第1次回答问题结束后甲的得分为0， 则，故B正确； 对于C，第次答题者是甲，有两种情况：①第次答题者是甲，且甲在第次回答问题时回答正确， ②第次答题者是乙，且乙在第次回答问题时回答错误， 由全概率公式可得，，故C正确； 对于D，表示第次回答问题结束后甲的得分为，则第1次答题者是甲， 且甲在次回答问题时都回答正确， 所以，故D正确． 故选：BCD． 76．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．（） D．小华一共前进2步的概率最大 【答案】ACD 【分析】综合应用概率和数列的知识即可解决. 【详解】对于A，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为；第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故C正确； 对于D，因为，可得， 即，因为， 所以，即， 可得，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得. 当为奇数时，为偶数，则，即， 此时数列单调递增，所以； 当为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以， 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故D正确. 故选：ACD. 77．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷n次，以表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据第次不出现6和第次出现6，可得递推关系，结合递推关系即可求解ABD，根据得，两式相减结合递推关系即可求解C. 【详解】在一次试验中，6点向上的概率为，不是6点向上的概率为， 对于A，，故A正确， 对于B,3次试验中,连续出现2次6点向上的概率为，所以，故B不正确， 若第次不出现6，前面次没有连续出现2次6点的概率为 ，此时前次没有连续出现2次6点的概率为， 若第次出现6，前面次没有连续出现2次6点的概率为 ，第不为6的概率为，此时前次没有连续出现2次6点的概率为， 故前次没有连续出现2次6点的概率为，故D正确， 对应C，由得，相减得 ，所以，故C正确， 故选：ACD 78．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意假设蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：也许本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；也许是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是．两件事情是互斥的，因此，，整理得，；构造等比数列，即求出，从而计算可得． 【详解】解：显然，. 蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况： ：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是； ：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是. ，事件互斥，因此，，整理得， 即， 所以为等比数列，公比为，首项为， 所以，∴. 所以. 故选：AD. 题型11 独立事件实际应用问题 1.拆分实际场景中的多个事件（如甲、乙独立投篮），判断事件是否互不影响（如一人投篮结果不干扰另一人）。明确单次事件成功率p、事件个数n及所求（如至少一次成功、全部成功）。 2.“全部成功”用P=P₁P₂…Pₙ；“至少一次成功”用对立事件P=1-（1-p₁）（1-p₂）…（1-pₙ）。 79．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 80．某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 81．甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)4局比赛中,对甲恰好有2局比赛获胜的情况分类分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式,即可求得甲恰好有2局比赛获胜的概率; (2) 4局比赛中，甲获胜的局数比乙获胜的局数多的情况分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求得甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以 . （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 82．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解； （2）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解. 【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 83．甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式列出方程组即可． （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，根据独立事件发时的概率公式写出概率，把所有的概率值相加即可； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，由（2）可知总分是4分的概率，只要再求出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，列式即可． 【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得， 解得，， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率是； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 84．某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立. (1)比赛开始，求甲先得一分的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合题意即可求解； （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为、，设两人共抢答了X道题比赛结束且甲获胜，则X的可能取值为3，4，5，利用独立事件的乘法公式计算即可求解. 【详解】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件， 由题意，发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错， 所以， 故比赛开始，甲先得一分的概率为. （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为、， 设两人共抢答了X道题比赛结束且甲获胜， 根据比赛规则，X的可能取值为3，4，5， 所以， ， 故甲获胜的概率. 85．已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解； （3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解. 【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； （2）甲和乙命中，丙不中为事件， 则 ， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 86．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. (1)求丙每局都获胜的概率 (2)求甲获得比赛胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解. 【详解】（1）丙每局都获胜有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜， 第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率， 第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率， 丙每局都获胜的概率. （2）设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件， 比赛进行三局，甲获胜的概率为， 比赛进行五局，有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA， 甲获胜的概率为， 比赛进行七局，有一下8种情况： AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，. 甲获胜的概率为， 故甲获得比赛胜利的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $